初高中數(shù)學(xué)銜接教材

1、初高中數(shù)學(xué)銜接教材現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識存在以下“脫節(jié)”1 .立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。2 .因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對系數(shù)不為“1”的涉及不多，而且對三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到，如解方程、不等式等。3 .二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。4,初中教材對二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常

2、用方法。5 .二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專門的講授。6 .圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對其圖像的上、下；左、右平移，兩個函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對稱問題必須掌握。7 .含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中這部分內(nèi)容視為重難點(diǎn)。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。8 .幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦

3、定理等）初中生大都沒有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識的講授。1.1 數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1 絕對值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4分式1. 2分解因式1.1 一元二次方程1.1.1 根的判別式1.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）2. 2二次函數(shù)2.1.1 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)2.1.2 二次函數(shù)的三種表示方式2.1.3 二次函數(shù)的簡單應(yīng)用2.3方程與不等式2.3.1 二元二次方程組解法2.3.2 一元二次不等式解法3. 1相似形3.1.1 .平行線分線段成比例定理3.1.2 相似形3.2三角形3.

4、2.1 三角形的“四心”3.2.2 幾種特殊的三角形3. 3圓3.1.1 直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系3.1.2 點(diǎn)的軌跡1.1數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1.絕對值零的絕對值仍是零.即絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),a,a0,|a|=0,a=0,-a,a：0.絕對值的幾何意義:一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：a-b表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.例1解不等式：x-1+|x-3>4.解法一：由x1=0,得x=1;由x3=0,得x=3;若x<1,不等式可變?yōu)?x1)(x3)>4,即2x+4>4,解

5、得x<0,又x<1,x<0;若1Ex<2,不等式可變?yōu)?x-1)_(x-3)>4,即1>4,不存在滿足條件的x;若x之3,不等式可變?yōu)?x-1)+(x-3)>4,即2x4>4,解得x>4.又x>3x>4.綜上所述，原不等式的解為x<0,或x>4.解法二：如圖1.11,x-1表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|,即|PA|=|x1|;|x-3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離|PB|,即|PB|=|x3|.所以，不等式x-1+|x-3>4的幾何意義即為|x-3|PA|+|PB|>

6、;4.FPCABDIIIII|xT|圖1.1由|AB|=2,可知點(diǎn)P在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的右側(cè).x<0,或x>4.練習(xí)1.填空：(1)若x=5,貝Ux=；若x=-4,貝Ux=.(2)如果a+b=5,且a=1,則b=；若1c=2,則c=2 .選擇題：(B)若ab,則ab(D)若a=b,則a=±b下列敘述正確的是(A)若a=b,則a=b(C)若a<b,則a<|b3 .化簡：|x-5|-|2x-13|(x>5).1.1.2.乘法公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;(2)完全

7、平方公式(a土b2=才±2ab+2b我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三數(shù)和平方公式(4)兩數(shù)和立方公式(5)兩數(shù)差立方公式2233(a+b)(a-a廿b)=a+;b(a-b)(a+ab2b)=3a;3b(abc2=9bc2(abbc;)ac(ab3=a34b3a2b;3b(a-b3=S3-3a2b+3a2b-.b對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明.例1計(jì)算：(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1).解法一：原式二(x21)(x2+1)2x2(x2-1)(x4x2-1)x6-1.解法二：原式(x+1)(x2-x+1

8、)(x-1)(x2+x+1)例2解：習(xí)填空：33=(x1)(x-1)-Y61x-I.已知a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求a2+b2+c2的值.22(1)21u2-b42.(2)(3)(4m1 ,1、=(b十一a)(2 3、2一2,)=16m4m(_2222(a2b-c)-a4bc(選擇題:(1)若x21 ，、十一mx+k是一個完全平方式，則2);k等于21212(A)m(B)-m(C)-m(2)不論a,b為何實(shí)數(shù)，a2+b2-2a-4b+8的值12(D)m16(A)總是正數(shù)(C)可以是零(B)總是負(fù)數(shù)(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.1.3. 二次根式一般地，形如返(a之0)的代數(shù)式叫做

