高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)點(diǎn)原稿

1、 高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)點(diǎn)（文）第一部分:統(tǒng)計(jì)1、 什么是眾數(shù)。 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 眾數(shù)的特點(diǎn)。 眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多；眾數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，當(dāng)眾數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)越多，它就越能代表這組數(shù)據(jù)的整體狀況，并且它能比較直觀地了解到一組數(shù)據(jù)的大致情況。但是，當(dāng)一組數(shù)據(jù)大小不同，差異又很大時(shí)，就很難判斷眾數(shù)的準(zhǔn)確值了。此外，當(dāng)一組數(shù)據(jù)的那個(gè)眾數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)不具明顯優(yōu)勢(shì)時(shí)，用它來(lái)反映一組數(shù)據(jù)的典型水平是不大可靠的。 3.眾數(shù)與平均數(shù)的區(qū)別。 眾數(shù)表示一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)；平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)中表示平均每份的數(shù) 量。二、.中位數(shù)的概念。 一組數(shù)據(jù)按大

2、小順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，為最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。 三 .眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的求法。 眾數(shù)由所給數(shù)據(jù)可直接求出;求中位數(shù)時(shí)，首先要先排序(從小到大或從大到小)，然后根據(jù)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，最中間的一個(gè)數(shù)就是中位數(shù);當(dāng)數(shù)據(jù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)。求平均數(shù)時(shí)，就用各數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，得數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。 四、中位數(shù)與眾數(shù)的特點(diǎn)。 中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中唯一的，可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)； 求中位數(shù)時(shí)，先將數(shù)據(jù)有小到大順序排列，若這組數(shù)據(jù)是奇數(shù)個(gè)，則中間的數(shù)據(jù)是中位數(shù)；若這組數(shù)據(jù)是偶數(shù)

3、個(gè)時(shí)，則中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)； 中位數(shù)的單位與數(shù)據(jù)的單位相同； 眾數(shù)考察的是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻數(shù)； 眾數(shù)的大小只與這組數(shù)的個(gè)別數(shù)據(jù)有關(guān)，它一定是一組數(shù)據(jù)中的某個(gè)數(shù)據(jù)，其單位與數(shù)據(jù)的單位相同； （6）眾數(shù)可能是一個(gè)或多個(gè)甚至沒(méi)有； （7）平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量。五.平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的異同： 平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量； 平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都有單位； 平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，與這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都有關(guān)系，所以最為重要，應(yīng)用最廣； 中位數(shù)不受個(gè)別偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響； 眾數(shù)與各組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)有關(guān)，不受個(gè)別數(shù)據(jù)的影響，有時(shí)是我們最

4、為關(guān)心的數(shù)據(jù)。六、對(duì)于樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn，設(shè)想通過(guò)各數(shù)據(jù)到其平均數(shù)的平均距離來(lái)反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度，那么這個(gè)平均距離如何計(jì)算？思考4：反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用s表示.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為，則標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式是：七、簡(jiǎn)單隨即抽樣的含義 一般地,設(shè)一個(gè)總體有N個(gè)個(gè)體, 從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本（nN）, 如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等, 則這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽 樣.八、根據(jù)你的理解，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣有哪些主要特點(diǎn)？（1）總體的個(gè)體數(shù)有限；（2）樣本的抽取是逐個(gè)進(jìn)行的，每次只抽取一個(gè)個(gè)體；（3）抽取的樣本不

5、放回，樣本中無(wú)重復(fù)個(gè)體；（4）每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，抽樣具有公平性.九、抽簽法的操作步驟？第一步，將總體中的所有個(gè)體編號(hào)，并把號(hào)碼寫(xiě)在形狀、大小相同的號(hào)簽上.第二步，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，并攪拌均勻第三步，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本.十一、抽簽法有哪些優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？ 優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單易行，當(dāng)總體個(gè)數(shù)不多的時(shí)候攪拌均勻很容易，個(gè)體有均等的機(jī)會(huì)被抽中，從而能保證樣本的代表性. 缺點(diǎn)：當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)很難攪拌均勻，產(chǎn)生的樣本代表性差的可能性很大.十一、 利用隨機(jī)數(shù)表法從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，其抽樣步驟如何？ 第一步，將總體中的所有個(gè)體編號(hào). 第二

