蒙特卡羅模擬8ppt課件

1、 蒙特卡羅蒙特卡羅(Monte(MonteCarlo)Carlo)模擬，又稱蒙模擬，又稱蒙特卡羅方法、統(tǒng)計實驗法等特卡羅方法、統(tǒng)計實驗法等. . MC模擬是靜態(tài)模擬，描畫特定時間點模擬是靜態(tài)模擬，描畫特定時間點上的系統(tǒng)行為上的系統(tǒng)行為.模擬過程中模擬過程中不出現(xiàn)時間不出現(xiàn)時間參數(shù)。參數(shù)。根本思想根本思想: :把隨機(jī)事件把隨機(jī)事件變量的概率特征與變量的概率特征與數(shù)學(xué)分析的解聯(lián)絡(luò)起來數(shù)學(xué)分析的解聯(lián)絡(luò)起來. . 概率特征：隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的概率特征：隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望等數(shù)學(xué)期望等. . 用實驗方法確定用實驗方法確定 例例7.3.1 用用MC 模擬求圓周率模擬求圓周率的估計值的

2、估計值. 110 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)在正方形內(nèi)在正方形內(nèi)服從均勻分布服從均勻分布. (X, Y)落在圓內(nèi)的概率為落在圓內(nèi)的概率為: 4122 YXP計算機(jī)上做計算機(jī)上做n n 次擲點實驗：次擲點實驗： 產(chǎn)生產(chǎn)生n 對二維隨機(jī)點對二維隨機(jī)點(xi，yi) ，i1 ,2, , n .xi 和和yi 是是RND 隨機(jī)數(shù)對隨機(jī)數(shù)對. 檢查每對隨機(jī)數(shù)能否滿足檢查每對隨機(jī)數(shù)能否滿足:122 iiyx相當(dāng)于第相當(dāng)于第i個隨機(jī)點落個隨機(jī)點落在在1/4圓內(nèi)圓內(nèi).假設(shè)有假設(shè)有k 個點落在個點落在l4圓圓內(nèi)內(nèi) 隨機(jī)事件隨機(jī)事件“點落入點落入1/4圓內(nèi)的圓內(nèi)的頻率為頻率為 k/n 根據(jù)概率論中的

3、大數(shù)定律根據(jù)概率論中的大數(shù)定律, 事件發(fā)生的頻率事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件發(fā)生的概率依概率收斂于事件發(fā)生的概率p，即有，即有1lim pPnkn得圓周率得圓周率的估計值為的估計值為nk4 且當(dāng)實驗次數(shù)足夠大時且當(dāng)實驗次數(shù)足夠大時, 其精度也隨之提高其精度也隨之提高. 分析：實踐上概率值為分析：實踐上概率值為41102 dxx恰為恰為1/4圓圓的面積的面積 頻率法：頻率法： 利用隨機(jī)變量落進(jìn)指定區(qū)域內(nèi)的頻利用隨機(jī)變量落進(jìn)指定區(qū)域內(nèi)的頻率來計算定積分率來計算定積分. 平均值法：平均值法： 利用隨機(jī)變量的平均值利用隨機(jī)變量的平均值(數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望)來計算定積分來計算定積分. badxxfI)(

4、平均值法的算法如下：平均值法的算法如下： 產(chǎn)生產(chǎn)生RND RND 隨機(jī)數(shù)：隨機(jī)數(shù)：r1r1，r2r2，rnrn；2令令 ui=a(ba)ri，i=1，2，n； 3計算計算 作為作為I 的估計值的估計值. niiufnab1)(原理分析：原理分析： 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量1，2，n相互獨立，相互獨立，且且iU(0,1)f(i)，i=1，2，n 相互獨立同分布相互獨立同分布abIdxxfabfEbai )(1)( 由由(強(qiáng)強(qiáng))大數(shù)定律知大數(shù)定律知.)(1lim1eaabIfnniin 以概率為以概率為1 1 成立成立當(dāng)當(dāng)n 足夠大時，得近似公式：足夠大時，得近似公式： niinbafabdxxfI1

