任務15平幾綱目面25270解析版

1、P,DP=3,CP=2,求AC.515.【】四邊形ABCD,DA=AB=BC,/ACD=30°,AD,BC延長線交于【簡釋】【法1】【比例線段】CD/AM,"二上=3,AD=3MC=BC,易得MCCP2MC=2BM,作中垂線BV,中位線VN,易得中位線GM,令BG=GV=t,AV=屈GV=V3t,AB="t,.2BLGphG,sin陋二,7cosa=L3,.7HP=4-.7HC=237167AC=172.3cAHP中，("t+3)2=(2J3t+二一)2+.7BKHBCNVHAPCDPTA515-1.【同型】CAD=60BDA=90AAVPEEMFFGB

2、DCBCDKAG=151【15。模式】2ATXEF,AAEBCDBCVDBK交ADBM，平分ADZATEAAMB【邊銳角】AD=2AM=2AT=2AGsin60作角平分線AKP,BP,平分AD海底全等】ZAEVABDSASAD=AV=2AT=AGsin60=9V5BAC=150-2VA=VK,易得A、V關于EF對稱，【AE/ABAG=AP+PG=(273+4)k=3ABC,D、E、F分另1J在BC、AC、AB上，EA=AB=BD,EF交ADK-GBK=5,KC=7F'TG3兩2J3-3)giCk=,AD=2AP=9V.DF-NAC=一gE307(9J5)【法4】【中垂線法】BM，平分A

3、D,20.3,7作ATEF,AT延長線交BM于N,/TAG=30,/ANM=60=/AGF,AANBAGEAASAN=AG=3而，AD=2AM=9十5515-2.【同型】四邊形ABCD,AB=BC=CD=際,/ABC=60°,tan；/BCD=5,則AD=(<3)【簡釋】4BCR中，【勾股定理】易得CH=2J3,BH=3,BD=6【法【法1】ZADB=30,【半邊模式】CHBAKBHL,KA=CH=2"r3,KD=3煦，故AD=21513題同型】取CH的中點M,作正ABMN,綠ACMBANBSAS易得/MNA=60,/NMA=30=ZDMA,BAMAN/黃AMADSA

4、SAD=NA=MC=MH=,MHKNC【法3Ccos(60-3)=,32【余弦定理】9_AD=57-1221=.32.21【法4B【同旁直角】【托勒密定理】TH-,21*V3=23.7.3X3,TH=黃AD=2TH=.3515-3【同型】四邊形八八/八2.3ABCD,DA=AB=BC,tan/BAC=-3,/ACD=30,CD=3,則AC=(6V3)【簡釋】令BV=2x,則AV=超義,AB=j7x【法1】祥CD中,(2#x迪)22+22,x=3,AC=6V3ATDAAVBHLEAT=TC3x=2x+3x=3AC=6、3【法2】【半邊模式】第1節(jié)三等腰法計算長度【三等腰】三條等長線段公用一個端點

5、，可組成三個等腰三角形,“三等腰”出圓形。516.【】菱形ABCD,tanZC=-,AB=AE,AGBE于G,ED交AG于F,BF=3師,貝UBE=(4，2)【簡釋】【三等腰】【同旁等角,【勾股定理】3個縱橫展翅】易得tan3=2易得BE=2EG=4.2第2節(jié)雙等腰法計算長度雙等腰可以構成等腰梯形X【雙等腰】兩個等腰三角形，兩腰分別共線，具有公共頂點，兩底平行,517.(1)AABC,A、E、F三點共線，/AEC=/BAC=a,AB=AC,求證：AF=CEBF/CE。(2)AB=kAC,BF=4,CE=m,COSaf,求AE的長（用5k,m表不）。NMAAEEVFEFFCCBCBB(1)AEC

6、AAMBMTNAHAEEEFFFHBCBCCB103cosx=3k55434kAABFAANCAN=cosk5mFBAAENC517-1DADAEK【旋轉法】【雙等ABFACAN【AAS】AF=CN=CE;DBC=2/ACBSASAF=MB=CE6m4AMBAECMV=kmAD/BC,AE=EB,AC=5,BD=32(x1kx2L10km3NAHAA,則AD=(2)CCBB6m4x=T-；【簡釋】【雙等腰】利用EA=EB構造雙等腰【法1】作ET=EC,ZxAETABECSAS易得BT=5,DT=2,/DBC=2/ACB=ZZTAE=/DBC=2a,/ATE=/ACB=a,AD/BC,故/DAC