9、二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如3a+Ja2+b+2b,Va2+b2等是無理式，而s/Fx2+x+1,x2+&xy+y2,JI等是有2理式.1 .分母(子)有理化+c=(a+b+c)-2(ab+bc+ac)=8.把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化.為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如您與展，37aL與展，界+爬與P次,2733/2與273+3您，等等.般地，a框與樞,a"+b與ajx-bjy,ax+b與ajxb互為有理化

10、因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式Wb=«b（a>0,b之0）；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類二次根式.2.二次根式a2的意義a,a_0,-a,a：0.將下列式子化為最簡二次根式:解:(D(D(2)(3)麻；(2)Va2b(a>0);,12b=2.3b；Va2b=

11、|a|7b=aTb(a之0)；J4x6y=2x3|77=-2x3/y(x<0).(3)74x6y(x<0)計(jì)算：斤（3-通.解法一：3：-(3-3寸>3_3-.3=.3<3,3(3-.3)(3.3)_333、33(.3-1)13-131解法9-33(、.31)=6=拈2.3-：-(3F=3一3-,13(-3-1)6,31)31=.2例3試比較下列各組數(shù)的大?。海?）g?-布和布-布；（2）解：（1）v阮-布12-11=(<12-.11)(<12.11)二1,12.11TV0711-10)(11又.12、.行.行-、.而,/-布<711-710.11；1

12、012不'_10),11.10(2)v22-.6=2,2-3=(2,5-、6)(2%2+、.6)二22+.62、2+；6'又4>2也，.加+4>m+2/，2_./<2,/2-叔,64例4化簡：(#+應(yīng))2004.(第-月2005.解：(.3、.2)2004<.3-,2)2005=(.3,2)2004八3-、,2)2004晨3-回=彳4十物(V3-72)f004b/3-72)=產(chǎn)(.3-、,2)二一3-.2.例5化簡：(1)J94V5；(2)Jx2+2(0cx<1).解:(1)原式=5454=.(.5)222522=(2-5)2=2喝=而2.(2)原

13、式=(x-),0<x<1,11x,x1xx,一，1所以，原式=1-x.x6已知x=q3W，y=y3¥,求3x25xy+3y2的值.3.23-2解:、+y=姮+好=回?fù)P2+(舟揚(yáng)2”3-<2.32d刈一3；23-.2'3x2-5xy+3y2=3(x+y)2-11xy=3父102-11=289.(1)1-;31-3(2)若標(biāo)%及V=(x3)強(qiáng)二x,則x的取值范圍是(3) 4724-6府+3廊-2/150=;若x.神，則.二工EjE填空:.2.x1,xT.x1_x-12 .選擇題：等式=*1=成立的條件是x-2,x-2(D)0<x<2(A)x=2(B)

14、x>0(C)x>2,a2-11-a23 .若b=，求a+b的值.a14 .比較大小：2#泗J4(填冬"，或之”).1.1.4.分式1.分式的意義A.AA形如C的式子，若B中含有字母，且B00,則稱2為分式.當(dāng)MWO時，分式_具有下列性質(zhì):BBBAAMAA-MB-BM上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)2,繁分式a像_b_,m*n+P這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.cd2m例1若早上=3+"-,求常數(shù)A,B的值.x(x2)xx2解:.ABxx2A(x2)Bxx(x2)(AB)x2A5x4x(x2)x(x2)AB=5,，2A=4,解得A=2,B=3例2(1)試

15、證：一1一=1-(其中n是正整數(shù))；n(n1)nn1111(2)計(jì)算：，+,+巾+；1223910、一一、.11.11(3)證明：對任意大于1的正整數(shù)n,有+111+，.2334n(n1)211(n1)-n1(1)證明：:一一=,nn1n(n1)n(n1)n是正整數(shù))成立.111.二(共中(2)解:n(n-1)nn1由(1)可知二ill1223910=(112.19=1一一二一.1010(3)證明：丁+HI+-12334n(n1)七。(3-6"4又n"1二7n+11且n是正整數(shù),定為正數(shù),+111+2334n(n1)例3設(shè)e=£,且e>1,2c25ac+2a

