(選修2-3)1.2.1排列

1、1.2.1 排列排列 肥城一中高二數學組肥城一中高二數學組分類加法計數原理分類加法計數原理: :完成一件事完成一件事, ,有有n n類不同的方類不同的方案案, ,在第在第1 1類方案中有類方案中有m m1 1種不同的方法種不同的方法, ,在第在第2 2類方類方式中有式中有m m2 2種不同的方法種不同的方法, , ,在第在第n n類類方案方案中有中有m mn n種不同的方法種不同的方法, ,那么完成這件事共有那么完成這件事共有 種不同的方法種不同的方法分步乘法計數原理分步乘法計數原理: :完成一件事完成一件事, ,需要分成需要分成n n個步驟個步驟, ,做第一步有做第一步有m m1 1種不同的

2、方法種不同的方法, ,做第做第2 2步有步有m m2 2種不同的種不同的方法方法, , ,做第做第n n步有步有m mn n種不同的方法種不同的方法, ,則完成這件則完成這件事共有事共有 種不同的方法種不同的方法溫故而知新1.兩個計數原理兩個計數原理:n n2 21 1m mm mm mN N 12nNmmm2.運用兩個原理解題時需要要注意運用兩個原理解題時需要要注意3點：點：要明確完成要明確完成“一件事一件事”是什么；是什么；要明確是要明確是“分類分類”還是還是“分步分步”；分類時做到分類時做到“不重不漏不重不漏”，分步時做，分步時做到到“步驟完整步驟完整”.探究：探究：問題問題1：從甲、乙

3、、丙從甲、乙、丙3名同學中選出名同學中選出2名參加一項活名參加一項活動，其中動，其中1名同學參加上午的活動，另名同學參加下名同學參加上午的活動，另名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？午的活動，有多少種不同的選法？分析：分析：把題目轉化為從甲、乙、丙把題目轉化為從甲、乙、丙3名同學中選名同學中選2名，名，按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的順序排列，求一共有多少種不同的排法？順序排列，求一共有多少種不同的排法？ 上午上午下午下午相應的排法相應的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：確定參加上午活動的同學即從第一步：確定參加

4、上午活動的同學即從3 3名中任名中任 選選1 1名，有名，有3 3種選法種選法. .第二步：確定參加下午活動的同學，有第二步：確定參加下午活動的同學，有2 2種方法種方法根據分步計數原理：根據分步計數原理：3 32=6 2=6 即共即共6 6種方法。種方法。把上面問題中被取的對象叫做把上面問題中被取的對象叫做元素元素,于是問于是問題就可以敘述為：題就可以敘述為： 從從3個不同的元素個不同的元素a,b,c中任取中任取2個，然后按照一定個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb問題問題2.2.

5、從從4 4個不同的元素個不同的元素a,b,c,da,b,c,d中取出中取出3 3個元素，個元素，按順序排成一列，共有多少種不同的排法？按順序排成一列，共有多少種不同的排法？第第1 1步：步：先確定第一個元素，在先確定第一個元素，在4 4個元素中任取個元素中任取1 1個，有個，有4 4種取法；種取法；第第2 2步：步：再確定第二個元素，在剩下的再確定第二個元素，在剩下的3 3個元素個元素中任取中任取1 1個，有個，有3 3種取法；種取法；第第3 3步：步：最后確定第三個元素，在余下的最后確定第三個元素，在余下的2 2個元個元素中任取素中任取1 1個，有個，有2 2種取法；種取法；由分步計數原理可

6、知，共有由分步計數原理可知，共有4 3 224 種不同的排法。種不同的排法。分分3 3步步4 43 32 2ab c dc dbdcbbac dc da dcacab dbda dbadab cbc a cbaabcabdacbacdadbadcbacbadbcabcdbdabdccabcadcbacbdcdacdbdabdacdbadbcdcadcb樹狀圖：樹狀圖：列舉：列舉：基本概念基本概念1、排列：、排列：一般地，從一般地，從n個不同中取出個不同中取出m (m n)個元素，個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元個不同元素中取出素中取出m個元素的一個