7、=/ACB=a,/DAT=/DTA奇,故DA=DT=2法2作EK=ED,AADE0BKESASAK=BD=3,KC=2,由a得,AD=KB=KC=2517-2【同型】AABC,AB=AE,BD=DC=CE=8,AD=5,求BE【23題同型】【簡釋】【雙等腰】作DF=DA,等腰梯形ABCF,平行四邊形AECF,cos”，CH=52,BE=2HE=4555517-3【同型】AABC內(nèi)一點D,中線AE=EF,F在AC延長線上，/DBC=/ACB,/BDC=120°,AB=CD,CF=1,求AB【410題同【簡釋】【雙等腰】AATBANTG【SAS】正CDN,a=60；AEMBAEFC,葉丫

8、=90；AH=2MB=2CF=2第3節(jié)對等腰法計算長度派【對等腰】共頂角頂點且等頂角的兩個等腰三角形,”對等腰“出“牽手相似”518.【】祥BC,AB=AC,tan/BAC=4,ADLCD,/ADB=2/ABC,BD=2,則AC=(歷)3【簡釋】作高CE,AE=3k,CE=4k,AC=5k=AB,BE=2k,tanZCBE=2=tam,BC=2J5k,空=?i£BC2【法1】【對等腰】作/DAN=/BAC、AN=AD【旋轉法】AADB9XANCSAS易得3個a故AD/CN,易得DC,CN,CN=BD=2,CD=4,DN=2<5,處=朝=,AD=5,DNBC2AC=<41【

9、法2】【二倍角等腰法】作DF=DB=2,易得4個a,膽=竺,=更，BF=±L5BFBC25CD=4,FC=2石,AADBCFB,AD=5,AC=歷518-1【同型】9BC內(nèi)一點E,AB=AC,tan/BAC=4,AEXBE,D在AE延長線上，tan/ADC=-,AD=31,BE=4，則CD=(Q)324【簡釋】【法1】【對等腰法】構造AABPAACDSASEB延長線交AP于V,tan/VAEDD第4節(jié)旁等腰法計算長度:【旁等腰】等腰三角形的一腰，底分別與另一等腰三角形的底、一腰共線，”旁等腰”出同旁等角519.【】那BC的角平分線AD,/ABE=ZC,AE=AF=FD,ACAB=4,

10、則BD的長為(2<2)【簡釋】【角度轉化】【旁等腰】丫=今&BD=BF,AB=AD=2AF=2AE【法1】作DT/FE,易得BD=DT,令BF=2k=BD=DT,則中位線EF=k,BE=3k,CK=AC-AT=AC-AB=4CT:CE=TD:EB=2:3,ET=2=FD=AF=AE,ZAFEABFD,里=些絲=2,BD=2k=2寸萬FDEF2k【法2令AE=t,貝UAB=2t,AC=2t+4,AABEAACB,(2t)2=t(2t+4),t=2,令EF=k,【內(nèi)角分線定理】BF=2k=BD,ABEDsAFE(余同法1,略)第5節(jié)偏等腰法計算長度:【偏等腰】等腰三角形的一腰、底分別

11、與另一等腰三角形的一腰、底共線，”偏等腰”出平行。53520.【】ZABC,D為BC中點，E在BA延長線上，DE交AC于F,DC=4,AE=AF=1,tan/C=pp，貝FC=(6)【簡釋】【中位線法】作中位線TD,【偏等腰】TD=TF【法1】1+tan2/C=1cos/C=11,令TD=TF=k,貝UTC=TA=k+1cos2C14【余弦定理】DT2=DC2+TC22DCTCcos/C,k2=42+(k+1)2-2X4(k+1)11,k=-,FC=2k+1=6【法2】作TV，DC,令CV=11k,貝UTV=5<3k,CT=14k,TF=14k-1=TD(14k1)2=75k2+(4-1