16、2=0,求e的值.a解：在2c25ac+2a2=0兩邊同除以a2,得22e一5e+2=0,.(2e1)(e2)=0,1.e=2二e=2.<1,舍去;或e=2.習(xí)填空題:對任意的正整數(shù)n,n(n2)1(-n2.選擇題：若2x-yxy3.4.(A)1正數(shù)x,y滿足11計(jì)算.一(C)(D)2-y=2xy,求解不等式:-1>3；一1+x+1>6.2.已知x+y=1,求x3+y33.填空：(1)(2+18(2g19=(2)(3)1.填空:的值.99100習(xí)題1.1A組(2)+x-2<7；+3xy的值.J(1-a)2+J(1+a)2=2,則a的取值范圍是1111_=+_=+_=+_

17、2.3、3-44.5-5-6(1)a3a2-ab3a25ab-2b222若x2+xy-2y2=0,則X姿2y=xy2.已知：x=1,y=l,求f一Xy廣的值.23x-yxyC1.選擇題：(1)若J-a-b-27ab=C&Ta,則(A)a<b(B)a>b(2)計(jì)算aJ二等于(A)口(B)Ta21、1、-2 .解萬程2(x+)-3(x+-)-1=0.xx、11113 .計(jì)算：-I'.試證：對任意的正整數(shù)n,有+123(C)a<b<0(D)b<a<0(C)-a(D)-.a+川+二34n(n1)(n2)41.(1)之5;

18、77;4(2)文1.1.1.絕對值2.D3.3x-181.1.2.乘法公式1.(1)1a-1b2.(1)(2)(3)4ab2ac4bc1.1.3.二次根式1.2.(DC.3-23.(2)13MxM54.(3)-8.61.2.B3.2-14.1.1.4.分式991001.2.(D13.(1)(2)-4<x<3習(xí)題1.1A組(3)x<-3,或x>3(3),6-1B組1.(D(2)2.4.1.(D(2)C2.Xi4.提示:=11x-2,x2-2213.C組3655n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)1. 2分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式

19、法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法.1 .十字相乘法，一、2一(2)x2+4x12;(4)xy-1+x-y.例1分解因式：，2(1) x-3x+2;22(3) x-(ab)xyaby;解：(1)如圖1.21,將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成一1與一2的乘積，而圖中的對角線上白兩個數(shù)乘積的和為一3x,就是x2-3x+2中的一次項(xiàng)，所以，有x23x+2=(x1)(x-2).111.2x.一ay1、216xby圖1.22圖1.23圖1.241.2-1中的兩個x用1來表示(如說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時，可以直接將圖圖1.2-2所示).(2)由圖1.23,

20、得x2+4x-12=(x-2)(x+6).(3)由圖1.24,得22x_(a+b)xy+aby=(x-ay)(x-by)(4) xy-1+x-y=xy+(xy)1=(x1)(y+1)(如圖1.2-5所示).2 .提取公因式法與分組分解法例2分解因式：，一3222(1) x+9+3x+3x;(2)2x+xy-y-4x+5y-6.解：(1)x3+9+3x2+3x=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3).或3232333x3+9+3x2+3x=(x3+3x2+3x+1)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+23_2_2一=(x1)2(x1)-(x1)22

21、2=(x+3)(x+3).22_22_(2) 2x+xyy4x+5y6=2x+(y4)xy+5y62=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).或2222、2xxy-y_4x5y_6=(2xxyy)(4x-5y)-6=(2x_y)(xy)(4x5y)6=(2x-y+2)(x+y-3).3 .關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a卻)的因式分解.若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a=0)的兩個實(shí)數(shù)根是x1、x2,則二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a=0)就可分解為a(x-x)(x-x2).例3把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：(1) x2+2x1;(2)x2+4x

