周期數(shù)列詳解

1、周期數(shù)列一、周期數(shù)列的定義：類(lèi)比周期函數(shù)的概念，我們可定義：對(duì)于數(shù)列an,如果存在一個(gè)常數(shù)T(TN),使得對(duì)任意的正整數(shù)nn0恒有烝tan成立，則稱(chēng)數(shù)列an是從第n0項(xiàng)起的周期為T(mén)的周期數(shù)列。若n01,則稱(chēng)數(shù)列an為純周期數(shù)列，若n02,則稱(chēng)數(shù)列an為混周期數(shù)列，T的最小值稱(chēng)為最小正周期，簡(jiǎn)稱(chēng)周期。設(shè)An是整數(shù),m是某個(gè)取定的大于1的正整數(shù)，若Bn是An除以m后的余數(shù)，即Bn=An(modm),且Bn在0,1,2,.,m-1,則稱(chēng)數(shù)列Bn是An關(guān)于m的模數(shù)列，記作An(modm)。若模數(shù)列An(modm)是周期的，則稱(chēng)An是關(guān)于模m的周期數(shù)列。二、周期數(shù)列的性質(zhì)1、周期數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列，其值域是

2、有限集；推逃1若周期數(shù)列I.的周期T221則lia.不存在u推法2若丘|不是常數(shù)列，且】iE片存在，刖人|不是周期效列口2、如果T是數(shù)列an的周期，則對(duì)于任意的kN,kT也是數(shù)列an的周期。3、若數(shù)列an滿(mǎn)足anan1an2(nN,且n2),則6是數(shù)列的一個(gè)周期。4、已知數(shù)列an滿(mǎn)足antan(n,tN,且t為常數(shù))，Sn分另11為an的前n項(xiàng)的和，若nqtr(0rt,rN),則anar,SnqStSro特別地：數(shù)列an的周期為6,(即：an6an)則S2012335S6S25、若數(shù)列an滿(mǎn)足ananks(nk,nN),則數(shù)列an是周期數(shù)列；若數(shù)列an滿(mǎn)足anan1anks(nk,nN),則數(shù)

3、列an是周期數(shù)列。若數(shù)列an滿(mǎn)足anan1anks(nk,nN,s0),則數(shù)列an是周期數(shù)列。特別地：數(shù)列an滿(mǎn)足anan1s(nk,nN),則數(shù)列an周期T=2；數(shù)列an滿(mǎn)足anan1an2s(nk,nN)，則數(shù)歹Uan周期T=3N),則數(shù)列an周期T=3數(shù)列an滿(mǎn)足anan1s(nk,nN)，則數(shù)列an周期T=2；數(shù)列an滿(mǎn)足ananan2s(nk,n6、若數(shù)列an滿(mǎn)足anaan1bcan,a+d=0,則數(shù)列a是周期T=2；例：數(shù)列an滿(mǎn)足3an17，則數(shù)列an是周期T=2；三、周期數(shù)列性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用1、求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列1,2,1,2,1,2,的通項(xiàng)公式解析：原數(shù)列可構(gòu)造成:13

4、13131它的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成:或者寫(xiě)成：an又或者寫(xiě)成:an總結(jié)：一般的(2)1,0,1,an-sin(22數(shù)列解析：該數(shù)列周期為3,生聯(lián)系。事實(shí)上，當(dāng)這樣所以,22(1)n(nCN),(nCN),1-cosn2a，b,12(aa,b)(nCN),b,a,12(bb,a)cosn0,1,的通項(xiàng)公式我們把它與周期為x分別為兀的函數(shù)2它的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成:tanxN)進(jìn)行改造，使它們能發(fā)時(shí)，tanx的值分別為1,0,1，1,0,1,原數(shù)列的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成:1,tan(n2)1bn2tan(n32)(nCN)數(shù)列弟：1,2,3,4,1,2,3,4,的通項(xiàng)公式解析：將原數(shù)列擴(kuò)大2倍：2