12、1k)2,k=1,FC=64第6節(jié)花角平分等腰法計算長度【花角平分等腰】利用角分線構造對稱角，再利用"平行線等角轉換”，構造等腰三角形。CB=CF,G是AF中點，KGXGD交BC于K,(1)求證：CD=BK;(2)521.【】ABCC)/B=60°,F在CD延長線上,E是BC中點，AE平分/BAF,AG=7,則KE=(1)?！竞嗎尅俊救揞^】（KM、KD、KN）NF(1)【二倍法】AM=FD,易得正ABMC,【三線合一】KD=KM,166題同型】【66題法2同型】延長MC至N,使CN=CD【關鍵點】，藍KCNKCDSASKN=KD=KM由3及對頂點L得，/MKD=60,正4

13、KMD,【旋轉法】黃AMKBMDCSASCD=BK(2)【花角平分等腰法】FP=FA=14,令CP=AB=CD=t,FD=14-2t,DH=7-t,FH=73(7-t),AD=BC=CF=14-t,AH=21-2t,RtAAHF中，(212t)2+3(7t)2=196,t=4,KE=1第8章弦圖法計算長度522.【】RtAABC,在斜邊AB外側作正方形ABEF,O為正方形中心，AC=3,OC=4*泛，則BC=(5)【簡釋】【弦圖法】CU=2CO=872，CM=8,AM=5=BC62、522-1【同型】一副直角二角板如圖放置，O為BD中點，AC=1,AB=AD=2,則OC=(-一)【簡釋】【法1

14、】【弦圖法】HA=器,HC=1+居,UC=6+般,OC=1CU="'6"萬22【法2】【中位線法】HD=AC=1,HA=BC=E,OT=L-Xl=TC,等腰RtAOCT,OC=/第9章對稱法計算長度【對稱法的使用】直角圖形，角分線圖形，等腰三角形都具有對稱性。523.RtABC,/B=15°,斜邊AB=8,則ACBC=(16)【簡釋】BNABNA【垂線對稱法】M、A關于BC對稱，【面積法】ACBC=1AM-BC=Sbm=1ABMN=1622523-1.【同型】RtAABC,/ACB=90°,/ABC=15°,若BC=1,則AC=(2后)

15、,AB=('6-72)【簡釋】MN=1,由面積相等得，cx1c=2bM,有c2-b2=1,解得，b=2-V3,AC=273,22AB=76屈524.【】AH為AABC的高，/BAC=135°,BH=3,CH=2,貝UAH=(1)【簡釋】【法1】T、H關于AB對稱，V、H關于AC對稱，易得正方形KTAV【等鄰邊矩形】令AH=KV=KT=a,RtAKBC中，KB=a+3,KC=a+2,勾股定理，a=1法2彳HT=HA=HV,陰影AATBsVCA,(曲)2=(3t)(2t)t=11553、589同型】【法3】彳HV=HA,CVAsCAB【美人魚s】AC2=CVCB,t2+4=(2-

16、t)X5t=1525.RtAABC,/B=90°,RtAADC,/ADC=90°,/ACB=4/ACD,tan/ACD=1,AD=710,DELAB于E,則2DE+BC=(8)3【簡釋】【垂線對稱法】與【二倍角對稱法】A、T關于CD對稱【中位線法】TP=2DE,tan”1，TH=2,CH=83由2a得，【CT/CA海底全等】陰影ZAHCATVC【邊銳角】2DE+BC=TP+PV=TV=HC=8BC526.【】梯形ABCD,AB/CD,/ACB=90°,AD=AC,若BD=5,BC=3,求CD【簡釋】【法1】延長DA=AE,藍黃ACABAEABSASDE=4,AC=

17、2,AB=J13,灰黃ADTAsCBA,CD=_83,13法2【旋轉法】AADB旋轉至AACT,AADCABT,由3個a得，RtATBC,TB=4,矩形AHBC,AC=BH=HT=2,AB=尺,祥DCABT,易得8.13CD=_,13H526-1【同型】梯形【簡釋】ABCD,AB/CD,/ACB=90°,AD=AC,/DAB=3/ADB,若BD=4,求BC.C、E關于AB對稱，易證D、A、E共線，中位線AG,斜邊中線AF,BA=BF=39-m2=BE2=16-4m2,m2=527.【】AABC內(nèi)一點D,/ABC=ZBCD=30°,/ABD=/ACD,BD=7,AC=5,貝U

