靜力學的基本概念和公理

1、 設(shè)動點設(shè)動點M在圓盤上半徑是在圓盤上半徑是r的圓槽內(nèi)相對于圓盤以的圓槽內(nèi)相對于圓盤以大小不變的速度大小不變的速度vr作圓周運動，同時，圓盤以勻角速作圓周運動，同時，圓盤以勻角速度度繞定軸繞定軸O轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動，求M點牽連、相對、絕對加速度。點牽連、相對、絕對加速度。引引 例例vr動系動系固連于圓盤上固連于圓盤上動點動點 M點點解：ve相對速度相對速度 vr=const牽連速度牽連速度 verOM7474 牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理動系動系固連于圓盤上動點動點 M點verreavvv應用速度合成定理var+vr=常量ae = aen，ar = a

2、rn ，aa = aan，ae = aen = ve2 /r= r 2ar = arn = vr2 /raa = aan = va2 /r= (r + vr)2 /raa = vr2 /r + r 2 + 2vr所以M點的絕對運動為沿槽勻速圓周運動 。加速度分析Ovr=const可得所以aa=vr2 /r + r 2 + 2vr 由此可見，在此實例中，點由此可見，在此實例中，點M的絕對加速度的絕對加速度aa并不等于其牽連加并不等于其牽連加速度（大小速度（大小r2）與相對加速度（）與相對加速度（大小大小 ）的矢量和。這里增加了）的矢量和。這里增加了一項一項2vr稱為稱為科氏加速度科氏加速度，用，

3、用aC表表示。示。rv2r即：即：當牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動時，動點的當牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度并不等于牽連加速度與相對絕對加速度并不等于牽連加速度與相對加速度之矢量和加速度之矢量和。O如圖所示，Oxyz為定參考系，Ox yz為動參考系。動系坐標原點O 在定系中的矢徑為rO ，動系的三個單位矢量分別為i、j、k 。動點M在定系中的矢徑為rM ，在動系中的矢徑為r。牽連點（動系上與動點重合的點）為M，它在定系中的矢徑為rM 。動系Oxyz 以角速度 e繞 z 軸轉(zhuǎn)動。 e1.1.牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理顯然kjirrrr zyxOM動點

4、的絕對速度動點的絕對速度va 為為1)-(8 kjikjirrv zyxzyxOMa2)-(8 ddrkjirvzyxt3)-(8 ddekjirrvzyxtOM牽連點牽連點M 的速度的速度為為動點的相對速度動點的相對速度vr為為動點的相對加速度為動點的相對加速度為5)-(8 dd22rkjirazyxt 動點的牽連加速度為動點的牽連加速度為6)-(8 dd22ekjirra zyxtOM)(2 akjikjikjirra zyxzyxzyxOM動點的絕對加速度為動點的絕對加速度為(8-4)動點的相對加速度為5)-(8 dd22rkjirazyxt 動點的牽連加速度為6)-(8 dd22ekj

5、irra zyxtOM)(2 akjikjikjirra zyxzyxzyxOM動點的絕對加速度為(8-4)請大家比較以上三式：a2()reaaaxyz ijkiit ddjjt ddkkt dd泊松公式reeeee2 2 )()()(2)(2vkjikjikji zyxzyxzyx由此可得由此可得arecaaaa2()areaaax iy jz k 2()2erx iy jz kv 2cerav上式右端的最后一項稱為上式右端的最后一項稱為科氏加速度科氏加速度，并用，并用 表示，即表示，即caarecaaaa2cerav令牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成

6、定理當牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動時，動點在每一瞬時的絕對加速度，等當牽連運動是定軸轉(zhuǎn)動時，動點在每一瞬時的絕對加速度，等于它的牽連加速度、相對加速度和科氏加速度三者的矢量和。于它的牽連加速度、相對加速度和科氏加速度三者的矢量和?？剖霞铀俣仁怯诳剖霞铀俣仁怯?832年由年由法國工程師科里奧利在研法國工程師科里奧利在研究機械理論時發(fā)現(xiàn)的，因究機械理論時發(fā)現(xiàn)的，因此命名科里奧利加速度，此命名科里奧利加速度，簡稱科氏加速度。簡稱科氏加速度。2CeravCarvrnvrv2. 2. 科氏加速度科氏加速度2sinCerav(2) 的大?。旱拇笮。篊a 的方向：的方向：Ca(1) 科氏加速度是牽連轉(zhuǎn)動（科氏加速度是

