理學概率統(tǒng)計

1、1. 二維隨機變量的概念二維隨機變量的概念2. 二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量 3. 二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量 4. 二二維隨機變量維隨機變量的分布函數的分布函數 5. 小結小結第一節(jié)第一節(jié) 二維隨機變量二維隨機變量圖示圖示e )(eY S)(eX ., ),(,)()(, ,或二維隨機變量或二維隨機變量叫作二維隨機向量叫作二維隨機向量由它們構成的一個向量由它們構成的一個向量上的隨機變量上的隨機變量是定義在是定義在和和設設它的樣本空間是它的樣本空間是是一個隨機試驗是一個隨機試驗設設YXSeYYeXXeSE 1.1.二維隨機變量的概念二維隨機變量的概念(1) 定義定義實例實例1

2、 炮彈的彈著點的位置 ( X, Y ) 就是一個二維隨機變量. 二維隨機變量 ( X, Y ) 的性質不僅與 X 、Y 有關,而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系.實例實例2 考查某一地 區(qū)學前兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的身高 H 和體重 W 就構成二維隨機變量 ( H, W ).說明說明 2.2.二維離散型隨機變量 (1) 定義定義 若二維隨機變量若二維隨機變量 ( X, Y ) 所有可能取到的不所有可能取到的不相同的數偶相同的數偶 是有限對或無限是有限對或無限可列對時可列對時,則稱則稱 ( X, Y ) 為二維離散型隨機變量為二維離散型隨機變量.,.2, 1,),( jiyxji(2) 二

3、維離散型隨機變量的分布律二維離散型隨機變量的分布律 . 1, 0 , , ),( , 2, 1, 2, 1,),(),(11 ijijijijjijippYXYXjipyYxXPjiyxYX其其中中的的聯聯合合分分布布律律和和機機變變量量或或隨隨的的分分布布律律變變量量稱稱此此為為二二維維離離散散型型隨隨機機記記所所有有可可能能取取的的值值為為設設二二維維離離散散型型隨隨機機變變量量二維隨機變量 ( X,Y ) 的分布律也可表示為XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp例1 一箱子裝有5件產品，其中2件正品，3件次品每次從中取1件產品檢驗質量，

4、不放回地抽取，連續(xù)兩次如下：和定義隨機變量YX10X，第一次取到次品，第一次取到正品10Y，第二次取到次品，第二次取到正品.),(的分布律試求YX解得：按概率的乘法公式計算及對：可能取的值只有),1 , 1 ()0 , 1 (),1 , 0(),0 , 0(4),(YX0,00 00P XYP XP YX210.1540,1P XY230.3541,0P XY320.3541,1P XY320.354：的分布律用表格表示為),(YX.),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的分布律的分布律試求試求整數值整數值中等可能地取一中等可能地取一在在另一個隨機變量另一個隨機變量取值取值四個整數中等

5、可能地四個整數中等可能地在在設隨機變量設隨機變量YXXYX解解:,的取值情況是的取值情況是jYiX , 4 , 3 , 2 , 1 i,的的正正整整數數取取不不大大于于 ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 的的分分布布律律為為于于是是),(YX例例2XY12341234418112116108112116100121161000161 設設(X,Y)是二維隨機變量，如果存在定義在平是二維隨機變量，如果存在定義在平面上的函數面上的函數f(x,y),滿足條件滿足條件(1)定義定義 3. 二維連續(xù)型隨機變量. 0),

6、()1( yxf. 1dd),()2( yxyxf內內的的概概率率為為落落在在點點平平面面上上的的一一個個區(qū)區(qū)域域是是設設GYXxoyG),(,)3(.dd),(),( GyxyxfGYXP則稱則稱(X,Y)是連續(xù)型隨機變量，而是連續(xù)型隨機變量，而f(x,y)稱為二維隨機稱為二維隨機變量變量(X,Y)的概率密度函數或稱為隨機變量的概率密度函數或稱為隨機變量X和和Y的聯的聯合概率密度函數合概率密度函數.表示介于表示介于 f (x, y)和和 xoy 平面之間的空間區(qū)域的平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于全部體積等于1.,dd),(),( GyxyxfGYXP, 1dd),( yxyxf (2) 說

7、明說明.),(, ),(為頂面的柱體體積為頂面的柱體體積以曲面以曲面為底為底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP .),(,表示空間的一個曲面表示空間的一個曲面幾何上幾何上yxfz 由概率的性質 ( , )d d1f x yx y 1CA可得故有( , )f x y1, ( , )0 ,x yGA其它以上式為概率密度，如果一個二維隨機變量),(YX.),(上的均勻分布服從區(qū)域則稱GYX( , )f x y, ( , )0 ,Cx yG其它設G是平面上的一個有界區(qū)域，其面積為A。二維隨機變量(x,y)只在G中取值，并且取G中的每一個點都是“等可能的”，即(x,y)的概率密度為4. 二維隨機變量