18、AD=(2)【簡釋】【對稱圖形】CD延長線交AB于F,作等腰4FBC底邊BC的中垂線FE【法1】FE交BD于E,AFCEAFCAASAA與E關于CD對稱,AD=DE=BD-BE=BD-EC=BD-AC=2【法2】FE交CA延長線于E,zFBDAFBEAASD與E關于AB對稱,AD=AE=ECAC=EBAC=BDAC=2527-1.【同型】RtAABC,ZACB=90°,/ECF=60°,CE=5,CF=3,AE=FB,求AE的長?！竞嗎尅俊緦ΨQ法】/MCN=120,ACMN"357構型“，CAMNB,AB=MN=7,EF=19,AE=FB=7.192V,則AB+B

19、C=(8)528.【】四邊形ABDC,/BAD=/CAD=60°,2/CBD=3/BCA,AD=5,AC=2【簡釋】【野驢打滾】令/ACB=Z,則/CBD=3,/ABC=60-2a,/ABD=60+a,ZABC的夕卜角=120°+2a=2(60+a)=2ZADB【對稱法】T、D關于AB對稱，V、A關于BT對稱CT=7,TV=5,ZV=ZTAB=60°,CTV構型“587"，CV=8=AB+BC.529.【】ABC,ZA=45,BC=8,EFLBC于E交AC于D,ZF=ZACB,FD=2,求DE.【簡釋】【彩旗飄飄】【法1】等腰RtAADM，作MKXCF,

20、同旁直角得3,"+Y=90,ADFCALDM,LD=2=DF,ZCBM=45+a“CMB,CM=CB=8=2LF,陰影AFKLAMDC,2FK=MD=FC.【三線合一】LC=LF=4,ND=NM=NC=4,L、N關于BC對稱，LN=2,LE=1,DE=3【法2】等腰RtAADM,F、N關于BC對稱，a+T=90,矩形MDCN,DN=CM=BC=8,FN=10,DE=3【法3】F、M關于BC對稱，等腰RtCDN,MN=AC,陰影*BCANDMASAMD=BC=8,FM=10,DE=3【法4】作AM/BC,EDFMLAN,灰MDFEC,AM=EF=m+2,MD=EC,作DN，DC,3=9

21、0；綠WNDDCE,MN=DE=m,DC=DN.等腰RtACDN,CABCN,2m+2=8,m=3【法51D、M關于BC對稱，等腰RtACMN,a+T=90,F、C、N共線，陰影評BCFMN,FM=8,DE=3【法6】D、M關于BC對稱，等腰RtCFN,a+T=90；M、C、N共線,【等腰外角轉換】CK=CB,ZAKC=ZKBC=45+a=ZNFM,陰影AACKWNMFAAS1FM=CK=CB=8,DE=3【法7】作等腰RtADAK,D,K關于BC對稱，陰影CFM04DKC,ZCBK=Z45+a=/CKB,FM=CK=CB=8,DE=3【法8】作等腰RtADAK,D、M關于BC對稱，陰影AKD

22、C且4FCM【直直】a+t=90；A、B、C、K四點共圓【等角對等弦】CK=CB=8=FM,DE=3第10章平移法計算長度【旋轉法的使用】線段相等或者具有比例關系，通過平移構造三角形530.【】四邊形ABCD,AB±BC,ADXCD,連接AC、BD,AABD的兩高AN、DM相交于H,設BD=a,AH=b,貝UAC的長為（捺b2）【簡釋】【平移法】通過平移將AH與BD構成一個三角形，作CAHDU,由AN±BD得，UD±BD,由垂心H得，BHXAD,CDXAD,BH/CD,CBXAB,HDXAB,HD/BC由CBCDH得，BC=HD=AU,BC/HD/AU,易得矩形A

23、BCU,AC=BU=va-2""b2530-1【變型】四邊形ABCD,AB=CD=3,/ABC=2/ADC,/ABC+/BCD=240°,/Bv/C,貝UBC=(3)【簡釋】【443題同型】【法1】【平移法】作CABCE,令/ADCw,則/ABC=Z=/AEC,/BCE=180-2a,故/ECD=60,正4ECD,/EDA=60a土EAD,BC=AE=ED=3【法2】【平移法】作CBCDE,令/CBE=Z=/CDE,則/BCD=180-2a,/ABE=60,正AABE,/ADC=30+%/EDA=30a,/BAD=90%/EAD=30IEDA,BC=DE=AE=3