22、y4y2.解：(1)令x2+2x1=0,貝U解得xi=1+&，x2=172,.x22x-1=x-(-1、,2)x-(-1f2)=(x+1-72)(x+1+應(yīng)).(2)令x2+4xy4y2=0,貝U解得x1=(2+2在)y,x1=(22衣)y,x2+4xy-4y2=x+2(1-72)yx+2(1+V2)y.練習(xí)1 .選擇題：多項(xiàng)式2x2xy15y2的一個因式為()(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y2 .分解因式：(1) x2+6x+8;(2)8a3b3;(3)x2-2x-1；(4)4(x-y+1)+y(y-2x).習(xí)題1.21 .分解因式：(1) a3+1；(2)

23、4x4-13x2+9；(3) b2+c2+2ab+2ac+2bc；(4)3x2+5xy-2y2+x+9y-4.2 .在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：(1) x2-5x+3；(2)x2-2/2x-3；(3) 3x2+4xyy2；(4)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12.2223 .4ABC三邊a,b,c滿足a+b+c=ab+bc+ca,試判定AABC的形狀.4 .分解因式：x2+x(a2a).1.2分解因式1. B222. (1)(x+2)(x+4)(2)(2a-b)(4a+2ab+b)3. )(x1揚(yáng)(x1十亞)(4)(2-y)(2x-y+2).習(xí)題1.21. (1)(a+1)(a2-a+1)(2

24、)(2x+3px-3Xx+1Xx-1)(3) (b+cXb+c+2a)(4)(3yy+4Xx+2y1)2. (1)1x_5+131x_5-x/13.(2)(x2J5*xj2+J5);I2人2Jf2/7V2+萬”一一(3) 3x+2-7yx+2_7y;(4)(x3)(x+1)(x1收)(x1+收).1 3大3J，3 .等邊三角形4 .(x-a1)(xa)2.1 一元二次方程2.1.1 根的判別式我們知道，對于(x聶2二次方程b2-4ac4a2ax2+bx+c=0（a0）,用配方法可以將其變形為因?yàn)椋?）aO,所以，4a2>0.于當(dāng)b24ac>0時，方程的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有

25、兩個不相等的實(shí)數(shù)根-b二b2-4acx12=(2)2a當(dāng)b24ac=0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實(shí)數(shù)根bx1=x2=-2a(3)當(dāng)b24acv0時,b0萬程的右端是一個負(fù)數(shù)，而萬程的左邊（x+-b）2一定大于或等于零，因此，原方程2a沒有實(shí)數(shù)根.由此可知,7L二次方程ax2+bx+c=0（a為）的根的情況可以由b24ac來判定，我們把b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a刈）的根的判別式，通常用符號“來表示.綜上所述，對于.次方程ax2+bx+c=0(aR),有(1)當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根-b二b2-4acx12=(2)(3) 例1(1)(3)2

26、a當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根bx=x2=；2a當(dāng)AV0時，方程沒有實(shí)數(shù)根.判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中2x-3x+3=0;x2ax+(a1)=0;(2)x2ax(4) x22x+a=0.a為常數(shù)），如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根.1=0;解：（1）A=324X1X3=3v0,方程沒有實(shí)數(shù)根.(2)(3)該方程的根的判別式A=a2-4X1X（-1）=a2+4>0,所以方程一定有兩個不等的實(shí)數(shù)根a.a24a-.a24x1=,x2=.222由于該方程的根的判別式為=a24X1.a1）=a2-4a+4=（a-2）2,所以，當(dāng)a=2時，=0,所以方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根x=*2=

27、1；當(dāng)aw2時，A>0,所以方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1=1,x2=a1.(3)由于該方程的根的判別式為=22-4>Xa=4-4a=4(1-a),當(dāng)A>0,即4(1-a)>0,即a<1時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根%=1+J1-a,x2=1_J1-a；當(dāng)=0,即a=1時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根X1=X2=1；當(dāng)Av0,即a>1時，方程沒有實(shí)數(shù)根.說明：在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運(yùn)