5、1)()()(注：注： 平均值法本質(zhì)上是用樣本平均值作為平均值法本質(zhì)上是用樣本平均值作為總體教學(xué)期望的估計?？傮w教學(xué)期望的估計。 MC 模擬是一種實驗近似方法模擬是一種實驗近似方法 , 實驗次數(shù)實驗次數(shù)如何確定？如何確定？希望：模擬次數(shù)較少、希望：模擬次數(shù)較少、 模擬精度較高模擬精度較高頻率法的討論頻率法的討論用事件用事件A A出現(xiàn)的頻率作為概率出現(xiàn)的頻率作為概率p p 的估計的估計: : nkpn 問題：實驗次數(shù)問題：實驗次數(shù) n 多大時，對給定的置信多大時，對給定的置信度度101，估計精度到達(dá)，估計精度到達(dá). 即問：取多大的即問：取多大的n n 使使 1pnkPppPn成立？成立？證明證明

6、頻率法是事件頻率法是事件A A出現(xiàn)的頻率作為概率出現(xiàn)的頻率作為概率p p的估計的估計 nkpn 答案：答案：22)1( zppn其中其中, z是正態(tài)分布的臨界值是正態(tài)分布的臨界值.n次獨立實驗中次獨立實驗中A出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)knB(n, p).由中由中心極限定理知心極限定理知 )()( pnkpnPppPn )1()1()1(pnpnpnpnpkpnpnPn)1()1(pnpnpnpn 1)1(2 pnpn 11)1(2pnpn令令平均值法平均值法 在給定在給定和和下所需的實驗次數(shù)下所需的實驗次數(shù)的估計式為的估計式為 01202222)(11/niixxnSSzn查得正態(tài)分布的臨界值查得正

7、態(tài)分布的臨界值z,z,可解得可解得 22)1( zppn實驗次數(shù)估計式的分析實驗次數(shù)估計式的分析 01202222)(11/niixxnSSzn為估計概率為估計概率p p做做模擬模擬, ,卻又需求卻又需求用用p p去估計模擬去估計模擬次數(shù)次數(shù)n.n. 如何計算S2 ？ 處理方法：先做處理方法：先做n0 次模擬稱為學(xué)習(xí)樣本次模擬稱為學(xué)習(xí)樣本)，根據(jù)學(xué)習(xí)樣本根據(jù)學(xué)習(xí)樣本.1先求出先求出p的估計，再估計模擬次數(shù)的估計，再估計模擬次數(shù)n : 22)1(.1 zppn22)1( zppn 2計算出的樣本方差計算出的樣本方差S2 ,用來估計用來估計n. 2. M C模擬的估計精度模擬的估計精度與實驗次數(shù)與

8、實驗次數(shù)n的平的平方根成反比方根成反比, 假設(shè)精度假設(shè)精度提高提高10倍倍,那么實驗次數(shù)那么實驗次數(shù)n要增大要增大100倍倍. P197表表8.2中列出了置信度為中列出了置信度為0.95 時時, 在不同在不同精度精度及概率及概率p條件下頻率法所需實驗次數(shù)。條件下頻率法所需實驗次數(shù)。 對該表進(jìn)展分析，能得到什么結(jié)論？對該表進(jìn)展分析，能得到什么結(jié)論？1. 精度提高，實驗次數(shù)大幅提高；2. 事件發(fā)生概率越接近事件發(fā)生概率越接近0.5，實驗次數(shù)越高；，實驗次數(shù)越高； 核反響堆屏蔽層是用一定厚度的鉛包圍反響核反響堆屏蔽層是用一定厚度的鉛包圍反響堆，用以阻撓或減弱反響堆發(fā)出的各種射線堆，用以阻撓或減弱反響