24、530-2【變型】四邊形ABCD,AB=CD=3,/ABC=2/ADC,/ABC+/BCD=240°,/B>/C,貝UBC=(3)【簡釋】【法11【平移法】作DABCE,令/ADC通,則/ABC=2ZBCE=180-2a=ZBAEZECD=60,正AECD,/EDA刁-60°ZBAD=120a,/EAD=60°=/EDABC=AE=ED=3【法2】【平移法】作CBCDE令/CBE=2=/CDE,則/BCD=180-2a,/ABE=60,正AABE,/ADC=30/EDA=30°,/BAD=90a/EAD=-30=/EDA,BC=DE=AE=3CDC

25、D第11章旋轉法計算長度)等角圖形旋轉構造相似?！拘D法的使用】等腰圖形利用旋轉構造全等(對等腰531.【】AABC,ZABC=30°,AB=3,BC=4,正GACD,則BD=(5)(2012年全國聯(lián)賽改編)【簡釋】【法1】【旋轉法】作正AABE,構型“345"RtAEBC陰影AAECZABDSASBD=EC=5【法2作正ADBE,陰影AAEDACBDSASBD=BE=5a+3=270,°構型“345"RtAABE,AEEHDADGABCBCBFFDFE=30BAADK1CD=5AK=BH=3PPDDDHAAKBBBCCCM型0四邊形ACBD531-2【

26、同型】CD=(5J2)CK=AH=1,RtACDKGF,DK=1GF=2,3,AK=62APBADCSASRtAPDB,PB=5J2=CDRtAABC外一點D,AB=AC,ZADB=45°,AD=4,BD=3531-1.【同型】正祥BC邊長為8,正“DE邊長為3,BC【旋轉法】作正AAFG,BAADGAAEFSAS/ADF+/AEF=270,【周角法】/GDF=90BD=(J29)作等腰RtACDP,空=&=奧CPCAHD=-23,BH=義,BD=、2944PACsDBC,AP=BD=3EC【法2】【對稱法】C、K關于AB對稱，四邊形故BD=10532.【】AABC,BC=8

27、,高AH=3,AACD,AC=AD,/DAC=2/ABC,貝UBD=(10)【簡釋】【法1】【旋轉法】陰影APCAABDSAS作矩形ATBH,B與B'關于AT對稱，BD=CB=10BCDK內(nèi)角和為360°,/AKD=903,故/BKD=90,KD=2KT=2AV=2AH=6,BK=BC=8,TVATADDBCHBCHEF=1CBEEAKABCBC5個SASEEAALVKTV3=180；BAAVNVM對稱作矩形AHFLF、NAE±EC,F為BC532-1.【同型】AABC,BC=8AH=3,AACELC=5,中位線KV，平分LF,VL=VFHF=NC【中點轉化模式】H

28、N=FC=4,AN=52a,灰ZXLVCAFVE【虛掩的門】斜邊中線VE,EF=LC=5斜邊中線VE,作中位線VMHFHFKBBBCHFHFMnCAABC,/ABC=15°,AB=3,BC=4J2,等腰RtAACD,AC=CD,貝UBD=(7)RtABCE,BE=8,黃CDE0CABSASED=3,/BED=60【簡釋】【旋轉法】作等腰【法1】HD=%3,HE=3,BH=13,RtABHD中，【勾股定理】BD=7222【法2】/EBT=30,BT=473,ET=4,DT=1,RtABTD中，【勾股定理】BD=7,汁oi23(76-后133<63G/6/2)【法3】【45模式AM