7、排列。個元素的一個排列。說明：說明：1 1、元素不能重復。、元素不能重復。n n個中不能重復，個中不能重復，m m個中也不能重復。個中也不能重復。2 2、“按一定順序按一定順序”就是與位置有關，這是判斷一個問題是就是與位置有關，這是判斷一個問題是否是排列問題的關鍵。否是排列問題的關鍵。3 3、兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完全相同，兩個排列相同，當且僅當這兩個排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同。而且元素的排列順序也完全相同。4 4、m mn n時的排列叫選排列，時的排列叫選排列，m mn n時的排列叫全排列。時的排列叫全排列。5 5、為了使寫出的所有排列情況既不重復也

8、不遺漏，可以采用、為了使寫出的所有排列情況既不重復也不遺漏，可以采用“樹形圖樹形圖”。練習：判斷下列問題是否屬于排列問題練習：判斷下列問題是否屬于排列問題.（1）從）從1，2，3三個數字中每次取出三個數字中每次取出2個數相乘個數相乘，有多少不同的積？有多少不同的積？ （2）從從1，2，3三個數字中每次取出三個數字中每次取出2個數相除，個數相除，有多少不同的商？有多少不同的商？ 5人互通一次電話人互通一次電話,共需通多少次電話？共需通多少次電話？從從40人中選人中選5人擔任班長，團支書，副班長，人擔任班長，團支書，副班長，學習委員，體育委員，共有多少種選法。學習委員，體育委員，共有多少種選法。不

9、是不是不是不是是是是是2、排列數：、排列數： 從從n n個不同的元素中取出個不同的元素中取出m(mn)m(mn)個元素個元素的所有排列的個數，叫做從的所有排列的個數，叫做從n n個不同的元素中個不同的元素中取出取出m m個元素的排列數。用符號個元素的排列數。用符號 表示。表示。mnA“排列排列”和和“排列數排列數”有什么區(qū)別和聯(lián)有什么區(qū)別和聯(lián)系？系？排列數，而不表示具體的排列。所有排列的個數，是一個數；mn“排列數”是指從 個不同元素中，任取個元素的mnA所以符號只表示nm“一個排列”是指：從個不同元素中，任取按照一定的順序排成一列，不是數；個元素233 26A 問題中是求從個不同元素中取出個

10、元素的問題中是求從個不同元素中取出個元素的排列數，記為排列數，記為 ,已經算得已經算得23A344 3 224A 問題問題2中是求從中是求從4個不同元素中取出個不同元素中取出3個元素的個元素的排列數，記為，已經算出排列數，記為，已經算出34A探究：探究：從從n n個不同元素中取出個不同元素中取出2 2個元素的排列個元素的排列數數 是多少？是多少？2nA呢呢？mnA呢呢？3nA 第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位n種種(n-1)種種(n-2)種種(n-m+1)種種2(1)nAn n3(1)(2)nAn nn(1)(2)(1)mnAn nnnm(1)(1)排列數公式（排列數公式（1 1）：）

11、：)*,)(1() 2)(1(nmNnmmnnnnAmn當當m mn n時，時，123) 2)(1(nnnAnn正整數正整數1 1到到n n的連乘積，叫做的連乘積，叫做n n的階乘，用的階乘，用 表示。表示。! nn n個不同元素的全排列公式：個不同元素的全排列公式：! nAnn(2)(2)排列數公式（排列數公式（2 2）：）：)!(!mnnAmn說明：說明：1 1、排列數、排列數公式公式的第一個常用來計算，第二個常用來證明。的第一個常用來計算，第二個常用來證明。為了使當為了使當m mn n時上面的公式也成立，規(guī)定：時上面的公式也成立，規(guī)定：1! 0 2 2、對于、對于 這個條件要留意，往往是

12、解方程時的這個條件要留意，往往是解方程時的隱含條隱含條件件。nm全排列全排列mn=n(n-1)(n-2)(n)A-m+1n(n-1)(n-2)(n-m+1)(n-m)21(n-m)2=1mnn!A =(n-m)!n!(n-m)!nnn-mn-mAA2534581 : 123.( )A ; ()A ; ( )A例計算8 88 85 55 5A A(4)(4)A A根據例根據例1的的能否歸納出一般的結論嗎能否歸納出一般的結論嗎?n nm mn nn nn- mn- mn- mn- mA An!n!A=A=(n - m )!(n - m )!A A1818181813131313A A(5)(5)A