28、用這一方法來解決問題.2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a加)有兩個實(shí)數(shù)根2a2a則有-bb2-4ac-b-、.b2-4ac-2bbX|x2=二一2a2a2aa-bb2-4ac-b-.b2-4acb2-(b24ac)X1X2-22a2a4a-bb2-4ac-b-.b2-4ac4acc.24aa所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：bc如果ax+bx+c=0(a0)的兩根分力1J是xi,X2,那么xi+x?=一一,xiX2=.這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)te理.aa特別地，對于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1，X2是其兩根，由韋達(dá)定理可

29、知X1+X2=p,x1x2=q,即p=(X1+X2),q=X1X2,所以，方程x2+px+q=0可化為X2(X1+X2)x+X1X2=0,由于X1,X2是一元二次方程x2+px+q=0的兩根，所以,X1,x2也是一兀二次方程X2(x1+X2)x+X1X2=0.因此有以兩個數(shù)xi,x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是2x(xi+x2)x+xix2=0.2例2已知萬程5x+kx-6=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根.但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二

30、次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值.解法一：2是方程的一個根，5X22+kX26=0,k=7.3所以，方程就為5X27x6=0,斛得x1=2,x2=-.5一、一3所以，方程的另一個根為一3,k的值為一7.5解法二：設(shè)方程的另一個根為X1,則2X1=6,，X1=3.553k一由(一)+2=，得k=-7.55一、一3所以，方程的另一個根為一3,k的值為一7.5例3已知關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有兩個實(shí)數(shù)根，并且這兩個實(shí)數(shù)根的平方和比兩個根的積大21,求m的值.分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關(guān)于m的

31、方程，從而解得m的值.但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零.解：設(shè)2,X2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得xi+x2=-2(m-2),Xix2=m2+4.22.xi+*2xix2=21,.2.(xi+x2)3xix2=21,即2(m2)23(m2+4)=21,化簡，得m216m17=0,解得m=1,或m=17.當(dāng)m=1時，方程為x2+6x+5=0,A>0,滿足題意；當(dāng)m=17時，方程為x2+30x+293=0,A=3024X1X293v0,不合題意，舍去.綜上，m=17.說明：(1)在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實(shí)數(shù)根所對應(yīng)的m的

32、范圍，然后再由兩個實(shí)數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的m的值即可.(1)在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時，還要考慮到根的判別式A是否大于或大于零.因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根.例4已知兩個數(shù)的和為4,積為一12,求這兩個數(shù).分析：我們可以設(shè)出這兩個數(shù)分別為x,y,利用二元方程求解出這兩個數(shù).也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解.解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是x,v,則x+y=4,xy=12.由，得y=4-x,代入，得x(4-x)=-12,即x2-4x-12=0,.xi=-2,x2=6.x1=-2,x2=6,1 1或42yi=6,因此，這兩個數(shù)

33、是2和6.解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個數(shù)是方程x2-4x-12=0的兩個根.解這個方程，得xi=-2,x2=6.所以，這兩個數(shù)是2和6.說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二(直接利用韋達(dá)定理來解題)要比解法一簡捷.例5若xi和x2分別是一元二次方程2x2+5x-3=0的兩根.(1)求|xix2|的值；、11(2)求二十二的值；xix2(3)xi3+x23.解：:x1和x2分別是一元二次方程2x2+5x3=0的兩根，.53./十x2=,x1x2=-.22.22225,2,3,(1)-.1|xix2|=x1+x2-2xix2=(x1+x2)-4xix2=()4父()22(2)(3)說明:2

34、5«49=+6=,.,7|x1一x2|=一.222x1x2(x1x2)2-2x1x2/52c/325c(-)-2(-)32243,3,2x1+x2=(x1+x2)(x1(>x2)2(孑379,2.,一,.2x1x2+x2)=(x1+x2)(x1+x2)3xx2=(_5)5)2_3x_，一等2228次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律:設(shè)xi和x2分別是二次方程ax2+bx+c=0(a初，貝Uxi=-b-'b2-4ac-b-b2-4ac|x1一x2|=2a2a-b.；b2-4ac-bf；b2-4

