等腰三角形基礎(chǔ)知識(shí)講解

1、等腰三角形（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，并能利用它證明兩個(gè)角相等、兩條線段相等以及兩條直線垂直.2. 掌握等腰三角形，等邊三角形的判定定理.3. 熟練運(yùn)用等腰三角形，等邊三角形的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行推理和計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形1. 等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在ABC中,A吐AC,則它叫等腰三角形，其中ABAC為腰，BC為底邊,/A是頂角，/B、/C是底角.要點(diǎn)詮釋：等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且都等于45°.等腰三角

2、形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）/A=180°2/B,ZB=ZC=180.2. 等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）3. 等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù)性質(zhì)2用來(lái)證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等4. 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對(duì)稱軸，通常情況只有一條對(duì)稱軸5. 等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的

3、邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）.要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.要點(diǎn)二、等邊三角形1. 等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形要點(diǎn)詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形.2. 等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.3. 等邊三角形的判定：(1) 三條邊都相等的三角形是等邊三角形；(2) 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；(3) 有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

4、【典型例題】類(lèi)型一、等腰三角形中有關(guān)度數(shù)的計(jì)算題Cl、(2015春？張家港)如圖，已知ABC中,AB=BD=DC/ABC=105，求/A,/C度數(shù).【答案與解析】解：AB=BD/BDAMA,BD=DC/C=ZCBD設(shè)/C=ZCBD=x貝U/BDAMA=2x,/ABD=180-4x,/ABC/ABD/CDB=180-4x+x=105°,解得：x=25°,所以2x=50°,即/A=50°,/C=25°【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解題中運(yùn)用了等腰三角形“等邊對(duì)等角”的性質(zhì),并聯(lián)系三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問(wèn)題舉一反

5、三：【變式】已知：如圖，DE分別為ABAC上的點(diǎn)，AOBOBD,AD=AEDE=CE求/B的度數(shù)【答案】解：AC=BOBD,AD=AEDE=CE設(shè)/EdEDC=x,/BCD=ZBDC=y,則/AED=ZADE=2x,/A=ZB=180°4x在厶ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和得,x+y+180°4x+180°4x=180°又ADB在同一直線上，二2x+x+y=180°由，解得x=36°/B=180°4x=180°144°=36°.類(lèi)型二、等腰三角形中的分類(lèi)討論、在等腰三角形中，有一個(gè)角為40°

6、;,求其余各角.【思路點(diǎn)撥】唯獨(dú)等腰三角形的角有專用名詞“頂角”“底角”，別的三角形沒(méi)有，然而此題沒(méi)有指明40°的角是頂角還是底角，所以要分類(lèi)討論.【答案與解析】解：(1)當(dāng)40°的角為頂角時(shí)，由三角形內(nèi)角和定理可知:兩個(gè)底角的度數(shù)之和=180°40°=140°，又由等腰三角形的性質(zhì)可知：兩底角相等，故每個(gè)底角的度數(shù)114070;2(2)當(dāng)40°的角為底角時(shí)，另一個(gè)底角也為40°，則頂角的度數(shù)=180°40°40°=100其余各角為70°,70°或40°,100【總

7、結(jié)升華】條件指代不明，做此類(lèi)題應(yīng)分類(lèi)討論，把可能出現(xiàn)的情況都討論到，別遺漏O3、已知等腰三角形的周長(zhǎng)為13,一邊長(zhǎng)為3,求其余各邊.【答案與解析】解：（1）3為腰長(zhǎng)時(shí)，則另一腰長(zhǎng)也為3,底邊長(zhǎng)=13-3-3=7;13為底邊長(zhǎng)時(shí)，則兩個(gè)腰長(zhǎng)的和二13-3=10,則一腰長(zhǎng)丄105.2這樣得兩組：3,3,75,5,3.而由構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊可知：3+3V7,故不能組成三角形，應(yīng)舍去.等腰三角形的周長(zhǎng)為13,邊長(zhǎng)為3,其余各邊長(zhǎng)為5,5.【總結(jié)升華】唯獨(dú)等腰三角形的邊有專用名詞“腰”“底”，別的三角形沒(méi)有，此題沒(méi)有說(shuō)明邊長(zhǎng)為3的邊是腰還是底，所以做此題應(yīng)分類(lèi)討論同時(shí)結(jié)合三角形內(nèi)角和定

8、理、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，來(lái)驗(yàn)證討論哪些情況符合，哪些情況不符合，從而決定取舍，最后得到正確答案.舉一反三：【變式】（2015?威海模擬）如圖，ABC中BDCD平分/ABC/ACB過(guò)D作直線平行于BC,交ABAC于E、F,AB=5,AC=7BC=8AEF的周長(zhǎng)為（）A.13B.12C.15D.20【答案】選B.解:EF/BC,/EDBMDBCBD平分/ABC/EBDMCBD/EDBMEBDBE=ED同理DF=CFAEF的周長(zhǎng)是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12.類(lèi)型三、等腰三角形性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用4、已知：如圖，A

9、BC中，ACB45，ADLBC于D,CF交AD于點(diǎn)F,連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E,BADFCD.求證：(ABDACFD(2)BE!AC【思路點(diǎn)撥】此題由等腰三角形的判定知AD=DC易證ABtACFD要證BELAC,只需證/BEC=90°即可,DF=BD,可知/FBD=45°,由已知/ACD=45°,可知/BEC=90【答案與解析】證明：(1)tADLBC,/ADC=ZFDB=90ACB45,ACBDAC45AD=CDBADFCD,ABDACFD(2)ABDACFDBD=FD.vZFDB=90°,FBDBFD45.vACB45,BEC90.BELAC【總結(jié)

10、升華】本題主要考查全等三角形判定定理及性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理,等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于熟練的綜合運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理，通過(guò)求證ABDACFD推出BD=FD求出/FBD"BFD=45.類(lèi)型四、等邊三角形、如圖.在等邊厶ABC中，/ABC與/ACB的平分線相交于點(diǎn)0,且0D/AB0E/AC(1)試判定0DE勺形狀，并說(shuō)明你的理由;(2)線段BDDEEC三者有什么關(guān)系？寫(xiě)出你的判斷過(guò)程.【答案與解析】解：(ODE是等邊三角形，其理由是：ABC是等邊三角形,/ABC=ZACB=60°,OD/AB,OE/AC，/ODZABC=60°,/OED=ZAC

11、B=60°ODE是等邊三角形；(2)答：BD=DE=EC,其理由是：OB平分ZABC且ZABC=60°OD/AB,/BOD=ZABO=30°,/DBO=ZDOBD吐DO同理，EC=EOvDE=OD=OEBD=DE=EC【總結(jié)升華】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得到ODE是等邊三角形；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得到/DBOZDOB根據(jù)等角對(duì)等邊可得到D吐DO同理可證明EC=EO因?yàn)镈E=OD=OE所以BD=DE=EC.舉一反三：【變式】等邊ABCP為BC上一點(diǎn),含30°、60°的直角三角板60°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上,使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn).如圖，當(dāng)P為BC的三