第一單元復(fù)習(xí)(三角形)

1、階段專題復(fù)習(xí)第 一 章請(qǐng)寫出框圖中數(shù)字處的內(nèi)容請(qǐng)寫出框圖中數(shù)字處的內(nèi)容: :_;_;_;_;_;_;_;_;_;_;_;_;SSS,SAS,ASA,AAS,HLSSS,SAS,ASA,AAS,HL等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合相重合等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等, ,并且每個(gè)角都等于并且每個(gè)角都等于6060有一個(gè)角等于有一個(gè)角等于6060的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形; ;三個(gè)角都三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形相等的三角形是等邊三角形_;

2、_;_;_;_;_;_;_;_;_;_._.直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方, ,那么這個(gè)三那么這個(gè)三角形是直角三角形角形是直角三角形線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), ,在這條線段的垂直平分在這條線段的垂直平分線上線上角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等在一個(gè)角的內(nèi)部在一個(gè)角的內(nèi)部, ,且到角的兩邊距離相

3、等的點(diǎn)且到角的兩邊距離相等的點(diǎn), ,在這個(gè)角的在這個(gè)角的平分線上平分線上考點(diǎn)考點(diǎn) 1 1 等腰三角形的性質(zhì)和判定等腰三角形的性質(zhì)和判定【知識(shí)點(diǎn)睛知識(shí)點(diǎn)睛】1.1.定義定義: :有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形, ,其中三邊相等的三角形叫做等邊三角形其中三邊相等的三角形叫做等邊三角形. .2.2.等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)(1)(1)等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角.(2).(2)三線合一三線合一.(3).(3)是軸對(duì)稱圖形是軸對(duì)稱圖形.(4).(4)等腰三角形的性質(zhì)還有等腰三角形的性質(zhì)還有: :等腰三角等腰三角形兩腰上的中線相等形兩腰上的中線相等, ,兩腰上的高線相等

4、兩腰上的高線相等, ,兩底角的平分線也相等兩底角的平分線也相等. .3.3.等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)(1)有兩邊相等的三角形有兩邊相等的三角形.(2).(2)等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊. .4.4.等邊三角形等邊三角形(1)(1)性質(zhì)性質(zhì): :等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都是等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都是6060, ,三條邊都相等三條邊都相等; ;等邊三角形是中心對(duì)稱圖形等邊三角形是中心對(duì)稱圖形, ,也也是軸對(duì)稱圖形是軸對(duì)稱圖形, ,它有它有3 3條對(duì)稱軸條對(duì)稱軸. .(2)(2)判定判定: :有三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形有三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形; ;有一個(gè)角是有一個(gè)角是6060度的等腰

5、三角形是等邊度的等腰三角形是等邊三角形三角形. .【例例1 1】(2013(2013荊門中考荊門中考) )若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為5050, ,則則它的頂角為它的頂角為. .【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】由于等腰三角形中已知的內(nèi)角可能是頂角由于等腰三角形中已知的內(nèi)角可能是頂角, ,也可也可能是底角能是底角. .故分類討論故分類討論, ,求解求解. .【自主解答自主解答】頂角是頂角是5050, ,或者底角是或者底角是5050, ,此時(shí)頂角是此時(shí)頂角是8080. .答案答案: :5050或或8080【中考集訓(xùn)中考集訓(xùn)】1.(20131.(2013南平中考南平中考) )如圖如圖, ,在

6、在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,DEBC,ADE=48DEBC,ADE=48, ,則下列結(jié)論中不正確的則下列結(jié)論中不正確的是是( () )A.B=48A.B=48B.B.AED=66AED=66 C C.A=84.A=84D.B+C=96D.B+C=96【解析解析】選選B.B.A A.DEBC,ADE=48.DEBC,ADE=48, ,B=ADE=48B=ADE=48正確正確, ,不符合題意不符合題意; ;B.AB=AC,C=B=48B.AB=AC,C=B=48,DEBC,AED=C=48,DEBC,AED=C=48, ,符合題意符合題意; ;C.A=180C.A=180-B-C=

7、180-B-C=180-48-48-48-48=84=84正確正確, ,不符合題意不符合題意; ;D.B+C=48D.B+C=48+48+48=96=96正確正確, ,不符合題意不符合題意. .2.(20132.(2013成都中考成都中考) )如圖如圖, ,在在ABCABC中中,B=C,AB=5,B=C,AB=5,則則ACAC的長(zhǎng)的長(zhǎng)為為( () )A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5【解析解析】選選D.B=C,AC=AB=5.D.B=C,AC=AB=5.3.(20133.(2013張掖中考張掖中考) )等腰三角形的周長(zhǎng)為等腰三角形的周長(zhǎng)為16,16,其一邊長(zhǎng)為其一邊長(zhǎng)為6,6,則

