全國初中數(shù)學競賽試題及參考答案

1、學習必備歡迎下載20XX年全國初中數(shù)學競賽試題及參考答案一.選擇題（5X7'=35'）1.對正整數(shù)n,記n!=1>2X.n側(cè)1!+2!+3!+.+10!的末位數(shù)是（）.A.0B.1C.3D.5故式子的個【分析】n之5時，n!的個位數(shù)均為0,只考慮前4個數(shù)的個位數(shù)之和即可，1+2+6+4=13,位數(shù)是3.本題選C.2.已知關(guān)于x的不等式組3x_2恰好有5個整數(shù)解，則t的取值范圍是（)-tx11A. -6:t2B. -6-t:二C. -6二t<D.-6-t<1122x+5注意到x=15時，只有4個整數(shù)解.所以14-3-2t<15=-6二t三112,本題選C-

2、x>5【分析】<3=32t<x<20,則5個整數(shù)解是x=19,18,17,16,15.x3+-t:：x2CX<O31J151617181920>3.已知關(guān)于x的方程x+x-2=a2x恰好有一個實根，則實數(shù)a的值有（）個.2x-2xx-2x學習必備歡迎下載A.1B.2C.3D.4【分析】-+2=aJ2x=a=2x22x+4,下面先考慮增根：x-2xx-2xi）令x=0,則a=4,當a=4時，2x22x=0,為=1,x2=0（舍）；ii）令x=2,則a=8,當a=8時，2x22x4=0,x1=1,x2=2（舍）；再考慮等根：27.71in）對2x2x+4a=0,

3、A=4-8（4-a）=0ta=,當a=,x12=.22，2,一71.一.故a=4,8,一，x=1,-1，一共3個.本題選C.224.如圖，已知4ABC的面積為24,點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且BC=4CF,DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為().A.3B.4C.5D.6【分析】設(shè)AABC底邊BC上的高為h,則48481212h=BC4CFCFDE,cc111SadeSbde=-DE-DEn-DE(h1h2)1CL,1y12-二DEh二一DE6本題選D.22DE學習必備歡迎下載5.在分別標有號碼2,3,4,.,10的9個球中，隨機取出兩個球,記下它們的標號,則較大標號

4、被較小標號整除的概率是（)A.14B.29D.-36本題選B.c4+c2+1+1=8=2ZT2_二C9369二.填空題（5X7'=35'）6 .設(shè)a=3/3,b是az的小數(shù)部分，則（b+2）3的值為【分析】考慮到a=V3,則a2=3；32=9,2=V8<9f9<V27=3,b=3/9-2,b+2=3'9則(b2)3=(3.9)3=97 .一個質(zhì)地均勻的正方體的六個面上分別標有數(shù)1、2、3、4、5、6.擲這個正方體三次，則其朝上的面的數(shù)的和為3的倍數(shù)的概率是.【分析】對第一次向上面為1時，后面兩次所得數(shù)字與1的和是3的倍數(shù)有111,114,123,126,13

5、2,135,141,144,153,156,162,165共12種；對于首次擲得向上的面是2,3,4,5,6的，后面兩次與首次的和為3的倍數(shù)是輪換對稱的，故和為3的倍數(shù)共有12M6,而總次數(shù)是6M6M6次，則其概率為c1261P二二-.66638 .已知正整數(shù)a、b、c滿足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0,貝Uabc的最大值為.1oo1【分析】先消去c,再配萬估算.6a+a+b16b=2=6(a+)+(b8)=66+一1224學習必備歡迎下載觀察易知上式中a£3,故a=1,2,3,經(jīng)試算，a=1,2時，b均不是整數(shù)；當a=3時，b=5,11,于是有(a,b,c)=(3,5