9、堆發(fā)出的各種射線.在各種射線中在各種射線中, 中子對人體損傷極大，因此，中子對人體損傷極大，因此，在屏蔽層的設(shè)計中在屏蔽層的設(shè)計中, 了解中子穿透屏蔽層的概了解中子穿透屏蔽層的概率對反響堆的平安運轉(zhuǎn)至關(guān)重要率對反響堆的平安運轉(zhuǎn)至關(guān)重要.1.問題背景問題背景假定屏蔽層是理想的均勻平板假定屏蔽層是理想的均勻平板 一個中子進(jìn)入屏蔽層后運動的物理過程一個中子進(jìn)入屏蔽層后運動的物理過程: :中中子以初速度子以初速度v0v0和方向角和方向角射入屏蔽層射入屏蔽層, ,運動一運動一段間隔后與鉛核發(fā)生碰撞，中子獲得新的速度段間隔后與鉛核發(fā)生碰撞，中子獲得新的速度及方向及方向(v1,1). (v1,1). 再游動

10、一段間隔后再游動一段間隔后, ,與鉛核發(fā)生與鉛核發(fā)生第二次碰撞第二次碰撞, ,并獲得新的形狀并獲得新的形狀(v2,2),(v2,2),如此等等如此等等, ,經(jīng)過假設(shè)干次碰撞后經(jīng)過假設(shè)干次碰撞后, ,出現(xiàn)下述情況之一時中子出現(xiàn)下述情況之一時中子終止運動過程終止運動過程 三種三種形狀形狀1中子被彈回反響堆；中子被彈回反響堆；為使屏蔽層的厚度到達(dá)平安設(shè)計要求為使屏蔽層的厚度到達(dá)平安設(shè)計要求, ,在計在計算機(jī)上對中子在屏蔽層的運動過程進(jìn)展模擬算機(jī)上對中子在屏蔽層的運動過程進(jìn)展模擬 2中子穿透屏蔽層；中子穿透屏蔽層；3第第n次碰撞后次碰撞后,中子被屏蔽層吸收中子被屏蔽層吸收.D前往前往穿透穿透吸收吸收論

11、述中子的運動，論述中子的運動，為模擬做實際預(yù)備為模擬做實際預(yù)備2. 簡化假設(shè)：簡化假設(shè)： *1 假定屏蔽層平行板厚度為D=3d，其中d 為兩次碰撞之間中子的平均游動間隔； *2 假設(shè)在第10 次碰撞以后，中子速度下降到為某一很小數(shù)值而終止運動被引收. 因每次碰撞后, 中子因損失一部分能量而速度下降. *4 中子經(jīng)碰撞后的彈射角中子經(jīng)碰撞后的彈射角 U(0, 2).思索：請仔細(xì)分析以上假設(shè)的合理性思索：請仔細(xì)分析以上假設(shè)的合理性. *3 假定中子在屏蔽層內(nèi)相繼兩次碰撞之間游動的間隔服從指數(shù)分布； 3. 中子運動的數(shù)學(xué)描畫中子運動的數(shù)學(xué)描畫引進(jìn)變量：引進(jìn)變量： 彈射角彈射角i 第第i 次碰撞后中子

12、的運動方向與次碰撞后中子的運動方向與x 軸正向的夾角軸正向的夾角.DD0 xxi ixi 第第i 次碰撞次碰撞后后中子所處位置與中子所處位置與屏蔽層內(nèi)屏蔽層內(nèi) 壁的間壁的間隔隔.R i 中子在第中子在第 i 次碰撞前后的游次碰撞前后的游動間隔動間隔.三個變量三個變量均為隨機(jī)均為隨機(jī)變量變量 中子在屏蔽層里隨機(jī)游動, 第 i 次碰撞以后, 按照它的位置坐標(biāo) xi，能夠有以下三種情況發(fā)生：1 xi0，中子前往反響堆；，中子前往反響堆；2 xiD，中子穿透屏蔽層；，中子穿透屏蔽層； 3 0 xiD，假設(shè)，假設(shè)i10，中子，中子在屏蔽層內(nèi)繼續(xù)運動在屏蔽層內(nèi)繼續(xù)運動, 假設(shè)假設(shè) i=10中子被屏蔽層吸收

