六年下冊(cè)奧數(shù)試題-質(zhì)數(shù)與合數(shù)全國(guó)通用含答案

1、第3講質(zhì)數(shù)與合數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1 .質(zhì)數(shù)與合數(shù)(1) 一個(gè)大于1的自然數(shù)，如果除了1和它本身，再不能被其他自然數(shù)整除，那么它就叫做質(zhì)數(shù)(也叫做素?cái)?shù))。(2) 一個(gè)大于1的自然數(shù)，如果除了1和它本身，還能被其他自然數(shù)整除，那么它就叫做合數(shù)。例如：4、6、8、10、12、14,都是合數(shù)。在100以?xún)?nèi)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25個(gè)質(zhì)數(shù)。2 .質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)(1)如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就是說(shuō)這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。(2)把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如，

2、把42分解質(zhì)因數(shù)，即是42=2X3X7。其中2、3、7叫做42的質(zhì)因數(shù)。又如，50=2X5X5,2、5者B叫做50的質(zhì)因數(shù)。重點(diǎn)難點(diǎn)要注意以下幾條：(1)1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。(2)關(guān)于質(zhì)數(shù)1)質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)。2)最小的質(zhì)數(shù)是2。3)在質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)，其余的質(zhì)數(shù)全是奇數(shù)。4)每個(gè)質(zhì)數(shù)只有兩個(gè)約數(shù)：1和它本身。(3)關(guān)于合數(shù)1)合數(shù)有無(wú)限多個(gè)。2)最小的合數(shù)是4。3)每個(gè)合數(shù)至少有三個(gè)約數(shù)：1、它本身、其他約數(shù)。例如，8的約數(shù)除1和8外，還有2、4,所以8是合數(shù)。學(xué)法指導(dǎo)(1)對(duì)比一下幾種判別質(zhì)數(shù)與合數(shù)的方法，可以看出例1方法的優(yōu)越性。判別269,用2至268中所有的數(shù)試除，要除267個(gè)

3、數(shù)；用2至268中的質(zhì)數(shù)試除，要除41個(gè)數(shù)；而用本題的方法，只要除6個(gè)數(shù)。(2)將質(zhì)數(shù)按照從小到大的順序逐一去除一個(gè)數(shù)，來(lái)判斷這個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的方法，有弊病。如果一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，在我們?cè)嚦倪^(guò)程式中就永遠(yuǎn)找不到另一個(gè)質(zhì)數(shù)是它的約數(shù)。那么，試除的數(shù)有什么范圍呢？能不能使試除的數(shù)少一點(diǎn)呢？請(qǐng)同學(xué)們學(xué)習(xí)例1。(3)用例1的方法判斷一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，有著它的優(yōu)越性，它可以明確試除的質(zhì)數(shù)范圍，使試除的數(shù)的量進(jìn)一步減少。例1判斷269、437兩個(gè)數(shù)是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)。思路剖析對(duì)于一個(gè)不太大的數(shù)N,要判斷它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，可以先找出一個(gè)大于N且最接近N的平方數(shù)再寫(xiě)出K以?xún)?nèi)的所有質(zhì)數(shù)。如果這些質(zhì)數(shù)都不能整除

4、N,那么N是質(zhì)數(shù)；如果這些質(zhì)數(shù)中有一個(gè)能器N,那么N是合數(shù)。解答因?yàn)?6917=韭9。17以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13。根據(jù)能被某些數(shù)整除的數(shù)的特征，個(gè)位數(shù)是9,所以269不能被2、5整除；2+6+9=17,所以269不能被3整除。經(jīng)逐一判斷或試除知，這6個(gè)質(zhì)數(shù)都不能整除269,所以269是質(zhì)數(shù)。因?yàn)?37943所以找到了大于943且接近943的平方數(shù)3尸。31以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、共十個(gè)。很容易推斷出2、3、5、7、11均不能整除943;再用13、17、19、23、29試除943,發(fā)現(xiàn)943能被23整除。所以943是合數(shù)。例8m為一個(gè)質(zhì)數(shù)，