8、則另兩邊為另兩邊為. .【解析解析】當(dāng)邊長(zhǎng)為當(dāng)邊長(zhǎng)為6 6的邊是底邊時(shí)的邊是底邊時(shí), ,兩腰為兩腰為5,5;5,5;當(dāng)邊長(zhǎng)為當(dāng)邊長(zhǎng)為6 6的邊的邊是腰時(shí)是腰時(shí), ,另兩邊長(zhǎng)為另兩邊長(zhǎng)為6,4,6,4,故本題答案為故本題答案為5,55,5或或6,4.6,4.答案答案: :5,55,5或或6,46,4考點(diǎn)考點(diǎn) 2 2 直角三角形的性質(zhì)和判定直角三角形的性質(zhì)和判定【知識(shí)點(diǎn)睛知識(shí)點(diǎn)睛】一、直角三角形的性質(zhì)一、直角三角形的性質(zhì)1.1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余直角三角形的兩個(gè)銳角互余. .2.2.勾股定理勾股定理: :直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

9、.3.3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. .4.4.直角三角形中直角三角形中3030角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. .5.5.直角三角形中直角三角形中, ,如果一條直角邊等于斜邊的一半如果一條直角邊等于斜邊的一半, ,那么這條直那么這條直角邊所對(duì)的角等于角邊所對(duì)的角等于3030. .二、直角三角形的判定二、直角三角形的判定1.1.有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形. .2.2.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形. .3.3.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:

10、:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方平方, ,那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)三角形是直角三角形. .4.4.如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半, ,那么這個(gè)三角那么這個(gè)三角形是直角三角形形是直角三角形. .【例例2 2】(2013(2013吉林中考吉林中考) )如圖如圖, ,在平面直角坐在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)系中, ,點(diǎn)點(diǎn)A,BA,B的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(-6,0),(0,8).(-6,0),(0,8).以以點(diǎn)點(diǎn)A A為圓心為圓心, ,以以ABAB長(zhǎng)為半徑畫弧長(zhǎng)為半徑畫弧, ,交交x x軸正半軸于軸正半軸于點(diǎn)

11、點(diǎn)C,C,則點(diǎn)則點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為. .【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】【自主解答自主解答】點(diǎn)點(diǎn)A,BA,B的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(-6,0),(0,8),(-6,0),(0,8),AO=6,BO=8,AB= =10.AO=6,BO=8,AB= =10.以點(diǎn)以點(diǎn)A A為圓心為圓心, ,以以ABAB長(zhǎng)為長(zhǎng)為半徑畫弧半徑畫弧,AB=AC=10,OC=AC-AO=4.,AB=AC=10,OC=AC-AO=4.交交x x軸正半軸于點(diǎn)軸正半軸于點(diǎn)C,C,點(diǎn)點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(4,0),(4,0),答案答案:(4,0):(4,0)22AOBO【中考集訓(xùn)中考集訓(xùn)】1.(20131.(2013資陽中考資陽中

12、考) )如圖如圖, ,點(diǎn)點(diǎn)E E在在正方形正方形ABCDABCD內(nèi)內(nèi), ,滿足滿足AEB=90AEB=90,AE=6,BE=8,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是則陰影部分的面積是( () )A.48 B.60A.48 B.60C.76 D.80C.76 D.80【解析解析】選選C C.AEB=90.AEB=90,AE=6,BE=8,AE=6,BE=8,在在RtRtABEABE中中,AB,AB2 2=AE=AE2 2+BE+BE2 2=100,=100,SS陰影部分陰影部分=S=S正方形正方形ABCDABCD-S-SABEABE=AB=AB2 2- - AEAEBE=100- BE=100

13、- 6 68=76.8=76.12122.(20122.(2012湖州中考湖州中考) )如圖如圖, ,在在RtRtABCABC中中, ,ACB=90ACB=90,AB=10,CD,AB=10,CD是是ABAB邊上的中線邊上的中線, ,則則CDCD的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是( () )A.20 B.10 C.5 D.A.20 B.10 C.5 D.【解析解析】選選C C.在在RtRtABCABC中中,ACB=90,ACB=90,AB=10,CD,AB=10,CD是是ABAB邊上邊上的中線的中線,CD= AB=5.,CD= AB=5.12523.3.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,AC=9,B