13、 A練習練習1證明：證明：mmm-1n+1nnA=A +mA證明：右邊證明：右邊!()!(1)!nnmnmnm !(1)! (1)!(1)nnmnmnmnmnm(1) !(1)!nnnm(1)!(1)!nnm1mnAmnn!A =(n-m)!(1)!(1nnnmmnm左邊左邊例例2 2、某年全國足球甲級、某年全國足球甲級A A組聯(lián)賽共有組聯(lián)賽共有1414個隊參加，個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次，共進行多少場比賽？共進行多少場比賽？解：解：14個隊中任意兩隊進行個隊中任意兩隊進行1次主場比賽與次主場比賽與1次次客場比賽，對應于從客場比賽，

14、對應于從14個元素中任取個元素中任取2個元素的個元素的一個排列，因此，比賽的總場次是一個排列，因此，比賽的總場次是1821314214A例 3(1)從5本不同的書中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ (2)從5種不同的書中買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？ = 5= 54 43= 603= 6035 A被選元素可重復選取，不是排列問題！被選元素可重復選取，不是排列問題！5 55 55= 1255= 125“從從5個不同元素中選出個不同元素中選出3并按順序排列并按順序排列”【例【例4】用】用0到到9這這10個數字可以組成多少個沒有個數字可以組成多少個沒有重

15、復數字的三位數？重復數字的三位數？ 特殊位置“百位”，特殊元素“0”百位十位個位6488992919AA法1：64822939AA法2：百位百位 十位十位個位個位A390百位百位 十位十位個位個位A290百位百位 十位十位個位個位A29【例【例4】用】用0到到9這這10個數字可以組成多少個沒有個數字可以組成多少個沒有重復數字的三位數？重復數字的三位數？ 特殊位置“百位”，特殊元素“0”64889891029310AA法3：3 3、對于有限制條件的排列問題，必須遵循、對于有限制條件的排列問題，必須遵循“特殊元素優(yōu)特殊元素優(yōu)先考慮，特殊位置優(yōu)先安排先考慮，特殊位置優(yōu)先安排”，并注意，并注意“合理分

16、類，準合理分類，準確分步確分步”，做到，做到“不重不漏，步驟完整不重不漏，步驟完整” ” ，適當考慮，適當考慮“正難則反正難則反” ” 。方法總結：方法總結：1 1、排列數、排列數公式公式的第一個常用來計算，第二個常用來證明。的第一個常用來計算，第二個常用來證明。2 2、對于、對于 這個條件要留意，往往是解方程時的隱含條件。這個條件要留意，往往是解方程時的隱含條件。nm課堂小結課堂小結一、兩個定義：一、兩個定義：“一個排列一個排列”與與“排列數排列數”的的定義定義二、兩個重要公式：二、兩個重要公式：三、兩種圖形：三、兩種圖形：計算與證明計算與證明樹形圖與框圖樹形圖與框圖“一個排列一個排列”“排

17、列數排列數”與與兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別n nm mn nn nn- mn- mn- mn- mA An!n!A=A=(n - m )!(n - m )!A AmnA =n(n-1)(n-2)(n-m+1)0！=1（n+1）?。?（n+1）n!四、方法技巧：四、方法技巧：定位問題優(yōu)先法定位問題優(yōu)先法(特殊位置法、特殊元素法特殊位置法、特殊元素法)； 復雜問題復雜問題“排除法排除法”(間接法間接法)排排 列列(2)(2) 肥城一中高二數學組肥城一中高二數學組 從從n n個不同元素中，任取個不同元素中，任取m( )m( )個元素（個元素（m m個元素不可重復個元素不可重復?。┤。┌凑找欢ǖ捻樞蚺懦梢?/p>

18、列按照一定的順序排成一列，叫做，叫做從從n n個不同元素中取出個不同元素中取出m m個個元元素的一個排列素的一個排列. . nm 1、排列的定義：、排列的定義：2.2.排列數的定義：排列數的定義： 從從n n個不同元素中，任取個不同元素中，任取m( )m( )個元素的個元素的所有排列的個數所有排列的個數叫做從叫做從n n個元素中取出個元素中取出m m個元素的排列數個元素的排列數n nm m mnA!nAnn3.3.有關公式：有關公式：n n1 1) )( (n n3 32 21 1 . .階階乘乘：n n! !1 1（2）排列數公式）排列數公式:n)n)m mN*,N*,(m、n(m、nm)！

