等腰三角形基礎(chǔ)知識講解

1、等腰三角形（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，并能利用它證明兩個角相等、兩條線段相等以及兩條直線垂直.2. 掌握等腰三角形，等邊三角形的判定定理.3. 熟練運(yùn)用等腰三角形，等邊三角形的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行推理和計算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形1. 等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在ABC中,A吐AC,則它叫等腰三角形，其中ABAC為腰，BC為底邊,/A是頂角，/B、/C是底角.要點(diǎn)詮釋：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角

2、形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）/A=180°2/B,ZB=ZC=180.2. 等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）3. 等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等4. 等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸5. 等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的

3、邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.要點(diǎn)二、等邊三角形1. 等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形要點(diǎn)詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形也就是說等腰三角形包括等邊三角形.2. 等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60°.3. 等邊三角形的判定：(1) 三條邊都相等的三角形是等邊三角形；(2) 三個角都相等的三角形是等邊三角形；(3) 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

4、【典型例題】類型一、等腰三角形中有關(guān)度數(shù)的計算題Cl、(2015春？張家港)如圖，已知ABC中,AB=BD=DC/ABC=105，求/A,/C度數(shù).【答案與解析】解：AB=BD/BDAMA,BD=DC/C=ZCBD設(shè)/C=ZCBD=x貝U/BDAMA=2x,/ABD=180-4x,/ABC/ABD/CDB=180-4x+x=105°,解得：x=25°,所以2x=50°,即/A=50°,/C=25°【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解題中運(yùn)用了等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì),并聯(lián)系三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問題舉一反

5、三：【變式】已知：如圖，DE分別為ABAC上的點(diǎn)，AOBOBD,AD=AEDE=CE求/B的度數(shù)【答案】解：AC=BOBD,AD=AEDE=CE設(shè)/EdEDC=x,/BCD=ZBDC=y,則/AED=ZADE=2x,/A=ZB=180°4x在厶ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和得,x+y+180°4x+180°4x=180°又ADB在同一直線上，二2x+x+y=180°由，解得x=36°/B=180°4x=180°144°=36°.類型二、等腰三角形中的分類討論、在等腰三角形中，有一個角為40°

6、;,求其余各角.【思路點(diǎn)撥】唯獨(dú)等腰三角形的角有專用名詞“頂角”“底角”，別的三角形沒有，然而此題沒有指明40°的角是頂角還是底角，所以要分類討論.【答案與解析】解：(1)當(dāng)40°的角為頂角時，由三角形內(nèi)角和定理可知:兩個底角的度數(shù)之和=180°40°=140°，又由等腰三角形的性質(zhì)可知：兩底角相等，故每個底角的度數(shù)114070;2(2)當(dāng)40°的角為底角時，另一個底角也為40°，則頂角的度數(shù)=180°40°40°=100其余各角為70°,70°或40°,100【總

7、結(jié)升華】條件指代不明，做此類題應(yīng)分類討論，把可能出現(xiàn)的情況都討論到，別遺漏O3、已知等腰三角形的周長為13,一邊長為3,求其余各邊.【答案與解析】解：（1）3為腰長時，則另一腰長也為3,底邊長=13-3-3=7;13為底邊長時，則兩個腰長的和二13-3=10,則一腰長丄105.2這樣得兩組：3,3,75,5,3.而由構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊可知：3+3V7,故不能組成三角形，應(yīng)舍去.等腰三角形的周長為13,邊長為3,其余各邊長為5,5.【總結(jié)升華】唯獨(dú)等腰三角形的邊有專用名詞“腰”“底”，別的三角形沒有，此題沒有說明邊長為3的邊是腰還是底，所以做此題應(yīng)分類討論同時結(jié)合三角形內(nèi)角和定

8、理、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，來驗證討論哪些情況符合，哪些情況不符合，從而決定取舍，最后得到正確答案.舉一反三：【變式】（2015?威海模擬）如圖，ABC中BDCD平分/ABC/ACB過D作直線平行于BC,交ABAC于E、F,AB=5,AC=7BC=8AEF的周長為（）A.13B.12C.15D.20【答案】選B.解:EF/BC,/EDBMDBCBD平分/ABC/EBDMCBD/EDBMEBDBE=ED同理DF=CFAEF的周長是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12.類型三、等腰三角形性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用4、已知：如圖，A

9、BC中，ACB45，ADLBC于D,CF交AD于點(diǎn)F,連接BF并延長交AC于點(diǎn)E,BADFCD.求證：(ABDACFD(2)BE!AC【思路點(diǎn)撥】此題由等腰三角形的判定知AD=DC易證ABtACFD要證BELAC,只需證/BEC=90°即可,DF=BD,可知/FBD=45°,由已知/ACD=45°,可知/BEC=90【答案與解析】證明：(1)tADLBC,/ADC=ZFDB=90ACB45,ACBDAC45AD=CDBADFCD,ABDACFD(2)ABDACFDBD=FD.vZFDB=90°,FBDBFD45.vACB45,BEC90.BELAC【總結(jié)

10、升華】本題主要考查全等三角形判定定理及性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理,等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，關(guān)鍵在于熟練的綜合運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理，通過求證ABDACFD推出BD=FD求出/FBD"BFD=45.類型四、等邊三角形、如圖.在等邊厶ABC中，/ABC與/ACB的平分線相交于點(diǎn)0,且0D/AB0E/AC(1)試判定0DE勺形狀，并說明你的理由;(2)線段BDDEEC三者有什么關(guān)系？寫出你的判斷過程.【答案與解析】解：(ODE是等邊三角形，其理由是：ABC是等邊三角形,/ABC=ZACB=60°,OD/AB,OE/AC，/ODZABC=60°,/OED=ZAC

11、B=60°ODE是等邊三角形；(2)答：BD=DE=EC,其理由是：OB平分ZABC且ZABC=60°OD/AB,/BOD=ZABO=30°,/DBO=ZDOBD吐DO同理，EC=EOvDE=OD=OEBD=DE=EC【總結(jié)升華】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得到ODE是等邊三角形；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得到/DBOZDOB根據(jù)等角對等邊可得到D吐DO同理可證明EC=EO因為DE=OD=OE所以BD=DE=EC.舉一反三：【變式】等邊ABCP為BC上一點(diǎn),含30°、60°的直角三角板60°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上,使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn).如圖，當(dāng)P為BC的三