14、C=12,AC=9,BC=12,則則點(diǎn)點(diǎn)C C到到ABAB的距離是的距離是( () )【解析解析】選選A.A.根據(jù)勾股定理根據(jù)勾股定理, ,得得AB= =15,AB= =15,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)C C到到ABAB的的距離為距離為h,h,根據(jù)三角形的面積公式得根據(jù)三角形的面積公式得: : 解得解得h= .h= .361293 3A. B. C. D.52544229 +1211h 159 12,22 365考點(diǎn)考點(diǎn) 3 3 線段的垂直平分線和角的平分線線段的垂直平分線和角的平分線【知識(shí)點(diǎn)睛知識(shí)點(diǎn)睛】線段的垂直平分線和角的平分線線段的垂直平分線和角的平分線1.1.線段的垂直平分線線段的垂直平分線(1)(1)

15、性質(zhì)性質(zhì): :線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等相等; ;三角形的三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)三角形的三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn), ,并且這點(diǎn)到三并且這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等個(gè)頂點(diǎn)的距離相等. .(2)(2)判別判別: :到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), ,在這條線段的垂在這條線段的垂直平分線上直平分線上. .2.2.角的平分線角的平分線(1)(1)性質(zhì)性質(zhì): :角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等; ;三角形的三條三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)角平分線相交于一點(diǎn), ,并且

16、這一點(diǎn)到三條邊的距離相等并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等. .(2)(2)判別判別: :在一個(gè)角的內(nèi)部在一個(gè)角的內(nèi)部, ,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)且到角的兩邊距離相等的點(diǎn), ,在這個(gè)在這個(gè)角的平分線上角的平分線上. .【例例3 3】(2012(2012紹興中考紹興中考) )我們引入如下概念我們引入如下概念. .定義定義: :到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn), ,叫做此三角形的準(zhǔn)外叫做此三角形的準(zhǔn)外心心. .舉例舉例: :如圖如圖1,1,若若PA=PB,PA=PB,則點(diǎn)則點(diǎn)P P為為ABCABC的準(zhǔn)外心的準(zhǔn)外心. .應(yīng)用應(yīng)用: :如圖如圖2,CD2,CD為等邊三角形為等邊

17、三角形ABCABC的高的高, ,準(zhǔn)外心準(zhǔn)外心P P在高在高CDCD上上, ,且且PD=AB,PD=AB,求求APBAPB的度數(shù)的度數(shù). .探究探究: :已知已知ABCABC為直角三角形為直角三角形, ,斜邊斜邊BC=5,AB=3,BC=5,AB=3,準(zhǔn)外心準(zhǔn)外心P P在在ACAC邊邊上上, ,試探究試探究PAPA的長(zhǎng)的長(zhǎng). .【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】應(yīng)用應(yīng)用: :判斷判斷PB=PC,PA=PB=PC,PA=PC,PAPC,PA=PB=PB三種情況哪種情況三種情況哪種情況合適合適, ,再求出再求出APBAPB的度數(shù)的度數(shù); ;探究探究: :先根據(jù)勾股定理求出先根據(jù)勾股定理求出ACAC的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度,

18、,根據(jù)準(zhǔn)外心的定義根據(jù)準(zhǔn)外心的定義, ,分分PB=PC,PB=PC,PA=PC,PA=PC,PA=PBPA=PB三種情況求解三種情況求解. .【自主解答自主解答】應(yīng)用應(yīng)用: :若若PB=PC,PB=PC,連接連接PB,PB,則則PCB=PBC,CDPCB=PBC,CD為等邊三角形的高為等邊三角形的高, ,AD=BD,PCB=30AD=BD,PCB=30,PBD=PBC=30,PBD=PBC=30, ,PD= DB= AB,PD= DB= AB,與已知與已知PD= ABPD= AB矛盾矛盾, ,PBPC;PBPC;若若PA=PC,PA=PC,連接連接PA,PA,同理可得同理可得PAPC;PAPC

19、;若若PA=PB,PA=PB,連接連接AP,BP,AP,BP,336312由由PD= AB,PD= AB,得得PD=AD,APD=45PD=AD,APD=45, ,故故APB=90APB=90. .探究探究:BC=5,AB=3,AC= =4.:BC=5,AB=3,AC= =4.若若PB=PC,PB=PC,設(shè)設(shè)PA=x,PA=x,則則x x2 2+3+32 2=(4-x)=(4-x)2 2, ,x= ,x= ,即即PA= ;PA= ;若若PA=PC,PA=PC,則則PA=2;PA=2;若若PA=PB,PA=PB,由圖知由圖知, ,在在RtRtPABPAB中中, ,不可能不可能. .故故PA=2P