5、,4,6,8,2,4,6,8,再減去平均數(shù)5得到：3,1,1,3,3,1,1,3,分解成兩個(gè)數(shù)列：(1)1,1,1,1,1,1,1,1,(2)2,2,2,2,2,2,2,2,的通項(xiàng)公式為(1)n易得，(2)的通項(xiàng)只要求出1,1,1,1,1,1,1,1,的通項(xiàng)便可以了，它與(2)相差一個(gè)系數(shù)2。以上數(shù)列的符號(hào)與正弦函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)完全一致，它通項(xiàng)：1 1c1n<2sin(-n-)(nN),2 42, 2,2,2,2,2,2,2,的通項(xiàng)為：11.c2n2&sin(n一)(nCN),243, 1,1,3,3,1,1,3,的通項(xiàng)為：1 1c3n(1)n2拒sln(1n1)(nCN),

6、則原數(shù)列cn的通項(xiàng)為：1n11cn-5(1)n2v2sln(-n)(nCN)。2244) )cn：1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,的通項(xiàng)公式乘以(一4)得：5) 4,4,4,8,8,8,8,12,12,12,12,加上(n+4)得：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,，它的通項(xiàng)公式為：Cn'1251)n2V2sin(-n2)又Cn'4Cn(n4)化簡(jiǎn)整理得:Cn812nn11)n2、,2sin(n22、求數(shù)列中的項(xiàng)例3（由第十四屆希望杯改編）、已知數(shù)列整數(shù)，總有anan1an2,則a2009等于an中，a132).5且對(duì)于大于2的正A

7、.-5解析：由性質(zhì)（2）知，數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)列，而再由性質(zhì)（3）可得a2009a5a4a3（a3a2）a35,200963345,故選A.例4（上海中學(xué)數(shù)學(xué)雜志2000年的第1期）、已知實(shí)數(shù)列an滿(mǎn)足aia(a為實(shí)解：an3an13an13an1,3aN)，求a20001(n1tan(x-)tanx）可變形為antan6-十分相似,1tanxtan6的原型.通過(guò)運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)本題中可取an=tan6周期是6.而200033362,再由性質(zhì)（3）3、求周期數(shù)列的前n項(xiàng)和例5、設(shè)數(shù)列an中，a1a21,anan1an2an3(ananan2解：由已知條件,對(duì)任何自然數(shù)N式中的n換成n、31

8、3L3.我們發(fā)現(xiàn)an3an133an1V1_313an1因此可把此三角式認(rèn)為是原遞推關(guān)系antan（n1）,顯然止匕數(shù)歹U的a200063a1a23aa32,且對(duì)n1）成立，試求該數(shù)列前,有anan1an2an3=an1,得an1an2an3an4=an1an2an3anan1an2an3=100項(xiàng)和400.an1an2an3,把a(bǔ)n4.兩式相減得，anian2an3(an(3),得S10025S425(1124)200.an4)anan4,因?yàn)閍n1an2an31,所以an4an（nN）.所以%是以4為周期的周期數(shù)列，而100425,再由性質(zhì)例6(上海08質(zhì)檢題)、若數(shù)列an滿(mǎn)足an2an1

9、an(nN),Sn為an的前n項(xiàng)和，且S22008,S32010,求S2008.解析：由an2an1an及性質(zhì)（2）,可知所以數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)歹U.由S22008,S32010,知aa22008,aa2a32010,再結(jié)合a3a2a1，可求得為1003,a21005,a32;由遞推關(guān)系式可進(jìn)一步求得a41003,a51005,a62.因?yàn)?00863344,由性質(zhì)（3）,得S2oO8334S6S4334010071007.4、求周期數(shù)列的極限例7、（06北京）在數(shù)列an中，a1,a2是正整數(shù)，且anan1an2，n3,4,5，則稱(chēng)an為“絕對(duì)差數(shù)列”.若“絕對(duì)差數(shù)列”an中，a203,a210,數(shù)列bn滿(mǎn)足bnanan1an2,n1,2,3，分別判斷當(dāng)n時(shí)，數(shù)列an和bn的極限是否存