邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性課件

1、邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.2 邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性問(wèn)題：?jiǎn)栴}：已知二維隨機(jī)變量已知二維隨機(jī)變量 (X, Y) 的聯(lián)合分布，的聯(lián)合分布，如何求出如何求出 X 和和 Y 各自的分布？各自的分布？邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.2.1 邊際分布函數(shù)邊際分布函數(shù)巳知巳知 (X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x, y)，則則 Y FY (y) = F(+ , y). X FX (x) = F(x, + ),邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性邊緣分布的幾何意義邊緣分布的幾何意義FX(x)的函數(shù)值表示的函數(shù)值表示隨機(jī)點(diǎn)隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落入如下左圖所示區(qū)落入如下左圖所

2、示區(qū)域內(nèi)的概率域內(nèi)的概率； FY(y)的函數(shù)值表示的函數(shù)值表示隨機(jī)點(diǎn)隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落入如下右圖所示區(qū)落入如下右圖所示區(qū)域內(nèi)的概率。域內(nèi)的概率。O x xO xyyy邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性補(bǔ)補(bǔ)例例5 5 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為 2arctan2arctan),(yCxBAyxF其中其中A，B，C為常數(shù)，為常數(shù)，x(- -,+)，y(- -,+) (1)試確定試確定A，B，C；(2)求求X和和Y的邊緣分布函數(shù)；的邊緣分布函數(shù)；(3)求求P(X2)解解 (1)由聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)由聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)2可知可知122),(lim),(CBAyxFFyx

3、022),(CBAF022),(CBAF解得解得21A2B2C(2)2arctan1212arctan21),()(2xxxFxFX ),(x2arctan1212arctan2221),()(2yyyFyFY ),(y(3)(3)由由X的分布函數(shù)可得的分布函數(shù)可得4141211)2(1)2(1)2(XFXPXP故故2arctan22arctan21),(2yxyxF邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.2.2 邊際分布列邊際分布列巳知巳知 (X, Y) 的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為 pij，則則 X 的分布列為：的分布列為： Y 的分布列為：的分布列為： ()iijijP Xxpp()jijjiP

4、Yypp邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性以表格形式表示為以表格形式表示為YXy1y2yjP(X=xi)x1p11p12p1jx2p21p22p1jxipi1pi1pijP(Y=yj)1111iipp122iipp1iijjpp111jjpp121jjpp11jijpp邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性例3.2.1把兩封信隨機(jī)地投入已經(jīng)編好號(hào)的3個(gè)郵筒內(nèi),設(shè) 。的分布律及邊緣分布率求個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目分別表示投入第),(,2 , 1,YXYX解：)2 , 2(),1 , 2(),2 , 1 (),(2 , 1 , 0,取由題設(shè)，各自的取值為YXYX均不可能，因而相應(yīng)的概率均為02110,039P XY2220,

5、139P XY2110,239P XY2221,139P XY1,0, 2,0P XYP XY可由對(duì)稱性求得再由古典概率計(jì)算得 ：邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性所有計(jì)算結(jié)果列表如下 ：(, )XYX Y和 的邊緣分布律可由的分布律確定( X,Y )關(guān)于Y的邊緣分布律( X,Y )關(guān)于X的邊緣分布律邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性例例3.2.2 已知已知(X,Y)的分布律為的分布律為故關(guān)于故關(guān)于X和和Y的邊緣分布律分別為：的邊緣分布律分別為：求求X、Y的邊緣分布律。的邊緣分布律。 YX1011/103/1003/103/10 YX10pi11/103/102/503/103/103/5pj2/53/5X1

6、0P2/53/5Y10P2/53/5解解邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.2.3 邊際密度函數(shù)邊際密度函數(shù)巳知巳知 (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為 f(x, y)，則則 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 ： Y 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 ： ( )( , )d .Xfxf x yy( )( , )d .Yfyf x yx邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 (X, Y) 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為1,01,;( , )0,.xyxp x y其他試求：試求： （1）邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)pX(x)和和pY(y);（2）P(X1/2).邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.2.