5、且m+16、m+20也均是質(zhì)數(shù)，求m是多少？思路剖析我們知道，任何自然數(shù)被3除只有三種情況：即被3整除，被3除后余1和被3除后余2,故，我們作如下討論：(1) m不能是被3除余1的數(shù)，因?yàn)槿鬽被3除1,則m+20就能被3整除，就不是質(zhì)數(shù)了。(2) m也不能是被3整除余2的數(shù)，因?yàn)槿鬽被3整除余2,則m+16就能被3整除，則不是質(zhì)數(shù)，所以m只可能是被3整除的數(shù)，且又要求為質(zhì)數(shù)，因此m=3o解答設(shè)q為m被3除的商，若m=3q+1，則3整除(m+20)若m=3q+2,貝U3整除m+16所以m=3q,且m為質(zhì)數(shù)，所以m取3。答：m為3。例9有人說(shuō)：“任何7個(gè)連續(xù)自然數(shù)中一定有質(zhì)數(shù)”，請(qǐng)你舉一個(gè)例子，說(shuō)

6、明這句話(huà)是錯(cuò)的。解答解法一：題目要求我們具體找出7個(gè)連續(xù)的合數(shù)。中間夾著7個(gè)連續(xù)合數(shù)的兩個(gè)質(zhì)數(shù)，其差一定大于7,所以只要找到差大于7的兩個(gè)相鄰質(zhì)數(shù)即可。質(zhì)數(shù)89與97相鄰，它們的差97-89=87,所以89與97之間的七個(gè)連續(xù)自然數(shù)90、91、92、93、94、95、96全是合數(shù)，沒(méi)有質(zhì)數(shù)?？梢?jiàn)“任何7個(gè)連續(xù)自然數(shù)中一定有質(zhì)數(shù)”這句話(huà)是錯(cuò)誤的。解法二：任取7個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，找出它們的一個(gè)公倍數(shù)，給它們各自加上這個(gè)公倍數(shù)，所得7個(gè)新數(shù)仍是連續(xù)的，并且原來(lái)的7個(gè)數(shù)分另是這7個(gè)數(shù)的約數(shù)，所以7個(gè)新數(shù)全是合數(shù)。任取7個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，比如2、3、4、5、6、7、8,840是它們的一個(gè)公倍數(shù)，給2、3、4

7、、5、6、7、8每一個(gè)都加上840得到842、843、844、845、846、847、848,這7個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別有約數(shù)2、3、4、5、6、7、8,可見(jiàn)它們都是合數(shù)，沒(méi)有一個(gè)是質(zhì)數(shù)，因此“任何7個(gè)連續(xù)自然數(shù)中一定有質(zhì)數(shù)”這句話(huà)是錯(cuò)誤的。周強(qiáng)化練工發(fā)散思維訓(xùn)練1 .連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有幾個(gè)質(zhì)數(shù)？為什么？2 .975X935X972X(),要使這個(gè)連乘積的最末4個(gè)數(shù)字都是0,在括號(hào)內(nèi)最小應(yīng)填什么數(shù)？3 .把33拆成若干個(gè)不同質(zhì)數(shù)之和，如果要使這些質(zhì)數(shù)的積最大，問(wèn)這幾個(gè)質(zhì)數(shù)分別是多少？4 .用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個(gè)數(shù)字都要用到，并且只能用1次，那么這九個(gè)數(shù)字

8、最多能組成幾個(gè)質(zhì)數(shù)。5 .有三張卡片，在它們上面各寫(xiě)著一個(gè)數(shù)字7、8、9,從中抽出一張、二張、三張,接任意次序排列起來(lái)，可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)，請(qǐng)將其中的質(zhì)數(shù)寫(xiě)出來(lái)。6 .兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是50,求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)乘積的最大值是多少。7 .2000年的哪幾天，年數(shù)、月數(shù)和日數(shù)的乘積恰好等于三個(gè)連續(xù)的5的倍數(shù)的乘積。參考答案發(fā)散思維訓(xùn)練1 .解：如果這連續(xù)的九個(gè)自然數(shù)在1與20之間，那么顯然其中最多有4個(gè)質(zhì)數(shù)（如：1至9中有4個(gè)質(zhì)數(shù)2、3、5、7）。如果這連續(xù)的九個(gè)自然數(shù)中最小的不小于3,那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，而其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)最多有5個(gè)。這5個(gè)奇數(shù)中必只有一個(gè)數(shù)其個(gè)位數(shù)是5,因而5是這個(gè)