7、牽連轉(zhuǎn)動（ ）和相對運動（）和相對運動（ ）相互影響）相互影響的結(jié)果。的結(jié)果。erv(3) 在一些特殊情況下科氏加速度在一些特殊情況下科氏加速度aC等于零：等于零： 的瞬時；的瞬時； 的瞬時；的瞬時； 的瞬時。的瞬時。/erv0e0rv 垂直于垂直于 與與 所確定的平面，由右手規(guī)則確定。所確定的平面，由右手規(guī)則確定。rvaeraaa即為動系作平動時點的加速度合成定理。因此，當牽連運動為平動時( )，有0et 瞬時在位置t+Dt 瞬時在位置II可以看出，經(jīng)過Dt 時間間隔，牽連速度和相對速度的大小和方向都變化了。 設(shè)有已知桿AB在圖示平面內(nèi)繞軸A勻速轉(zhuǎn)動，套筒M（可視為點M）沿直桿AB運動。取套

8、筒取套筒M為動點，動系為動點，動系固結(jié)于桿固結(jié)于桿AB上。上。下面通過一實例來說明科氏加速度是怎樣由牽連運動與相對運動的相互影響而產(chǎn)生的。evrvarevvvevrvarevvv3. 3. 科氏加速度的產(chǎn)生分析科氏加速度的產(chǎn)生分析1rv加速度分析加速度分析: 根據(jù)加速度定義根據(jù)加速度定義00()()limlimaaererattvvvvvvattD D DD00limlimeerrttvvvvttD D DD0limeeetvvatD D因為因為 是動系上兩個不同點（是動系上兩個不同點（ 和和 ）分別在瞬時）分別在瞬時 與瞬與瞬時時 t 的速度差，而不是瞬時的速度差，而不是瞬時 t 動系上與動

9、點的重合點動系上與動點的重合點 M 分別在瞬時分別在瞬時 與瞬時與瞬時 t 的速度差的速度差 。 ttD()eevv MMttD1()eevv10limeeetvvatD D經(jīng)過經(jīng)過 時間，牽連點由時間，牽連點由 M 位置運動到位置運動到 M1 位置，牽連速度由位置，牽連速度由 變?yōu)樽優(yōu)?：tDev1ev1rv0limrrrtvvatD D把上述運動分解為兩步，首先動點把上述運動分解為兩步，首先動點 M 隨桿隨桿運動到運動到 M1 處，然后再相對于桿運動到處，然后再相對于桿運動到 M。00()()limlimaaererattvvvvvvattD D DD00limlimeerrttvvvvt

10、tD D DD0limrrrtvvatD D因為因為 是考慮了桿是考慮了桿 AB 的轉(zhuǎn)動（即牽連運動時），動點的相對速度的轉(zhuǎn)動（即牽連運動時），動點的相對速度之差。動點的相對加速度應該是在桿上看動點的速度變化率。之差。動點的相對加速度應該是在桿上看動點的速度變化率。()rrvv 10limrrrtvvatD DtD經(jīng)過經(jīng)過 時間，動點由時間，動點由 M1 位置運動到位置運動到 M 位置，相對速度由位置，相對速度由 變?yōu)樽優(yōu)?：1rvrv從這里可以看到牽連運動是轉(zhuǎn)動的情況與牽連運動是平動時的不同之處。從這里可以看到牽連運動是轉(zhuǎn)動的情況與牽連運動是平動時的不同之處。1rv000limlimlima

11、aeerratttvvvvvvatttD D D DDD111100()()()()limlimeeeerrrrttvvvvvvvvttD D DD11110000limlimlimlimeeeerrrrttttvvvvvvvvttttD D D D DDDD10limrrrtvvatD D1100limlimeerrerttvvvvaattD D DD10limeeetvvatD D10lim?eetvvtD D10lim?rrtvvtD D10limeetvvtD DeevAM11eevAM10limeetAMAMtD D10limetM MtD D 10limrtM MvtD D erv