8、的分布函數二維隨機變量的分布函數 (1)分布函數的定義分布函數的定義 .,),(,)()(),( :,),( 的聯合分布函數的聯合分布函數和和機變量機變量或稱為隨或稱為隨的分布函數的分布函數稱為二維隨機變量稱為二維隨機變量二元函數二元函數對于任意實數對于任意實數是二維隨機變量是二維隨機變量設設YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX xoy),(yx yYxX ,. , ),(示區(qū)域內的概率示區(qū)域內的概率就是隨機點落在如圖所就是隨機點落在如圖所的函數值的函數值yYxXPyxF , ),( xxyyijijpyxF說明說明（）離散型隨機變量 ( X ,Y ) 的分布函數歸納為. , ,求和求和

9、的的其中和式是對一切滿足其中和式是對一切滿足jiyyxxji （）連續(xù)型隨機變量 ( X ,Y ) 的分布函數為,),(),( yxdxdyyxfyxFxyyxFyxfyxf ),(),(),(2的連續(xù)點有的連續(xù)點有且在且在例3具有概率密度設二維隨機變量),(YX( , )f x y(2)2e,0 ,00,x yxy其他1( , )2F x yP XY試求:( )分布函數( )解）（ 1( , )( , )d dyxF x yf x yx y (2)002ed d ,0,00,yxx yx y xy 其他.2(1 e)(1 e),0,0( , )0,xyxyF x y其他.即有）（2GyxXO

10、Y上方的區(qū)域記為平面的直線把位于1于是( , )( , )d dGP XYPx yGf x yx y(2)022ed d3x yxy x 落入任一矩形點這時),(,YX1212( , ),Gx y xxxyyy,()的概率 即可由概率的加法性質求得 如下圖1212,P xXxyYy22122111(,)( ,)(,)( ,).F xyF x yF xyF x y分布函數具有以下的基本性質： ）（ 10( , )1F x y且, y對任意固定的(, )0Fy，對任意固定的x( ,)0F x (,)0,F (,)1F 的不減函數或是）（yxyxF),(2(0, )( , ),( ,0)( , )F

11、 xyF x y F x yF x y）（3）對任意的（411221212( ,),(,),x yxyxxyy22122111(,)( ,)(,)( ,)0F xyF x yF xyF x y有定義個隨機變量上的是定義在樣本空間設nXXXn,21則12(,)nXXXnn稱為 維隨機向量或 維隨機變量個實數對于任意n12,nx xx函數,12( ,)nF x xx1122,nnP Xx XxXx維隨機變量稱為n12(,)nXXX的分布函數或.,21的聯合分布函數隨機變量nXXX實例實例1 炮彈的彈著點的位置 ( X, Y ) 就是一個二維隨機變量. 二維隨機變量 ( X, Y ) 的性質不僅與

12、X 、Y 有關,而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系.實例實例2 考查某一地 區(qū)學前兒童的發(fā)育情況 , 則兒童的身高 H 和體重 W 就構成二維隨機變量 ( H, W ).說明說明 XY12341234418112116108112116100121161000161表示介于表示介于 f (x, y)和和 xoy 平面之間的空間區(qū)域的平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于全部體積等于1.,dd),(),( GyxyxfGYXP, 1dd),( yxyxf (2) 說明說明.),(, ),(為頂面的柱體體積為頂面的柱體體積以曲面以曲面為底為底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP .),(,表示空間的

13、一個曲面表示空間的一個曲面幾何上幾何上yxfz 由概率的性質 ( , )d d1f x yx y 1CA可得故有( , )f x y1, ( , )0 ,x yGA其它以上式為概率密度，如果一個二維隨機變量),(YX.),(上的均勻分布服從區(qū)域則稱GYX( , )f x y, ( , )0 ,Cx yG其它設G是平面上的一個有界區(qū)域，其面積為A。二維隨機變量(x,y)只在G中取值，并且取G中的每一個點都是“等可能的”，即(x,y)的概率密度為, ),( xxyyijijpyxF說明說明（）離散型隨機變量 ( X ,Y ) 的分布函數歸納為. , ,求和求和的的其中和式是對一切滿足其中和式是對一切滿足jiyyxxji （）連續(xù)型隨機變量 ( X ,Y ) 的分布函數為,),(),( yxdxdyyxfyxFxyyxFyxfyxf ),(),(),(2的連續(xù)點有的連續(xù)點有且在且在分布函數具