29、=CN,BN=-,BM=,444c13.2-36人+CM=DN,RtABDN中，BD=745、一2、533-1.【同型】AABC內(nèi)一點D,BA=BD,AC=3CD=3,tanZADB=2,/BDC+/BAC=90,貝UBC=)【簡釋】【旋轉法】【法1】【極度空間3】（ABDC極肩）作ATXAC,使AT=DC=1,TC=J10【旋轉法】BATQBDCSAS【對等腰】易得%BC=卡VC=5i2【法2】【廣闊天地】作DTLDC,使DT=AC=3,TC=廂【旋轉法】ABACBDTSAS【對等腰】易得%BC=建2TABCT534.【】MBC內(nèi)一點P,ZACB=90,ZABC=60,PA=q訶，PB=42

30、,PC=1,則BC=(<3V2)【簡釋】【法1】【旋轉法】作CTXCP,ZCTP=30,貝UCT=V*3CP=43,BABPCACTA,TA=3PB=76,PT=2【勾股定理逆定理】ZATP=90,ZCPB=ZCTA=120,B、P、T共線,【余弦定理】BC=3J2法2【旋轉法】作PVXPB,ZPBV=60,則PV=<6,ABAVABCP,相似比為2:1,VA=2PC=2,PA2=PV2+VA2,ZPVA=90,ZBVA=120,UV=1,UA=3,BU=22+1,RtAAUB中，1AB=J32=BC2【法3【對稱法】【138題同型】P關于三邊的對稱點分別為T、U、V,正以TV,T

31、V=,Srv=&3,Szbtu=,TU=<6,UV=2CP=222【勾股定理逆定理】RtATUV,Sruv=V6,Sziabc=(Sziatv+Szbtu+Szsruv)=BC=V3J222535.【】AABC,ZBAC=60,角平分線AD,FB=FD,FG=FA,AC=15,GB=6,貝UAG=(4)【簡釋】【旋轉法】作AL=GB=6,黃SAS【同旁等角】易得A、L、B、F共圓，ZFBL=ZFLB=ZFAB=30,作AV/BC,ZABD=150a=3BA=BV=5k【平行線段】LV=2k,ALAB中，【余弦定理】49k2=36+25k2+30k,k=2,BA=10,AG=453

32、6.【】AABC,BC=9,S從bc=18,DA=DC【簡釋】【面積求長度】【旋轉法】陰影與AD叁'BCD【GCB旋轉至ADATAT=BC=9,DB=DT,/BDT=/ADC=2a作DV，平分BT,aDV/BC,作AH，BT,貝UAH/,/ADC=2/DBC,Sabdc=20,求AB.BCSaabc=18BH=4,Sabdc=20BV=TV=竺，VH=4,TH=44AB=.BH2AH2=.BH2AT2TH21681193681,5921(5921=319M91)536-1.【變型】AABC,BC=9,Saabc=18,20AADC中，DA=DC,/ADC=2/ABC,Sabdc=20,

33、貝UAB=(')9【面積求長度】取BC中點T,作矩形AVMH,作矩形OTMN,TC=-,AV=4,DM=竺，DH=-299【對稱法】作菱形OADC【。是AABC的外心】陰影ZADHCTO【邊銳角】，OT=DH=4,AK=竺99TV=OK=<QA2AK2=vOC1AK2=VOT""To1""AK2=r?811600=-,BV=里,AB=J(32)242=-208148166,63537. 【】等腰AABC,AB=AC,AB上一點M,MA=MC,CM延長線上一點E,線段AE上一點D,/EDB=/BAC,若BD=5,CE=2J6,則EA=(3)【

34、簡釋】【法1】【五洋捉鱉】AAECANB,NB=CE=2V6,AN=AE=t,作TB/AN,易得6個a,BT=BD=5,令NV=k,貝UVB=2v'6-k,-=k=2v6!52,6k5tNAVANBA【美人魚s】t2=276k,t2+5t24=0t=3T【法2】【九天攬月】【拐角全等】作CT/BD,作AV=AT,易得5個&由a【對角互補】(a+$3,陰影AADBGVAAASAT=AV=BD=5ECAsETC【美人魚s】,EC2=EAET24=EA(EA+5)EA=3第12章外接圓法計算長度 【外接圓法的一般適用對象】 【三等腰必共圓】r135。與直角問題易共圓】【120。等腰三角形與60?；?0。角變共圓】 【兩角和為180。轉化對角互補共圓】【同旁等角共圓】【Rt中的二倍角問題可用圓形法】22538. 梯形ABCD,AB/BC,AB=AC