12、該項是由于相對運動的影響，使動參考系上與動點相重合的點的位該項是由于相對運動的影響，使動參考系上與動點相重合的點的位置發(fā)生了改變，導致牽連速度的大小發(fā)生改變而產(chǎn)生的附加加速度。置發(fā)生了改變，導致牽連速度的大小發(fā)生改變而產(chǎn)生的附加加速度。1rv10lim?eetvvtD D這一項是由于牽連轉(zhuǎn)動而引起相這一項是由于牽連轉(zhuǎn)動而引起相對速度方向改變的加速度。對速度方向改變的加速度。10lim?rrtvvtD D1rv0limrertvvtD DD1rrvv1rviit dd泊松公式10limrrertvvvtD D補充例題火車火車M以等速以等速v0沿子午線自南往北行駛，如圖所沿子午線自南往北行駛，如圖

13、所示。為了考慮地球的自轉(zhuǎn)，設(shè)定坐標系以地心為原點，坐示。為了考慮地球的自轉(zhuǎn)，設(shè)定坐標系以地心為原點，坐標軸分別指向恒星。地球的平均半徑為標軸分別指向恒星。地球的平均半徑為R。求火車求火車M在北緯在北緯度處的絕對加速度。度處的絕對加速度。 解：1. 選擇動點與動系選擇動點與動系動系動系O xy z ， 固結(jié)在地球固結(jié)在地球上，原點上，原點O 與地心重合，并使坐與地心重合，并使坐標面標面O y z與鐵軌所在的子午與鐵軌所在的子午面重合，面重合，O z軸與地軸重合軸與地軸重合。2. 運動分析運動分析 絕對運動絕對運動 空間曲線空間曲線運動運動。 相對運動相對運動 M點在子午面內(nèi)以點在子午面內(nèi)以O(shè)為圓

14、心、為圓心、R為半徑作速度為為半徑作速度為v0的的勻速圓周運動。勻速圓周運動。 牽連運動牽連運動地球繞地球繞O z軸的勻軸的勻角速轉(zhuǎn)動角速轉(zhuǎn)動。動點動點火車火車M 。因地球自西向東旋轉(zhuǎn)，所以因地球自西向東旋轉(zhuǎn)，所以動坐標系即地球的角速度動坐標系即地球的角速度的方向是沿的方向是沿Oz軸的正向，軸的正向，其大小為其大小為 srad1027. 7606024253. 加速度分析加速度分析aa：大小大小方向均未知方向均未知；ae： 方向垂直方向垂直于于Oz軸，并指向此軸軸，并指向此軸；,)cos(2eRa ar： 方向指向地心方向指向地心O。;202rrRvRvaaC： 方向指向沿方向指向沿M點緯度線

15、的切線，點緯度線的切線，并且向西并且向西；sin2sin20rCvvacosR據(jù)此，可進一步求得的大小和方向據(jù)此，可進一步求得的大小和方向應用加速度合成定理應用加速度合成定理aerCaaaaaerCaaaa1012012012sin2)sincos(cosikjjvRvRvR1201202102sincos)(sin2kjiRvRvRv如以如以i，j和和k分別表示沿坐標軸分別表示沿坐標軸Ox， Oy和Oz的單位矢量，則的單位矢量，則M點的加速度點的加速度aa可表示為可表示為例7-11 已知已知曲柄曲柄OAr ，以角速度以角速度0勻速轉(zhuǎn)動。求曲柄勻速轉(zhuǎn)動。求曲柄OA 水水平，平，搖搖桿桿AB與鉛

16、垂線夾角為與鉛垂線夾角為30o時，搖桿時，搖桿AB的角加速度。的角加速度。1. 選擇動點，動系與選擇動點，動系與定系定系。動系動系O1xy，固連于搖桿固連于搖桿 O1B2. 運動分析運動分析 絕對運動絕對運動以以O(shè)為圓心的圓周運動為圓心的圓周運動相對運動相對運動沿沿O1B的直線運動的直線運動牽連運動牽連運動搖桿繞搖桿繞O1軸的軸的定軸定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動動點動點滑塊滑塊 A 定系定系固連于機座固連于機座x1y1解：解：vavrver032vr相對速度1搖桿的角速度10142. 速度分析e012vr已經(jīng)求得牽連速度3. 加速度分析aa: aa= r02，沿著OA，指向O；ar: 大小未知，沿著O1B，指

