高中數(shù)學(xué)(人教版)傅里葉級數(shù)第一課時課件.

1、第七講第七講 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)一、三角級數(shù)一、三角級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)一、三角級數(shù)一、三角級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)簡單的周期運動簡單的周期運動)sin(tAy復(fù)雜的周期運動復(fù)雜的周期運動)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt)sincos(210 xnbxnaannk三角級數(shù)三角級數(shù)引言引言( A：振幅：振幅 ：角

2、頻率：角頻率：初相：初相 ) 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)一、三角級數(shù)一、三角級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)一、三角級數(shù)一、三角級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)簡單的周期運動簡單的周期運動)sin(tAy復(fù)雜的周期運動復(fù)雜的周期運動)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函數(shù)周期函數(shù)研究問題研究問題)(xf在什么條件下能展開為三角級數(shù)在什么條件下能展開為三角級數(shù);)(xf的展開式在什么范圍內(nèi)成立

3、的展開式在什么范圍內(nèi)成立;)(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一;)(xf的展開式如何確定的展開式如何確定.？ ？( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 簡單的周期運動簡單的周期運動)sin(tAy復(fù)雜的周期運動復(fù)雜的周期運動)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函數(shù)周期函數(shù)研究問題研究問題)(xf在什么條件下能展開為三角級數(shù)在什么條件下能展開為三角級數(shù);)(xf的展開式在什么范圍內(nèi)成立的展開式在什么范圍內(nèi)成立;)(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一;)(xf的展開式如何確定的展開式如何確定.？ ？( A：振幅：振

4、幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級數(shù)可逐項積分右端級數(shù)可逐項積分, 則有則有),1,0(dcos)(1 nxnxxfan),2,1(dsin)(1 nxnxxfbn定理定理l注注,1,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx在在-,上正交上正交 ,上的積分等于上的積分等于 0 .即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在-,組成三角級數(shù)的三角函數(shù)系組成三角級數(shù)的三角函數(shù)系簡單的周期運動簡單的周期運動)sin(tA

5、y復(fù)雜的周期運動復(fù)雜的周期運動)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函數(shù)周期函數(shù)研究問題研究問題)(xf在什么條件下能展開為三角級數(shù)在什么條件下能展開為三角級數(shù);)(xf的展開式在什么范圍內(nèi)成立的展開式在什么范圍內(nèi)成立;)(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一;)(xf的展開式如何確定的展開式如何確定.？ ？( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 簡單的周期運動簡單的周期運動)sin(tAy復(fù)雜的周期運動復(fù)雜的周期運動)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函

6、數(shù)周期函數(shù)研究問題研究問題)(xf在什么條件下能展開為三角級數(shù)在什么條件下能展開為三角級數(shù);)(xf的展開式在什么范圍內(nèi)成立的展開式在什么范圍內(nèi)成立;)(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一;)(xf的展開式如何確定的展開式如何確定.？ ？( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 簡單的周期運動簡單的周期運動)sin(tAy復(fù)雜的周期運動復(fù)雜的周期運動)sin(10nnntnAAy)sincos(210 xnbxnaannk引言引言？( )f x周期函數(shù)周期函數(shù)研究問題研究問題)(xf在什么條件下能展開為三角級數(shù)在什么條件下能展開為三角級數(shù);)(xf的展開式在什么范圍內(nèi)成立的展開式

7、在什么范圍內(nèi)成立;)(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一;)(xf的展開式如何確定的展開式如何確定.？ ？( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 10sincos2)(nnnxnbxnaaxf的傅的傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) ;由公式由公式 確定的確定的nnba ,稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x),1,0(dcos)(1 nxnxxfan),2,1(dsin)(1 nxnxxfbn定義定義以以f (x)的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) 稱為稱為f(x)的的傅傅里里葉級數(shù)葉級數(shù) . cossinnnnaanxbnx 012記作：記作： ( ) cossinnnnaf xa

8、nxbnx012 若等式若等式成立，則稱成立，則稱式為式為f(x)的的傅里葉展開式傅里葉展開式設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為2 的周期函數(shù)，的周期函數(shù)， 如果它滿足如果它滿足:1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2) 在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點, 則則 f (x) 的傅的傅里里葉級數(shù)收斂葉級數(shù)收斂 , 并且并且當(dāng)當(dāng)x 為為f (x)的間斷點時的間斷點時,級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于 當(dāng)當(dāng)x 為為f (x)的連續(xù)點時的連續(xù)點時,級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于);(xf).()(21 xfxf設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周

9、期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 它在它在 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為), 0,10,1)(xxxf將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級數(shù)葉級數(shù). oyx11u例例11( )cosd(0,1,)naf xnx xn),2,1(dsin)(1 nxnxxfbn和函數(shù)的圖形和函數(shù)的圖形 oyx11傅氏級數(shù)的部分和逼近傅氏級數(shù)的部分和逼近f (x)的情況的情況),2,0,( xx77sin x99sinx33sinsin4)(xxxf55sin xf (x)的傅里葉展開式的傅里葉展開式xoy 0,00,)(xxxxf將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級數(shù)葉級數(shù). 2332上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為

10、), 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 它在它在 u例例2)(xf周期延拓周期延拓傅傅里里葉展開葉展開在在, 上有定上有定義義)(xF周期為周期為2在在),( 內(nèi)內(nèi))()(xfxF )(xf在在, 上的傅里葉展開式上的傅里葉展開式展開思路展開思路u例例3展開成傅里葉級數(shù)展開成傅里葉級數(shù), 其中其中E 是正的常數(shù)是正的常數(shù) .將函數(shù)將函數(shù),2sin)( ttEtutOu 22 E傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)一、三角級數(shù)一、三角級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)一、三角級數(shù)一、三角級數(shù)二、函數(shù)

11、展開成傅里葉級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 周期為周期為2 的的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 對周期為對周期為 2 的奇函數(shù)的奇函數(shù) f (x) ,對周期為對周期為2 的偶函數(shù)的偶函數(shù) f (x) , ),2,1,0( dcos)(20 nxnxxfan),3,2,1( 0 nbn),2,1,0( 0 nan 0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn其傅其傅里里葉系數(shù)為葉系數(shù)為其傅其傅里里葉系數(shù)為葉系數(shù)為此時其傅里葉此時其傅里葉級數(shù)為只含有正弦項的級數(shù)為只含有正弦項的正弦級數(shù)正弦級數(shù).此時此時其傅里葉級數(shù)為只含有常數(shù)項和余弦項的

12、其傅里葉級數(shù)為只含有常數(shù)項和余弦項的余弦級數(shù)余弦級數(shù). u例例4 yxo將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級數(shù)葉級數(shù).是是周期為周期為2 的周期函數(shù)的周期函數(shù),)(xf它在它在), 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為xxf )(設(shè)設(shè)u例例5將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級數(shù)葉級數(shù).是是周期為周期為2 的周期函數(shù)的周期函數(shù),)(xf它在它在), 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為|)(xxf 設(shè)設(shè)oyx22 )(xf奇延拓奇延拓傅傅里里葉展開葉展開在在, 0上有定義上有定義)(xF在在, 0(上上)()(xfxF 展開思路展開思路定義在定義在,( 上上,在在),( 上為上為奇函數(shù)奇函數(shù))(xf的正弦級數(shù)的正弦級數(shù)展開式展開式(偶延拓偶延拓)(偶函數(shù)偶函數(shù))(余弦函數(shù)余弦函數(shù))u例例6分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).將函數(shù)將函數(shù) )(xfxcos20 x02 xxyO22 )(x