19、m)！(n(nn！n！ 1)1)m m(n(n1)1)(n(nn nA Am mn n 解排列問題的常用技巧解排列問題的常用技巧 解排列問題，首先必須認真審題，明確問解排列問題，首先必須認真審題，明確問題是否是排列問題，其次是抓住問題的本質特題是否是排列問題，其次是抓住問題的本質特征，靈活運用基本原理和公式進行分析解答，征，靈活運用基本原理和公式進行分析解答，同時，還要注意講究一些基本策略和方法技巧，同時，還要注意講究一些基本策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解使一些看似復雜的問題迎刃而解. 總的原則總的原則合理分類和準確分步合理分類和準確分步 解排列問題，應按元素的性質進行分類，解排

20、列問題，應按元素的性質進行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標準明事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。確，分步層次清楚，不重不漏。（一）特殊元素的（一）特殊元素的“優(yōu)先安排法優(yōu)先安排法” 對于特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮特殊元對于特殊元素的排列組合問題，一般應先考慮特殊元素，再考慮其它元素。素，再考慮其它元素。 例例1 用用0，1，2，3，4這五個數，組成沒有重復數字這五個數，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（的三位數，其中偶數共有（ ）A.24 B.30 C.40 D.60 分析：分析：由于該三位數是偶數，所以末尾數字必須是偶數，由于該三位

21、數是偶數，所以末尾數字必須是偶數， 又因為又因為0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，應優(yōu)元素，應優(yōu)先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分為兩類；排在末尾和不排在末尾分為兩類；0排在末尾時，有排在末尾時，有 個；個；0不排在末尾時，先用偶數排個位，再排百位，最后排不排在末尾時，先用偶數排個位，再排百位，最后排十位有十位有 個；個；由分類計數原理，共有偶數由分類計數原理，共有偶數 30 個個.2A4111233A A AB解題技巧分類講解：解題技巧分類講解： （1）0,1,2,3,4,5這六個數字可組成多少個無重這六個數字可組成多少個無重復數字的五位數？復數

22、字的五位數？4515AA （2）0，1，2，3，4，5可組成多少個無重復數可組成多少個無重復數字的五位奇數？字的五位奇數？341413AAA 練練 習習 13）用數字）用數字1, 2, 3可寫出多少個沒有重復數字可寫出多少個沒有重復數字且小于且小于1000的正整數？的正整數？15332313AAA 例例2 用用0，1，2，3，4這五個數，組成沒有重復這五個數，組成沒有重復數字的三位數，其中數字的三位數，其中1不在個位的數共有不在個位的數共有_種。種。（二）間接法（排除法）（二）間接法（排除法） 對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的減去，此時應注意既不能多減又不能少減。35A 分

23、析分析：五個數組成三位數的全排列有五個數組成三位數的全排列有 個，個，0排在首位的排在首位的有有 個個 ，1排在末尾的有排在末尾的有 ，減掉這兩種不合條件的排，減掉這兩種不合條件的排法數，再加回百位為法數，再加回百位為0同時個位為同時個位為1的排列數的排列數 （為什么？）（為什么？）故共有故共有 種。種。24A24A35A13A392132435AAA24A24A種排法。各不能排某位，則有、個位，個不同元素排若22112mnmnmnAAAbamn13A（1）三個男生，四個女生排成一排，甲不）三個男生，四個女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有幾種不同方法？在最左，乙不在最右，有幾種不同方法？

24、5566772AAA （2）五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，）五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第二個位置，那么不同的站法有（乙不站第二個位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72782334455AAA間接4113433378AA A A種直接練練 習習 2（三）相鄰問題（三）相鄰問題捆綁法捆綁法 對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素的元素“捆綁捆綁”在一起，看作一個在一起，看作一個“大大”的元的元素素（組），（組），與其它元素排列，然后再對相鄰的元素（組）內部進行與其它元素排列，然后再對相