9、奇數(shù)的一個(gè)因數(shù)，即這個(gè)奇數(shù)是合數(shù)。這樣，至多另4個(gè)奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。綜上所述，連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有4個(gè)質(zhì)數(shù)。2 .解：要使連乘積最末4個(gè)數(shù)字都是0,連乘積應(yīng)是10000的倍數(shù)，即要連乘積的因數(shù)中含4個(gè)2,4個(gè)5,因?yàn)?X2X2X2X5X5X5X5=10000975=5X5X39,935=5X187,972=2X2X243;其中已有兩個(gè)2和三個(gè)5,因此，只需要再乘上兩個(gè)2和一個(gè)5,即2X2X5=20就可以了。故在括號(hào)內(nèi)最小應(yīng)填20。3 .解：首先假設(shè)可以拆成五個(gè)不同質(zhì)數(shù)之和（分成六個(gè)或六個(gè)以上質(zhì)數(shù)之和不可能）：33是奇數(shù)，因此五個(gè)質(zhì)數(shù)中不能有2（否則和是偶數(shù)），取最小連續(xù)五個(gè)奇質(zhì)數(shù)3、5、7、11

10、、13的和是39,超過(guò)33,所以分成五個(gè)是不可能的。假設(shè)33可以分成四個(gè)質(zhì)數(shù)之和，33是奇數(shù)，因此四個(gè)數(shù)中一定有一個(gè)偶數(shù)2,即其余三個(gè)的和是31,顯然可以找出其余三個(gè)分別是：3、5、23;3、11、17;7、11、13;5、7、19。在這些三個(gè)數(shù)的乘積中最大的是7X11X13=1001。假設(shè)33可分成三個(gè)質(zhì)數(shù)和，只可能是3、13、17;3、11、19;3、7、23;5、1、17。乘積均小于2X7X11X13,33若分成為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，只可能是2和31,乘積僅為62,故應(yīng)將33寫(xiě)成四個(gè)數(shù)2、7、11、13的和時(shí)，它們的積最大。答：這幾個(gè)質(zhì)數(shù)分別是2、7、11、13。4 .解：每個(gè)數(shù)字都要用到且只

11、能用1次，同時(shí)又要組成的質(zhì)數(shù)最多。我們?cè)诮M成質(zhì)數(shù)時(shí)，盡可能地將合數(shù)4、6、8、9和最小自然數(shù)1組成兩位數(shù)，同時(shí)數(shù)字8和9可以組成質(zhì)數(shù)89,另外，一位質(zhì)數(shù)不能是2、3、5、7四個(gè)，不然數(shù)字1、4、6、8、9無(wú)法組成兩位質(zhì)數(shù)，那么當(dāng)一位質(zhì)數(shù)為3個(gè)時(shí)，兩位質(zhì)數(shù)也為3個(gè)（例如：2、5、7、43、61、89或2、3、5、47、61、89）。答：這九個(gè)數(shù)字最多可組成6個(gè)質(zhì)數(shù)。5 .解：數(shù)字卡片9倒過(guò)來(lái)變成6,而7+8+9=24,6+7+8=21,可知抽三張卡片時(shí)，無(wú)論按什么順序排列的三位數(shù)都能被3整除，所以它們都不是質(zhì)數(shù)。從中任取=張卡片，按不同的順序排列的兩位數(shù)中有97、67、79、89是質(zhì)數(shù)；從中任意抽取一張卡片得到的一位數(shù)中只有7是質(zhì)數(shù)。所以，所求的質(zhì)數(shù)有7、97、79、89、67五個(gè)。6 .解：把50表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，共有四種形式：50=47+3=43+7=37+13=31+19因?yàn)?1X19=58937X13=48143X7=30147X3=141所以所求的最大值是589。7 .解:因?yàn)?000=2X3,它是有三個(gè)5的乘積的倍數(shù)，只需使另外三個(gè)數(shù)中要含有4個(gè)因數(shù)2,因此，根據(jù)題目要求，三個(gè)數(shù)中必須含有40或80。即：30X35X40=21X200035X40X45=63X100040X45X50=45X2000顯然，35X40