7、4例在區(qū)域設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX, 10| ),(2xyxxyxG( )( )XYfxfy上服從均勻分布，求邊緣概率密度，邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性解：(, )X Y不難得到的概率密度., 0, 10, 6),(2其它xyxxyxf則., 0, 10),(66),()(22其它xxXxxxdydyyxfxf., 010),(66),()(其它yyYyyydxdxyxfyf(, ),X YG雖然的聯(lián)合分布是在 上服從均勻分布但是它們的邊緣分布卻不是均勻分布。邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性 yxyyxxyxf,)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 邊際分布與隨機(jī)

8、變量的獨(dú)立性于于是是 21122112221212221)()(2)( xxyyxy dyeexfxyxX2112222121)1(212)(221121)( dyyxfxfX),()(由由于于 邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性令令),(1111222 xyt則有則有 同同理理 yeyfyY,21)(22222)(2 xedteexfxtxX,2121)(2121221212)(122)(1 邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性 由聯(lián)合分布可以求出邊際分布由聯(lián)合分布可以求出邊際分布. 但由邊際分布一般無(wú)法求出聯(lián)合分布但由邊際分布一般無(wú)法求出聯(lián)合分布. 所以聯(lián)合分布包含更多的信息所以聯(lián)合分布包含更多的信息.注注

9、 意意 點(diǎn)點(diǎn) (1)邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性 二維正態(tài)分布的邊際分布是一維正態(tài)：二維正態(tài)分布的邊際分布是一維正態(tài)： 若若 (X, Y) N ( 1, 2 , 12, 22 , )，注 意 點(diǎn) (2) 則則 X N ( 1, 12)， Y N ( 2 , 22 ). 二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均勻分布二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均勻分布.邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)設(shè) (X, Y)服從區(qū)域服從區(qū)域 D=(x, y), x2+y2 1時(shí)，時(shí)，p(x, y)=0，所以所以 p(x)=0當(dāng)當(dāng)|x|1時(shí)時(shí),22111( )xxdyp x221x不是均勻分布不是均勻分布21yx邊際分布與隨

10、機(jī)變量的獨(dú)立性練習(xí)練習(xí)1 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量其其它它0, 1048),(),(23xyxxxyyxfYX求邊緣密度函數(shù)求邊緣密度函數(shù)fX(x)和和fY(y)解解 當(dāng)當(dāng)0 x1時(shí)時(shí),dyyxfxfX),()()(24487523xxxydyxxO 1 x y1y=x2y=x3當(dāng)當(dāng)x0或或x1時(shí)，時(shí)，fX(x)=0，所以，所以其其它它010)(24)(75xxxxfX當(dāng)當(dāng)0yY)。O xy=x2y=xy解解 (1) 1),(dxdyyxf 111212dxydyCxx421C(2)確定積分區(qū)域確定積分區(qū)域xxydyxdxYXP2203421)(21010:21xxyxD111:2xyxD

11、邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性4習(xí)題將只紅球和只白球隨機(jī)地投入已經(jīng)編好號(hào)的3個(gè)盒子內(nèi)紅球的數(shù)目，表示落入第設(shè)個(gè)盒子中去1,X及邊緣分布律。的分布律求個(gè)盒子內(nèi)白球的數(shù)目表示落入第),(,2YXY解：不妨分別把2只紅球和2只白球看作是有差別的（例如編號(hào)），由古典概型計(jì)算得 4222211161,1381P XY 123邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性類似地計(jì)算出下表內(nèi)的其它結(jié)果 ：比較一下例3.2.1的表和例3.2.2的表，立即可以發(fā)現(xiàn)，兩者有完全相同的邊緣分布，而聯(lián)合分布卻是不相同的。由此可知，由邊緣分布并不能唯一地確定聯(lián)合分布 。邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)

12、立性習(xí)題習(xí)題7 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域G=(x,y)|0 x 2,0 y 1上服從均勻分布，若上服從均勻分布，若YXYXU01YXYXV2021試求試求(U,V)的聯(lián)合分布律，并判斷的聯(lián)合分布律，并判斷U與與V是否相互獨(dú)立。是否相互獨(dú)立。解解 (X,Y)在在G上服從均勻分布，則聯(lián)合密度函數(shù)為上服從均勻分布，則聯(lián)合密度函數(shù)為O 1 2 xy1y=xx=2yGGyxGyxyxf),(0),(21),()()2,()0, 0(YXPYXYXPVUP yxxdydxdxdyyxf1014121),(0)2,() 1, 0(YXYXPVUP)2()2,()0, 1(Y

13、XYPYXYXPVUPyxyyydxdydxdyyxf21024121),()2()2,() 1, 1(YXPYXYXPVUP yxxdydxdxdyyxf220202121),(邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性(U,V)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為VU01pi01/401/411/41/23/4pj1/21/2經(jīng)檢驗(yàn)，經(jīng)檢驗(yàn)， U和和V不是相互獨(dú)立的。其中不是相互獨(dú)立的。其中pijpi pj邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性習(xí)題習(xí)題8 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度函數(shù)具有概率密度函數(shù) 其它其它0 01015),(2yxyxyxf(1)求求X,Y的邊緣概率密度；的邊緣概率密度；(2)問(wèn)問(wèn)X與與Y是否相互獨(dú)立？是