25、鄰的元素（組）內部進行排列。排列。例例3 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相鄰，分人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相鄰，分別有多少種站法？別有多少種站法？分析：先將甲，乙，丙三人捆綁在一起看作一個元素，分析：先將甲，乙，丙三人捆綁在一起看作一個元素，與其余與其余4人共有人共有5個元素做全排列，有個元素做全排列，有 種排法，然后種排法，然后對甲，乙，丙三人進行全排列。對甲，乙，丙三人進行全排列。55A由分步計數原理可得：由分步計數原理可得： 種不同排法。種不同排法。5353A A（四）不相鄰問題（四）不相鄰問題插空法插空法 對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其它對于某幾個元素不相鄰的排

26、列問題，可先將其它元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素元素排好，然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入即可。之間及兩端的空隙之間插入即可。例例4 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？分別有多少種站法？分析：分析：可先讓其余可先讓其余4人站好，共有人站好，共有 種排法，再在種排法，再在這這4人之間及兩端的人之間及兩端的5個個“空隙空隙”中選三個位置讓甲、中選三個位置讓甲、乙、丙插入，則有乙、丙插入，則有 種方法，這樣共有種方法，這樣共有 種不種不同的排法。同的排法。44A35A3544AA（1）三個男

27、生，四個女生排成一排，男生、女）三個男生，四個女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？生各站一起，有幾種不同方法？2三個男生，四個女生排成一排，三個男生，四個女生排成一排，男生之間、男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：捆綁法：443322AAA 4433AA 插空法：插空法：3如果有兩個男生、四個女生排成一排，要如果有兩個男生、四個女生排成一排，要 求男求男生之間不相鄰，有幾種不同排法？生之間不相鄰，有幾種不同排法？2544AA 插空法：插空法：練練 習習 3例例5 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互

28、不等，將將7名學生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高名學生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？排列，有多少種排法？（五）順序固定問題用（五）順序固定問題用“除法除法” 對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將這幾個元素與其它元素一同進行排列，然后用總的這幾個元素與其它元素一同進行排列，然后用總的排列數除以這幾個元素的全排列數排列數除以這幾個元素的全排列數.所以共有所以共有 種。種。 473377AAA分析：分析：先在先在7個位置上作全排列，有個位置上作全排列，有 種排法。其中種排法。其中3個女生因要求個女生因要求“從矮到高從矮到高”

29、排，只有一種順序故排，只有一種順序故 只只對應一種排法，對應一種排法，33A77A（1） 五人排隊，甲在乙前面的排法有幾種？五人排隊，甲在乙前面的排法有幾種？練練 習習 42三個男生，四個女生排成一排，其中三個男生，四個女生排成一排，其中甲、乙、丙甲、乙、丙三人的順序不變，有幾種不同排法？三人的順序不變，有幾種不同排法？473377AAA分析：若不考慮限制條件，則有分析：若不考慮限制條件，則有 種排法，而甲，種排法，而甲，乙之間排法有乙之間排法有 種，故甲在乙前面的排法只有一種種，故甲在乙前面的排法只有一種符合條件，故符合條件，故符合條件的排法有符合條件的排法有 種種.55A22A5522AA

30、35A即（六）分排問題用（六）分排問題用“直排法直排法” 把把n個元素排成個元素排成若干排若干排的問題，若沒有其他的問題，若沒有其他的特殊要求，可采用統(tǒng)一排成一排的方法來處理的特殊要求，可采用統(tǒng)一排成一排的方法來處理.例例6 七人坐兩排座位，第一排坐七人坐兩排座位，第一排坐3人，第二排坐人，第二排坐4人，則有多少種不同的坐法？人，則有多少種不同的坐法？ 分析：分析：7個人，可以在前后排隨意就坐，再無個人，可以在前后排隨意就坐，再無其他限制條件，故兩排可看作一排處理，所以其他限制條件，故兩排可看作一排處理，所以不同的坐法有不同的坐法有 種種.77A（1）三個男生，四個女生排成兩排，前排三人、）三個男生，四個女生排成兩排，前排三人、后排四人，有幾種不同排法？后排四人，有幾種不同排法？或：七個人可以在前后兩排隨意就坐，再無其他條件，或：七個人可以在前后兩排隨意就坐，再無其他條件，所以所以兩排可看作一排來處理兩排可看作一排來處理不同的坐法有不同的坐法有 種種77A774437AAA （2）八個人排成兩排，有幾