35、ac2b2-4ac2a2a2ab2-4ach-|a|于是有下面的結(jié)論：|a|若X1和X2分別是rr.次方程ax2+bx+c=0(aR),則|x1x2|=(其中A=b24ac).|a|今后，在求二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論.例6若關(guān)于x的二次方程x2x+a4=0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：設(shè)xi,x2是方程的兩根，則xix2=a4V0,且A=(-1)2-4(a-4)>0.由得由得av4,/17a<一4，a的取值范圍是a<4.習(xí)選擇題：(1)方程x22J3kx+3k2=0的根的情況是(2)(A)有一個實(shí)數(shù)根(C)有兩個相等的實(shí)數(shù)根若

36、關(guān)于x的方程mx2+()1(B)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根(D)沒有實(shí)數(shù)根(2m+1)x+m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A)(C)m<一4mv1,且mw04-1(B)m>一4(D)m>1,且mw042.填空：11若方程x23x1=0的兩根分別是x1x2,則x1x2(2)(3)方程mx2+x2m=0(mwQ的根的情況是以一3和1為根的二次方程是3.已知Va+8a+16+|b-1|=0,當(dāng)k取何值時，方程kx2+ax+b=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根?4,已知方程x2-3x-1=0的兩根為和X2,求(23)(X23)的值.習(xí)題2.1A組1 .選擇題：(1)已知關(guān)于x的方程

37、x2+kx2=0的一個根是1,則它的另一個根是()(A)-3(B)3(0)-2(D)2(2)下列四個說法：方程x2+2x7=0的兩根之和為2,兩根之積為7;方程x22x+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7;方程3x27=0的兩根之和為0,兩根之積為I；3方程3x2+2x=0的兩根之和為一2,兩根之積為0.其中正確說法的個數(shù)是()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個(3)關(guān)于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一個根是0,則a的值是()(A)0(B)1(C)1(D)0,或12.填空：(1)方程kx2+4x1=0的兩根之和為一2,則k=.(2)方程2x2x4=0的兩根為a,3,則a2

38、+伊=.(3)已知關(guān)于x的方程x2ax3a=0的一個根是一2,則它的另一個根是(4)方程2x2+2x1=0的兩根為x1和x2,則|x1一x2|=3 .試判定當(dāng)m取何值時，關(guān)于x的一元二次方程根？沒有實(shí)數(shù)根？4 .求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程m2x2-(2m+1)x+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個相等的實(shí)數(shù)x27x1=0各根的相反數(shù).B組1 .選擇題：若關(guān)于x的方程x2+(k2-1)x+k+1=0的兩根互為相反數(shù)，則k的值為()(A)1,或1(B)1(C)1(D)02 .填空：(1)若m,n是方程x2+2005x1=0的兩個實(shí)數(shù)根，則m2n+mn2mn的值等于.(2)如果a,b是

39、方程x2+x1=0的兩個實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3+a2b+ab2+b3的值是.3 .已知關(guān)于x的方程x2-kx-2=0.(1)求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩根為x1和x2,如果2(x1+x2)>x1x2,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.4 .一元二次方程ax2+bx+c=0(aw。的兩根為x1和x2.求：為“2(1) |x1一x2網(wǎng)-2；2xj+x23.5 .關(guān)于x的方程x2+4x+m=0的兩根為x1，x2滿足|x1一x2|=2,求實(shí)數(shù)m的值.C組1 .選擇題：(1)已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x28x+7=0的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于()(A)石(B)3(