17、向B(假設(shè)）；aet: ae t = (O1A)=2r ， 為未知，垂直于O1A，指向未知，假設(shè)指向左上；aC: 垂直于O1B，指向左上。2Cer1 r000133 2=22 424a vvrraraaaCaetaen 加速度分析加速度分析 1aen: ，沿著O1A指向O1；2108neeavO Ar 加速度分析加速度分析 araaaCaetaen將上式沿將上式沿aet 方向投影，得方向投影，得Cteacos30aaa202043223rrr2083aerCaaaa由加速度合成定理由加速度合成定理即即求得求得搖桿搖桿AB 的角加速度的角加速度（逆時針）（逆時針） 例7-12 7-12 已知凸輪

18、的偏心距已知凸輪的偏心距OCe，凸輪半徑凸輪半徑 ，并，并且以等加速度且以等加速度繞繞O軸轉(zhuǎn)動，軸轉(zhuǎn)動， 圖示瞬時，圖示瞬時，AC垂直于垂直于OC， 30o。求頂桿的速度與加速度。求頂桿的速度與加速度。er3解：解：1. 選擇動點，動系與選擇動點，動系與定系定系。動系動系固連于凸輪。固連于凸輪。2. 運動分析。運動分析。絕對運動絕對運動直線運動。直線運動。相對運動相對運動 以以C為圓心的圓周運動。為圓心的圓周運動。牽連運動牽連運動 繞繞O 軸的定軸轉(zhuǎn)動。軸的定軸轉(zhuǎn)動。動點動點 AB的端點的端點A 。定系定系固連于機座。固連于機座。3. 速度分析aervvv應用速度合成定理絕對速度： va為所要

19、求的未知量，方向沿桿AB，向上。 相對速度：大小未知，方向沿凸輪圓周的切線，向右上方。牽連速度： veOA 2e ，方向垂直于OA，向左。233 03aevv tgeevv3342ar30aevtgvsin30arvv4.加速度分析aa: 大小未知，為所要求的量，沿著AB，假設(shè)指向上方；ae : ae = OA 2=2e2，沿著OA，指向O； ar t ：大小未知，垂直于AC，指向未知，假設(shè)指向右上；aC : 沿著CA，指向左上。2Cr4 38 3 2=2 33ea veearnaaaCartaenar n: arn=vr2/AC ，沿著AC，指向C；216 39earnaaaCartaene

20、rntnarCaaaaa根據(jù)加速度合成定理將上式沿aC方向投影，得naCrecos30cos30aaaa2a29ae -從而求得頂桿的加速度第一章第一章 靜力學的基本概念和公理靜力學的基本概念和公理例例7-13 7-13 圓盤半徑圓盤半徑R R=50mm=50mm，以勻角速，以勻角速度度1 1繞水平軸繞水平軸CDCD轉(zhuǎn)動。同時框架和轉(zhuǎn)動。同時框架和CDCD軸一軸一起以勻角速度起以勻角速度2 2繞通過圓盤中心繞通過圓盤中心O O的鉛直軸的鉛直軸ABAB轉(zhuǎn)動，如圖所示。如轉(zhuǎn)動，如圖所示。如1 1=5rad/s, =5rad/s, 2 2=3rad/s=3rad/s。求：圓盤上求：圓盤上1和和2兩點

21、的絕對加速度。兩點的絕對加速度。第一章第一章 靜力學的基本概念和公理靜力學的基本概念和公理解：解：1 動點：動點： 圓盤上點圓盤上點1，動系：框架，動系：框架CAD絕對運動：未知絕對運動：未知相對運動：圓周運動（相對運動：圓周運動（O點）點）牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動（牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動（AB軸）軸） 2 速度（略）速度（略）3 加速度加速度。求：求：已知：已知：2121,mm50,srad3,srad5aaR 0?2122RRaaaaCrea方向方向大小大小第一章第一章 靜力學的基本概念和公理靜力學的基本概念和公理點點1的牽連加速度與相對加速度在同一直的牽連加速度與相對加速度在同一直線上，于是得線上

