第二章-2.1變量分離與變量變換

1、第二章第二章 一階微分方程的初等解法一階微分方程的初等解法 把微分方程的求解問(wèn)題化為積分問(wèn)題。即用恒等變把微分方程的求解問(wèn)題化為積分問(wèn)題。即用恒等變形、變量變換或乘上一個(gè)積分因子等手段將微分方程的形、變量變換或乘上一個(gè)積分因子等手段將微分方程的解用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積式來(lái)表達(dá)，這種方法，習(xí)解用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積式來(lái)表達(dá)，這種方法，習(xí)慣上稱(chēng)為慣上稱(chēng)為初等積分法或求積法初等積分法或求積法。能用初等積分法求解的。能用初等積分法求解的微分方程稱(chēng)為微分方程稱(chēng)為可積方程可積方程。 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 變量分離方程與變量替換變量分離方程與變量替換 線性方程與常數(shù)變易法線性方程與常數(shù)變易法( (待定函數(shù)法

2、待定函數(shù)法) ) 恰當(dāng)方程與積分因子（全微分方法）恰當(dāng)方程與積分因子（全微分方法） 一階隱方程與參數(shù)表示一階隱方程與參數(shù)表示形如的方程，稱(chēng)為變量分離方程變量分離方程，這里 分別是 的連續(xù)函數(shù)。 )(),(yxf( ) ( ).yf xy（）2 1yx,1、定義2.1.12.1.1、變量分離變量分離方程方程2.1 2.1 變量分離方程與變量替換變量分離方程與變量替換解為：使，如果存在, 0)()200yy2、方程求解通解為：如果, 0)() 1y)2 . 2()()(cdxxfydy(*)0yy 微分方程微分方程(2.1)的所有解為：的所有解為：式(2.2)和(*).000,()0,(2.1),

3、(2.2),.yyyy若存在使則也是的解 可能它不包含在方程的通解必須予以補(bǔ)上中例2.1： 2cos( ),(0)1dyyxydx11/(sin( ) 1)cyx 即，221cos( ),(0)1cos( )1sin( )dyx dxyydyx dxcyxcy解：分離變量解：分離變量并積分得并積分得帶入初值條件得帶入初值條件得分離變量積分(轉(zhuǎn)化為積分的形式)討論解的完整性（如分母為零的解）寫(xiě)出通解3、變量分離方程的解題步驟、變量分離方程的解題步驟例2.2 求解方程 yxdxdy方程的通解為解：ydyxdx分離變量,得積分,得22222yxc 22yxc注意：注意：積分常數(shù)積分常數(shù)C的相對(duì)任意性

4、的相對(duì)任意性。例3求微分方程yxpdxdy)(.)(,的連續(xù)函數(shù)是其中的通解xxp解:將變量分離后得dxxpydy)(兩邊積分得:1)(lncdxxpy由對(duì)數(shù)的定義有1)(cdxxpey即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0, 0,0也包括在上式中即知若在上式中充許也是方程的解此外ycy( ),.p x dxycec為任意常數(shù)故方程的通解為1)(cdxxpey引言：引言：有的微分方程從表面上看，不是可有的微分方程從表面上看，不是可分離變量的微分方程，但是，通過(guò)適當(dāng)分離變量的微分方程，但是，通過(guò)適當(dāng)?shù)牡淖兞看鷵Q變量代換，就可以很容易地化為，就可以很容易地化為“變變量分離方程量分離方程”，

5、在這里，介紹兩類(lèi)這樣，在這里，介紹兩類(lèi)這樣的方程。的方程。 2.1.2 2.1.2 可化為變量分離的方程可化為變量分離的方程1、第一類(lèi)方程：、第一類(lèi)方程：齊次方程齊次方程定義：定義：形如 的方程，稱(chēng)為齊次齊次微分方程微分方程，這里 是 的連續(xù)函數(shù)。)5.2()(xygdxdy)(ugu1）方程的類(lèi)型）方程的類(lèi)型2）方程的求解（變量變換法）方程的求解（變量變換法）,ydyduuyxuuxxdxdx代入齊次方程得一變量分離方程令則.)(xuugdxdu該方法的要點(diǎn)是該方法的要點(diǎn)是：利用變量代換將方程化為變量分離：利用變量代換將方程化為變量分離方程。利用變換來(lái)解微分方程是一種常用的技巧。方程。利用變

6、換來(lái)解微分方程是一種常用的技巧。 例例2.4 求求 解方程解方程 xyxydxdytan解：解：cxxysin通解為：通解為：變量代換；變量代換；求解；求解；變量還原變量還原。例例2.5 求解方程求解方程)0(2xyxydxdyx解解:方程變形為)0(2xxyxydxdy這是齊次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2將變量分離后得xdxudu2udxdux兩邊積分得:cxu)ln(即為任意常數(shù)ccxcxu, 0)ln(,)(ln(2代入原來(lái)變量,得原方程的通解為2ln() ,ln()0,0.xxcxcyxdxudu2例例2.6 求下面初值問(wèn)題的解0) 1 (,)(22yxdydxyxy

7、解:方程變形為2)(1xyxydxdy這是齊次方程,代入方程得令xyu 21 udxdux將變量分離后得xdxudu21兩邊積分得:cxuulnln1ln2整理后得cxuu21變量還原得cxxyxy2)(1(1)0,1.yc最后由初始條件可得到故初值問(wèn)題的解為) 1(212xyxdxudu212.第二類(lèi)：第二類(lèi)： 形如形如,222111cybxacybxadxdy.,222111為常數(shù)這里cbacba的方程可經(jīng)過(guò)變量代換化為變量分離方程.分三種情況討論的情形0121 cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211為齊次方程,由類(lèi)型(I)可化為變量分離方程.112220a

8、bab 的情形則方程可改寫(xiě)成設(shè),2121kbbaa222111cybxacybxadxdy22,ua xb y令則方程化為dxdu)(22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufba dxdyba22這就是變量分離方程不同時(shí)為零的情形與且21212103ccbbaa,00222111cybxacybxa則).0 , 0(),(,解以上方程組得交點(diǎn)平面兩條相交的直線代表xy作變量代換(坐標(biāo)變換),yYxX則方程化為YbXaYbXadXdY2211為 (1)的情形,可化為變量分離方程求解.解的步驟:,0012221110cybxacybxa解方程組,yx得解方程化為作變換,20

9、yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg離方程將以上方程化為變量分再經(jīng)變換,30XYu 求解0405 變量還原例例2.7 求微分方程31yxyxdxdy的通解.解:解方程組0301yxyx, 2, 1yx得代入方程得令2, 1yYxXYXYXdXdY得令,XYu uudXduX112XYXY11將變量分離后得XdXuduu21)1 (兩邊積分得:cXuuln)1ln(21arctan2變量還原并整理后得原方程的通解為.)2() 1(ln12arctan22cyxxy注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類(lèi)型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,諸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu 2xyu xyu 以及0)(,()(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),(變量分離方程均可適當(dāng)變量變換化為些類(lèi)型的方程等一次數(shù)可以不相同的齊次函數(shù)為其中yxNM例例2.8 求微分方程0)()(22dyyxxdxxyy的通解.解:,xyu 令