6、步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為起始數(shù). 第三步，從選定的數(shù)開(kāi)始依次向右（向左、向上、向下）讀，將編號(hào)范圍內(nèi)的數(shù)取出，編號(hào)范圍外的數(shù)去掉，直到取滿n個(gè)號(hào)碼為止，就得到一個(gè)容量為n的樣本.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一般采用兩種方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法。思考： 如果從100個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，你認(rèn)為對(duì)這100個(gè)個(gè)體進(jìn)行怎樣編號(hào)為宜？解法1：（抽簽法）將100件軸編號(hào)為1，2，100，并做好大小、形狀相同的號(hào)簽，分別寫(xiě)上這100個(gè)數(shù)，將這些號(hào)簽放在一起，進(jìn)行均勻攪拌，接著連續(xù)抽取10個(gè)號(hào)簽，然后測(cè)量這個(gè)10個(gè)號(hào)簽對(duì)應(yīng)的軸的直徑。解法2：（隨機(jī)數(shù)表法）將100件軸編號(hào)為00，01，99，在隨機(jī)數(shù)表中選定

7、一個(gè)起始位置，如取第21行第1個(gè)數(shù)開(kāi)始，選取10個(gè)為68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，這10件即為所要抽取的樣本。小結(jié)、 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種最簡(jiǎn)單、最基本的抽樣方法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣有兩種選取個(gè)體的方法：放回和不放回，我們?cè)诔闃诱{(diào)查中用的是不放回抽樣，常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有抽簽法和隨機(jī)數(shù)法. 抽簽法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行，缺點(diǎn)是當(dāng)總體的容量非常大時(shí)，費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，又不方便， 如果標(biāo)號(hào)的簽攪拌得不均勻，會(huì)導(dǎo)致抽樣不公平，隨機(jī)數(shù)表法的優(yōu)點(diǎn)與抽簽法相同，缺點(diǎn)上當(dāng)總體容量較大時(shí)，仍然不是很方便，但是比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合總體容量較少的抽樣類型. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體入樣的可

8、能性都相等，均為n/N，但是這里一定要將每個(gè)個(gè)體入樣的可能性、第n次每個(gè)個(gè)體入樣的可能性、特定的個(gè)體在第n次被抽到的可能性這三種情況區(qū)分開(kāi)來(lái)，避免在解題中出現(xiàn)錯(cuò)誤.解題應(yīng)用 如果從600件產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行質(zhì)量檢查，按照上述思路抽樣應(yīng)如何操作？第一步，將這600件產(chǎn)品編號(hào)為1，2，3，600.第二步，將總體平均分成60部分，每一部分含10個(gè)個(gè)體.第三步，在第1部分中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取一個(gè)號(hào)碼（如8號(hào)）.第四步，從該號(hào)碼起，每隔10個(gè)號(hào)碼取一個(gè)號(hào)碼，就得到一個(gè)容量為60的樣本.（如8，18，28，598）十二、系統(tǒng)抽樣的定義：一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的若

9、干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣.由系統(tǒng)抽樣的定義可知系統(tǒng)抽樣有以下特征：（1）當(dāng)總體容量N較大時(shí)，采用系統(tǒng)抽樣。 （2）將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，這時(shí)間隔一般為k . （3）預(yù)先制定的規(guī)則指的是：在第1段內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào)，在此編號(hào)的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號(hào). 思考.下列抽樣中不是系統(tǒng)抽樣的是 （ C ） A、從標(biāo)有115號(hào)的15號(hào)的15個(gè)小球中任選3個(gè)作為樣本，按從小號(hào)到大號(hào)排序，隨機(jī)確定起點(diǎn)i,以后為i+5, i+10(超過(guò)15則

10、從1再數(shù)起)號(hào)入樣 B工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用傳關(guān)帶將產(chǎn)品送入包裝車間前，檢驗(yàn)人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產(chǎn)品檢驗(yàn) C、搞某一市場(chǎng)調(diào)查，規(guī)定在商場(chǎng)門口隨機(jī)抽一個(gè)人進(jìn)行詢問(wèn)，直到調(diào)查到事先規(guī)定的 調(diào)查人數(shù)為止 D、電影院調(diào)查觀眾的某一指標(biāo)，通知每排（每排人數(shù)相等）座位號(hào)為14的觀眾留下來(lái)座談十三、系統(tǒng)抽樣的一般步驟用系統(tǒng)抽樣從總體中抽取樣本時(shí)，首先要做的工作是什么？將總體中的所有個(gè)體編號(hào).如果用系統(tǒng)抽樣從605件產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行質(zhì)量檢查，由于605件產(chǎn)品不能均衡分成60部分，應(yīng)先從總體中隨機(jī)剔除5個(gè)個(gè)體，再均衡分成60部分.一般地，用系統(tǒng)抽樣從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，其操作步