22、，于是得點的牽連加速度點的牽連加速度相對加速度大小為相對加速度大小為科氏加速度大小為科氏加速度大小為各方向如圖，于是得各方向如圖，于是得第一章第一章 靜力學的基本概念和公理靜力學的基本概念和公理例例7-9如圖所示平面機構(gòu)中，曲柄如圖所示平面機構(gòu)中，曲柄OA=r,以勻以勻角速度角速度O 轉(zhuǎn)動。套筒轉(zhuǎn)動。套筒A沿沿BC桿滑動。桿滑動。已知：已知：BC=DE，且，且BD=CE=l。求：圖示位置時，桿求：圖示位置時，桿BD的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。第一章第一章 靜力學的基本概念和公理靜力學的基本概念和公理解：解：1 動點：滑塊動點：滑塊A，動系：，動系：BC桿桿絕對運動：圓周運動（絕對運

23、動：圓周運動（O點）點）相對運動：直線運動（相對運動：直線運動（BC）牽連運動：平動牽連運動：平動2 速度速度方向大小?0rvvvrea 0rvvvaerBDBDOAlCEBDDEBCrOA,0求：求：常數(shù)常數(shù)已知：已知：lrBDveBD0第一章第一章 靜力學的基本概念和公理靜力學的基本概念和公理3 3 加速度加速度方向大小?220BDrneealraaaa 沿沿y軸投影軸投影30sin30cos30sinneteaaaalrlraaaneate3)(330cos30sin20BDBDOAlCEBDDEBCrOA,0求：求：常數(shù)常數(shù)已知：已知：2203)(3lrlrBDateBD補充例題在滑塊

24、導桿機構(gòu)中，由一繞固定軸O作順時針向轉(zhuǎn)動的導桿OB帶動滑塊A沿水平直線軌道運動，O到導軌的距離是h。已知在圖示瞬時導桿的傾角是，角速度大小是，角加速度=0。試求該瞬時滑塊A的絕對加速度。運運 動動 演演 示示1. 選擇動點，動系與定系相對運動沿導桿OB的直線運動。牽連運動導桿OB繞軸O的勻速轉(zhuǎn)動。絕對運動沿導軌的水平直線運動。動系 固連于導桿動點取滑塊A為動點 2. 運動分析reer2ectgcosctgsinsinsinsinvvvOAhhvhvhOA解：解：定系固連于機座aervvv應用速度合成定理速度合成圖如圖所示求得revctgv3. 加速度分析asinCaa 32Casincos2s

25、inhaaaercaaaa投影到Oy軸上，得絕對加速度aa：大小待求，水平方向，假設(shè)向左。相對加速度ar：大小未知，方向沿BO ，假設(shè)向左下。 科氏加速度aC： 方向OB，向左上方。2Cr22cos2cos22sinsinehhav根據(jù)加速度合成定理求得滑塊A的加速度yx牽連加速度ae： , 方向沿BO，指向O。2esinha7-10空氣壓縮機的工作以角速度 繞垂直于圖面的O軸勻速運動，空氣以相對速度vr沿彎曲的葉片勻速流動，如圖所示。如曲線AB在C點的曲率半徑為，通過點C的法線與半徑間夾的角為，CO=r，求此時氣體微團在C點的絕對加速度aa。 運運 動動 演演 示示解： 1. 選擇動點，動系

26、與定系。動系Oxy，固連于工作輪2. 運動分析。絕對運動平面曲線運動牽連運動繞軸O定軸轉(zhuǎn)動動點取氣體微團相對運動沿曲線AB運動定系固連于機座3. 加速度分析絕對加速度aa：大小方向均未知。牽連加速度ae：ae=OC2=r2，沿OC 指向O ；相對加速度ar：ar=vr2/，方向如圖?？剖霞铀俣萢C： 垂直于vr，指向如圖。r2Cav分別投影到x，y軸上 aerC22rrrr0sin2sin(2)sinxxxxaaaavvvvaerC22rr22rrcos2cos(2) cosyyyyaaaavrvvvr aaaxyaa iajaerCaaaa根據(jù)加速度合成定理Oyx例圖示一臺電動轉(zhuǎn)盤，電動機安裝在基座S上，電動機轉(zhuǎn)子的軸線與水平線成30o 角?；@鉛垂軸Oz以勻角速度=10rad/s旋轉(zhuǎn)。設(shè)安裝在轉(zhuǎn)子上的圓盤半徑r=130mm，轉(zhuǎn)子的勻角速度1=20rad