20、A=2或或 . .122222BCAB53787878【中考集訓(xùn)中考集訓(xùn)】1.(20121.(2012畢節(jié)中考畢節(jié)中考) )如圖如圖, ,在在RtRtABCABC中中,A=30,A=30, ,DEDE垂直平分斜邊垂直平分斜邊AC,AC,交交ABAB于于D,ED,E是垂足是垂足, ,連接連接CD,CD,若若BDBD=1,=1,則則ACAC的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是( () )A.2 B.2A.2 B.2C.4 D.4C.4 D.433【解析解析】選選A.A.A=30A=30,B=90,B=90, ,ACB=180ACB=180-30-30-90-90=60=60. .DEDE垂直平分斜邊垂直平分斜邊AC,AD

21、=CD,AC,AD=CD,A=ACD=30A=ACD=30,DCB=60,DCB=60-30-30=30=30, ,BD=1,CD=2=AD,AB=1+2=3,BD=1,CD=2=AD,AB=1+2=3,在在BCDBCD中中, ,由勾股定理得由勾股定理得:CB= ,:CB= ,在在ABCABC中中, ,由勾股定理得由勾股定理得:AC= =2 .:AC= =2 .322ABBC32.(20132.(2013長(zhǎng)沙中考長(zhǎng)沙中考) )如圖如圖,BD,BD是是ABCABC的平分的平分線線,P,P為為BDBD上的一點(diǎn)上的一點(diǎn),PEBA,PEBA于點(diǎn)于點(diǎn)E,PE=4cm,E,PE=4cm,則則點(diǎn)點(diǎn)P P到邊

22、到邊BCBC的距離為的距離為cm.cm.【解析解析】BDBD是是ABCABC的平分線的平分線,PEAB,PEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E,PE=4cm,E,PE=4cm,點(diǎn)點(diǎn)P P到到BCBC的距離的距離=PE=4cm.=PE=4cm.答案答案: :4 43.(20123.(2012通遼中考通遼中考) )如圖如圖, ,ABCABC的三邊的三邊AB,BC,AB,BC,CACA長(zhǎng)分別為長(zhǎng)分別為40,50,60,40,50,60,其三條角平分線交于點(diǎn)其三條角平分線交于點(diǎn)O,O,則則S SABOABOSSBCOBCOSSCAOCAO= =. .【解析解析】作作ODABODAB于于D,OEBCD,OEBC于于E,E,

23、BOBO平分平分ABC,OD=OE,ABC,OD=OE,SSABOABOSSBCOBCO=ABBC=4050=45,=ABBC=4050=45,同理同理S SBCOBCOSSCAOCAO=56,=56,SSABOABOSSBCOBCOSSCAOCAO=456.=456.答案答案: :456456考點(diǎn)考點(diǎn) 4 4 尺規(guī)作圖的應(yīng)用尺規(guī)作圖的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)睛知識(shí)點(diǎn)睛】1.1.用尺規(guī)作線段的垂直平分線的三個(gè)應(yīng)用用尺規(guī)作線段的垂直平分線的三個(gè)應(yīng)用(1)(1)確定到兩點(diǎn)或三點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的位置確定到兩點(diǎn)或三點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的位置. .(2)(2)確定線段的中點(diǎn)確定線段的中點(diǎn). .(3)(3)過一點(diǎn)作已知直線或

24、線段的垂線過一點(diǎn)作已知直線或線段的垂線. .2.2.用尺規(guī)作角的平分線的三個(gè)應(yīng)用用尺規(guī)作角的平分線的三個(gè)應(yīng)用(1)(1)把一個(gè)角分為把一個(gè)角分為2 2n n等份等份. .(2)(2)確定到角的兩邊或三角形三邊距離相等的點(diǎn)確定到角的兩邊或三角形三邊距離相等的點(diǎn). .(3)(3)與垂直平分線結(jié)合與垂直平分線結(jié)合, ,解決一些實(shí)際問題解決一些實(shí)際問題. .【例例4 4】(2012(2012北海中考北海中考) )已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,A=30,A=30,B=60,B=60. .(1)(1)作作B B的平分線的平分線BD,BD,交交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)D;D;作作ABAB的的中點(diǎn)

25、中點(diǎn)E(E(要求要求: :尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖, ,保留作圖痕跡保留作圖痕跡, ,不必寫作法和證明不必寫作法和證明).).(2)(2)連接連接DE,DE,求證求證: :ADEADEBDE.BDE.【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】(1)AB(1)AB與其垂直平分線的交點(diǎn)與其垂直平分線的交點(diǎn), ,就是就是ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn). .(2)(2)先證明先證明ABD=A,ABD=A,可得可得AD=BD,AD=BD,再加上條件再加上條件AE=BE,AE=BE,由由SASSAS可得可得ADEADEBDE.BDE.【自主解答自主解答】(1)(1)如圖所示如圖所示: :(2)ABD= (2)ABD= 6060=30=30,A=30,A=30, ,ABD=A,AD=BD,ABD=A,AD=BD,又