40、C)6(D)9(2)若Xi,X2是方程2x24x+1=0的兩個根，則上+x2的值為X2Xi(A) 6(B) 4(3)如果關(guān)于的方程x2-2(1，、，、3(C) 3(D)2m)x+m2=0有兩實(shí)數(shù)根a,3,則a+()的取值范圍為(B)(C) a+3>1(D) 尸1(4)已知a,b,c是(A)沒有實(shí)數(shù)根(C)有兩個相等的實(shí)數(shù)根AABC的三邊長，那么方程cx2+(a+b)x+-=04()(B)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根(D)有兩個異號實(shí)數(shù)根2 .填空：若方程x28x+m=0的兩根為x1?x2,且3x+2x2=18,則m=.3,已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個實(shí)數(shù)

41、根.3.(1)是否存在頭數(shù)k,使(2x1一x2)(x1-2x2)=成立？右存在，求出k的值；右不存在，說明理由;2(2)求使+血一2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；x2x1(3)若k=2,九=紅，試求九的值.X22，一一、，一2,一m_4,已知關(guān)于x的方程x2(m2)x=0.4(1)求證：無論m取什么實(shí)數(shù)時，這個方程總有兩個相異實(shí)數(shù)根；(2)若這個方程的兩個實(shí)數(shù)根X1,X2滿足%|=|刈+2,求m的值及相應(yīng)的x1，x2.5,若關(guān)于x的方程x2+x+a=0的一個大于1、零一根小于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2.1 一兀二次方程練習(xí)1. (1)C(2)D2_2. (1)3(2)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根(3)x

42、+2x3=03. k<4,且k用4. 1提?。?x13)(X23)=X1X23(x+X2)+9習(xí)題2.1A組1. (1)C(2)B提示：和是錯的，對于，由于方程的根的判別式A<0,所以方程沒有實(shí)2數(shù)根；對于，其兩根之和應(yīng)為幺.3(3) C提示：當(dāng)a=0時，方程不是一元二次方程，不合題意.2. (1)2(2)17(3)6(3)由411一.3 .當(dāng)m>-,且m為時，萬程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m=1時，萬程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；4 4當(dāng)m<1時，方程沒有實(shí)數(shù)根.44.設(shè)已知方程的兩根分別是X1和X2,則所求的方程的兩根分別是X1和X2,X1+X2=7,X1X2=1,(X1)+

43、(X2)=7,(xi)#一股)=xiX2=1,，所求的方程為y2+7y1=0.B組1. C提示：由于k=1時，方程為x2+2=0,沒有實(shí)數(shù)根，所以k=-1.2. (1)2006提示：m+n=-2005,mn=-1,-m2n+mn2mn=mn(m+n1)=1X(20051)=2006.(2) -3提示；.a+b=1,ab=1,.a3+a2b+ab2+b3=a2(a+b)+b2(a+b)=(a+b)(a2+b2)=(a+b)(a+b)22ab=(1)*(1)22><1)=3.3. (1);A=(k)24X1X2)=k2+8>0,方程一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.(2).x+x2=k,

44、x1x2=2,.2k>2,即k>-1.4.(1)|x1x2|=db24acx1+x2|a|b2a333abc-b；x1+x2=3a5.|x1x2|=J16-4m=2j4m=2,，m=3.把m=3代入方程，A>0,滿足題意，m=3.C組1. (1)B(2)A1(3) C提?。河舍?m01，二a十片2(1-m)>12(4) B提示：va,b,c是AABC的三邊長，a+b>c,.A=(a+b)2-c2>0.2. (1)12提示：:x1+x2=8,.3x+2x2=2(x1+x2)+x1=2X8+x1=18,x1=2,.x2=6,.m=x1x2=12.3人、3. (1

45、)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使(2x1一x2)(x1一2片)=一一成乂.2二一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0有兩個實(shí)數(shù)根，k肛且A=16k2-16k(k+1)=-16k>Qk<0.k1-x1+x2-1,x1x2-,4k22.(2x1一x2)(x1一2x2)=2x151x2+2x2,2c_o9(k1)_3=2(x1+x2)9xx2=2=,4k2即9(k+1)=7,解得k=9,與k<0相矛盾，所以，不存在實(shí)數(shù)k,使(2x1x2)(x1-2x2)=3成立.4k2522222(2).x.x2_2_x+x22_(x+x2)-2x1x22_(x+x2)4x2x1x1x2%x2x1x2_j4