13、中子被屏蔽層吸收.中子三中子三形狀判形狀判別準(zhǔn)那別準(zhǔn)那么么 經(jīng)過第i 次碰撞，中子在屏蔽層內(nèi)的位置是 xi=xi1+Ricosi ，i=1，2，10 ，4. 模擬過程模擬過程(1) 產(chǎn)生產(chǎn)生RND隨機(jī)數(shù)對隨機(jī)數(shù)對(ri, ui )；(2) 將將(ri, ui )代入公式計算代入公式計算 ,2,lniiiiurdR 第第i i 次中子次中子的挪動間隔的挪動間隔和彈射角和彈射角 (i=1,2,3，10) (3) 將將(Ri, i) 代入公式代入公式 xi = xi1+Ricosi ，i=1，2，10 計算出第計算出第i 次碰撞中子與內(nèi)壁的間隔次碰撞中子與內(nèi)壁的間隔xi . 判別中子能否穿透屏蔽層判

14、別中子能否穿透屏蔽層.5. 模擬結(jié)果分析模擬結(jié)果分析 要求穿透屏蔽層的概率數(shù)量級為要求穿透屏蔽層的概率數(shù)量級為1061010,按假設(shè)條件得到一次模擬結(jié)果如下：按假設(shè)條件得到一次模擬結(jié)果如下： 中子數(shù)中子數(shù)( (個個) ) 穿透穿透(%) 吸收吸收(%) 返回返回( (%) 100100030005000 30.026.026.526.3 28.023.421.8 22.0 42.050.651.7 51.7 中子穿透屏蔽層的百分比超越了中子穿透屏蔽層的百分比超越了1/4, 模擬模擬結(jié)果闡明屏蔽層厚度結(jié)果闡明屏蔽層厚度D=3d不適宜不適宜. 多厚的屏蔽層才干使穿透的概率多厚的屏蔽層才干使穿透的概

15、率W106？問問 題：題： 如何處理這個問題？如何處理這個問題？思緒？思緒？ 計算機(jī)收索法計算機(jī)收索法 增大屏蔽層的厚度，如增大屏蔽層的厚度，如D=6d、12d、24d、36d，交由計算機(jī)進(jìn)展模擬，交由計算機(jī)進(jìn)展模擬, 并搜索到所并搜索到所求解求解.2. 分析法分析法 12mDDD 設(shè)計屏蔽層的厚度：設(shè)計屏蔽層的厚度： x=mD 將屏蔽層視為將屏蔽層視為m層厚度均為層厚度均為D的平行板的平行板. 由于碰撞的能量損失由于碰撞的能量損失,中子穿過屏蔽層的平中子穿過屏蔽層的平均速度會逐層下降均速度會逐層下降. 設(shè)WD 是中子穿過厚度為D 屏蔽層的概率,那么穿過整個屏蔽層的概率W 滿足 mDWW 利用

16、模擬結(jié)果：當(dāng)利用模擬結(jié)果：當(dāng)D=3d，WD0.25，令，令(WD)m106， 或或 (m)410 6967. 9602. 064log10log6 m取屏蔽層的厚度取屏蔽層的厚度 x=10D=30d，可使穿透屏蔽層的概率可使穿透屏蔽層的概率w106 注：模擬注：模擬5000個中子的運動個中子的運動,用穿透屏蔽的用穿透屏蔽的頻率估計穿透概率頻率估計穿透概率,由表由表8.2可知精度大約只需可知精度大約只需1,模擬精度太低模擬精度太低,應(yīng)適當(dāng)增大模擬次數(shù)應(yīng)適當(dāng)增大模擬次數(shù).總結(jié)：總結(jié)：模擬的意義？模擬的意義？ 1.模擬方法本質(zhì)上是實驗性的模擬方法本質(zhì)上是實驗性的,模擬系統(tǒng)是模擬系統(tǒng)是 現(xiàn)實系統(tǒng)的仿真現(xiàn)實系