11、驟如何？第一步，將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào).第二步，確定分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段.第三步，在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體編號(hào)l.第四步，按照一定的規(guī)則抽取樣本.十四：分層抽樣的定義: 若總體由差異明顯的幾部分組成，抽樣時(shí)，先將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，再將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本.分層抽樣又稱類型抽樣十五. 應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求及具體步驟： (1)分層：將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則。（2）分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個(gè)

12、體數(shù)量的比與這層個(gè)體數(shù)量與總體容量的比相等。一般地，分層抽樣的操作步驟如何？第一步，計(jì)算樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比.第二步，將總體分成互不交叉的層，按比例確定各層要抽取的個(gè)體數(shù).第三步，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取相應(yīng)數(shù)量的個(gè)體.第四步，將各層抽取的個(gè)體合在一起，就得到所取樣本.十六、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種抽樣的類比學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣既有其共性，又有其個(gè)性，根據(jù)下表，你能對(duì)三種抽樣方法作一個(gè)比較嗎？對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，組距的確定沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn)，組數(shù)太多或太少，都會(huì)影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況.數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與樣本容量有關(guān)，一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多.

13、十七 列頻率直分布表的步驟 列出一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表可以分哪幾個(gè)步驟進(jìn)行？ 第一步，求極差. 第二步，決定組距與組數(shù). 第三步，確定分點(diǎn)，將數(shù)據(jù)分組. 第四步，列頻率分布表.十八、繪制頻率分布直方圖的步驟頻率分布直方圖中 樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是根據(jù)頻率分布表畫(huà)出來(lái)的，一般地，頻率分布直方圖的作圖步驟如何？第一步，畫(huà)平面直角坐標(biāo)系. 第二步，在橫軸上均勻標(biāo)出各組分點(diǎn)，在縱軸上標(biāo)出單位長(zhǎng)度.第三步，以組距為寬，各組的頻率與組距的商為高，分別畫(huà)出各組對(duì)應(yīng)的小長(zhǎng)方形.小結(jié)1.頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小，總體分布是指總體取值的 頻率分布規(guī)律.我們通常用樣本的頻率分布表或

14、頻率分布直方圖去估計(jì)總體的分布.2.頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息.3.樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過(guò)各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來(lái)表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，它可以讓我們更清楚的看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，并由此估計(jì)總體的分布情況.十九、如何根據(jù)樣本頻率分布直方圖，分別估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？ (1)眾數(shù)：最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo). (2)中位數(shù)：直方圖面積平分線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). (3)平均數(shù)：每個(gè)小矩形的面積與小矩形

15、底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和. 二十：什么是莖葉圖莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個(gè)主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)具體是多少。第二部分：概率一、隨機(jī)事件的概率及概率的意義1、基本概念：（1）必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)于條件S的確定事件；（4）隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相

16、對(duì)于條件S的隨機(jī)事件；（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度越來(lái)越小。我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重

17、復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個(gè)事件的概率二、 概率的基本性質(zhì)1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若AB為不可能事件，即AB=，那么稱事件A與事件B互斥；（3）若AB為不可能事件，AB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件；（4）當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；若事件A與B為對(duì)立事件，則AB為必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)2、概率的基本性質(zhì)：1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0P(A)1；2）當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；3

18、）若事件A與B為對(duì)立事件，則AB為必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；4）互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對(duì)立事件是指事件A與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對(duì)立事件互斥事件的特殊情形。三、古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1、（1）古典概型的使用條件：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；求出總的基本事件數(shù)；求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=四、幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：P（A）=；（1） 幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無(wú)限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等第三部分: 統(tǒng)計(jì)案例1線性回歸方程變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；制作散點(diǎn)圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系線性回歸方程：（最小二乘法） 注意：線性回歸直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。2 相關(guān)