46、k_4_4k-4(k+1)_4k1k1k1'要使+殳2的值為整數(shù)，只須k+1能整除4.而k為整數(shù)，x2x1k+1只能取土，龍，甘.又二kv0,k+1<1,k+1只能取一1,2,4,，k=2,3,-5.，能使二十配一2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值為一2,3和一5.x2x1一._1小(3)當(dāng)k=-2時，x1+x2=1,x1x2=_,82得見+區(qū)+2=8,即1+=6,九26九+1=0,又2x11=3-22.24. (1)A=2(m-1)+2>0；2，、m，(2) X1X2=-WQX1<O,X2>Q或X1>QX2<0.4若xiw0,X2>Q則X2=Xi+

47、2,Xi+X2=2,m2=2,m=4.此時，方程為x22x4=0,x1=1+f5,x2=1-.5.若X1>0,X2WQ則一X2=X1+2,.X1+X2=2,.m2=2,m=0.此時，方程為x2+2=0,.x1=0,x2=2.5. 設(shè)方程的兩根為X1,X2,則XI+X2=1,X1X2=a,由一根大于1、另一根小于1,得(X11)(X21)<0,即X1X2(X1+X2)+1V0,a(1)+10,av2.2此時，=124%2)>0,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<-2.2.2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)問題1函數(shù)y=ax2與y=x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系

48、?1C為了研究這一問題，我們可以先回出y=2x2,y=-x2,y=-2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)y=x2的圖象2之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y=ax2與y=x2的圖象之間所存在的關(guān)系.先畫出函數(shù)y=x2,y=2x2的圖象.先列表:X3-2101232X941014922x188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了.再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y=x2,y=2x2的圖象(如圖2-1所示)，從圖21我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y=2x2的圖象可以由函數(shù)y=x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫?1c同學(xué)們也可以用類似于上面的方法回出

49、函數(shù)y=X2,y=2X2的圖象，并研究這2兩個函數(shù)圖象與函數(shù)y=x2的圖象之間的關(guān)系.通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y=ax2(aR)的圖象可以由y=x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到.在二次函數(shù)y=ax2(a卻)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標(biāo)系中的開口的大小.問題2函數(shù)y=a(x+h)2+k與y=ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系.同學(xué)們可以作出函數(shù)y=2(x+1)2+1與y=2x2的圖象(如圖22所示)，從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移

50、一個單位，就可以得到函數(shù)y=2(x+1)2+1的圖象.這兩個函數(shù)圖象之間具有形狀相同，位置不同”的特點(diǎn).類似地，還可以通過畫函數(shù)y=3x2,y=-3(x-1)2+1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系.通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y=a(x+h)2+k(a利中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且k正上移，k負(fù)下移”.圖2.2-1圖2.2-2由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a%)的圖象的方法：由于y=ax2+bx+c=a(x2+bx)+c=a(x2+bx+

51、b2b2"2a)2ab2-4acR+c4；4a所以，y=ax2+bx+c（a4）的圖象可以看作是將函數(shù)y=ax2+bx+c（a卻）具有下列性質(zhì)：y=ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)（1）當(dāng)a>0時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向上;頂點(diǎn)坐標(biāo)為（b4ac-b22a4ab），對稱軸為直線x=;2abb當(dāng)x<一廠時，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x>-萬一時,4ac-b2y隨著x的增大而增大；當(dāng)x=2a時，函數(shù)取最小值y=4ab4ac-b2b（2）當(dāng)a<0時，函數(shù)y=ax+bx+c圖象開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（,）,對稱軸為直線x=；2a4a2a.bbb當(dāng)xv-h時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x>-1時，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x=-鼠時，函數(shù)取最大值y=4ac-b24a上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2.23和圖2.24直觀地表示出來.因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題.例1求二次函數(shù)y=-3x