6、,13),(3,11,61),故abcmax=3父11父61=2013.9 .實數(shù)a、b、c、d滿足：一元二次方程x2+cx+d=0的兩根為a、b,一元二次方程x2+ax+b=0的兩根為c、d,則所有滿足條件的數(shù)組(a、b、c、d)為.【分析】由根與系數(shù)關(guān)系知a+b+c=c+d+a=0=b=d,ab=d,cd=b，然后可得(a、b、c、d)=(1,-2,1,-2)本題在化簡過程中，總感覺還有，此處僅給出一組，好像不嚴謹，期待官方答案.10 .小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，園珠筆每支售7元，開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支，當天雖然沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元，

7、則他至少賣出了支圓珠筆.【分析】設(shè)4元的賣x支，7元的賣y支，則4x+7y=2013,x+y<350y14x7y=2013=4x=2012-8yy1=x=503-2y14令y!=k=y=4k1,則x=5032(4k1)+k=5057k,又x+yM350,即4505-7k+4k-1<350=k2511一工k>52,y=4k-1>452-1=2073即他至少賣了207支圓珠筆.學習必備歡迎下載三.解答題(4X20'=80')11 .如圖，拋物線y=ax2+bx-3,頂點為E,該拋物線與x軸交于A、B兩點,1.與y軸交于點C,且OB=OC=3OA.直線y=x+

8、1與y軸交于點D,3求/DBC-ZCBE.分析易知y=x2-2x3=(x-1)2-4,A(1,0),B(3,0),C(0,-3),D(1,4),作EFCO于F,連CE,易知學習必備歡迎下載OBC、4CEF都是等腰直角三角形，則4CBE是直角三角形.分別在RtAOBD>BCE中運用正切定OD1,：CE、21皿乂，即有tana=一，tan口=一，則a=聲OB3BC323從而可得/DBC-ZCBE=45o.12.如圖，已知AB為圓O的直徑，C為圓周上一點，D為線段OB內(nèi)一點(不是端點)，滿足CDXAB,DELCO,E為垂足，若CE=10,且AD與DB的長均為正整數(shù)，求線段AD的長.【分析】設(shè)圓

9、O半徑為r,則由相似或三角函數(shù)或射影定理可知，22_DE=CEOE=DE=10(r10),又CD2=CE2DE2=10210(r-10)=10r由相交弦定理(考慮垂徑時)或連AC、BC用相似或三角函數(shù)，易知ADBD=CD2=10r，而ADBD=2r令A(yù)D=x,BD=y,/即=1°£=5=2=)1,顯然有0<y<x,則0<、<1,即xy2rx5x0<y1<1=5<y<10,y為正整數(shù)，故y=6,7,8,9,又x也為正整數(shù)，經(jīng)逐一試算，僅當y=6,x=305這一組是正整數(shù)，故AD=30.學習必備歡迎下載13.設(shè)a、b、c是素數(shù)，記

10、x=b+ca,y=c+ab,z=a+bc,當z2=y,6一Jy=2時，a、b、c能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論.'y=c+a-b*0z2=y2*0八-1±Y1+8a【分析】1=y+z=2az+z2a=0nz=z=a+b-c2a、b、c是素數(shù)，則a十b_c=z為整數(shù)，則J1+8a=2k+1,k為正整數(shù).化簡整理后，有k(k1)=2a=；k=1,k+1=2a=1+1=2=a=1(非質(zhì)數(shù))k=2,k+1=a=2+1=31_18aa=3ccz=,z=-3,22i)z=3,y=9,、.x-,9=2=x=25,x-z=2b=b=11,b=17,ab=317=20：二17二c不能圍成

11、三角形；ii)z=2,y=4,x=16,b=9是合數(shù)綜上所述，以a、b、c不能圍成三角形.14.如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）.求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a1，a?,.,an,滿足對任意一個正整數(shù)m,在a1，a2,an中都至少有一個為m的“魔術(shù)數(shù)”.【分析】考慮到魔術(shù)數(shù)均為7的倍數(shù)，又a1，a2,.,an互不相等，不妨設(shè)a1Ma2.<an,余數(shù)必為1、學習必備歡迎下載2、3、4、5、6,0,設(shè)a=7ki+t,(i=1,2,3,n;t=0,1,2,3,4,