最新一元二次方程知識點(diǎn)總結(jié)及典型習(xí)題

1、學(xué)習(xí)-好資料一元二次方程二、具體內(nèi)容(一)、一元二次方程的概念1 .理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個(gè)數(shù)為1,未知數(shù)的最高次數(shù)為 2,整式方程，可化為一般形式；2 .正確識別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù)2(1)明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù) a#0時(shí)，整式方程ax+bx+c = 0才是一元二次方程。(2)各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù) ).(3)熟練整理方程的過程3 . 一元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解4 .列出實(shí)際問題的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1 .明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元

2、一次方程求解；2 .根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 .體會(huì)不同解法的相互的聯(lián)系；4 .值得注意的幾個(gè)問題：22(1)開平方法：對于形如 x =門或(2*+9 =n(a #0)的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開平方法求解形如x2 = n的方程的解法：當(dāng) n 0時(shí)，x = Jn ；當(dāng) n = 0 時(shí)，x1 = x2 = 0 ;當(dāng)n 0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。(2)配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x + m)2 =門的方程，再運(yùn)用開平方法求解。配方法的一般步驟：移項(xiàng)：把一元二次

3、方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為(x + m)2 = n的形式;求解：若n之0時(shí)，方程的解為x = -mVn,若n0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；2b當(dāng)b -4ac =0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫為 xi = x2 =2a當(dāng)b2 -4ac 0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定 a,b,c的值；代入b2-4ac中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；若 b2 -4ac之0代入求根公式求值，否則，原方程無實(shí)數(shù)

4、根。(因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0,那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0,即:若 ab=0,則 a = 0Mb = 0 ；因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。(5)選用適當(dāng)方法解一元二次方程對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應(yīng)注意二次根式的化簡問題。方程若含有未知數(shù)的

5、因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。(6)解含有字母系數(shù)的方程(1)含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類型；(2)對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時(shí)一定不要忘記對字母的取值進(jìn)行討論。更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料(三)、根的判別式1. 了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合 題意的參數(shù)取值范圍。(1) A = b2 _4ac(2)根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程 ax2 +bx +c = 0 ( a = 0)一a 0當(dāng) j。方程有實(shí)數(shù)根；%至0時(shí)a

6、 #0 A0時(shí)U方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a#0u方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；)= 0 時(shí)a * 0、一 一，當(dāng)方程無實(shí)數(shù)根; 0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程c（x2 +m） +b（x2 m） 2%；max = 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：AABC是直角三角形。（4）已知：a,b,c分別是AABC的三邊長，求證：方程 b2x2+（b2 +c2 a2）x + c2 = 0沒有實(shí)數(shù)根。（5）當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程 mx24x + 4 = 0與x2 - 4mx + 4m2 - 4m - 5 = 0的根都是整數(shù)？ （ m=1）更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料22m -1_x 2x 2m(6)已知關(guān)于

7、x的萬程x +2x +=0,其中m為實(shí)數(shù)，(1)當(dāng)m為何值時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根？ ( 2)當(dāng)m為何值時(shí)，方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？求出這三個(gè)實(shí)數(shù)根。答案：(1) m -2 (2) x = _1,_1 v2.(六)相關(guān)練習(xí)(一)一元二次方程的概念1. 一元二次方程的項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)：_ 22(1)5x 一2 =3x(5x ,-3x,-2)(2)、,2 _6x2 _15x =0(6x2,15x, 2)(3) 3y(y 1) =7(y 2) -5(3y2,_4y,_9)(4) (m . m)(m - . m) (m -2)2 =7 -5

8、m(2m2,Q3)222(5) (5a -1)2 -4(a -3)2(3a2,2a,-5)2 .應(yīng)用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值(1) m為何值時(shí)，關(guān)于 x的方程(m J2)xm (m + 3)x = 4m是一元二次方程。(m = - J2 ) x2 - 7x -8x -1(2)若分式 x -x 8=0,則 x=( x = 8)3 .由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值(1)關(guān)于x的一元二次方程(a 1)x2+x+a2 1 =0有一個(gè)根為0,則2=(a=1).- 2_ _. 一一-一一- ,(2)已知關(guān)于x的一兀二次方程 ax +bx+c=0(a #0)有一個(gè)根為1, 一個(gè)根為1,則

9、a + b + c =(0, 0)a -b c 二(3)已知c為實(shí)數(shù)，并且關(guān)于x的一元二次方程x23x+c=0的一個(gè)根的相反數(shù)是方程 x2+3xc=0的一個(gè)根，求方程 x2 +3x c = 0的根及c的值。(0,-3, c=0)(二)一元二次方程的解法1 .開平方法解下列方程：(1) 5x2 -125=0 ( x1 = 5, x2 = -5 )一 一 2(2) 169(x-3)56=289 ( x1 = , x1322、13(3) y2 +361 =0 (原方程無實(shí)根)(4) (1 -J3)m2 = 0 (m1=m2=0)23=8(x=l)532.配方法解方程：(1) x2+2x-5=0(x

10、= -1J6)2-5- 21(2) y +5y+1=0(x =)2(3) 2y2 -4y = -3更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料3.公式法解下列方程：(1) 3x2 =6x -2(x =31)3(2) p2+3 = 2T3p(p1 = p2=73)(3) 7y2 =11y_ 2(4) 9n =5n2 (原方程無實(shí)數(shù)根)(5) x+2=(x2)(2x1)3 (x = 335 )24.因式分解法解下列方程：2(2) y +4y45 = 0 (y1=9,y2=5),.、1 2(1) x 一9=0(x=6)4更多精品文檔13(3) 8x +10x - 3 = 0 ( x1 = ，x2 =)42(4)，7x2

11、21x = 0 ( x1 = 0, x2 = *,r3 )，、， 一、2 一 ， 一 ，一 、(6) (x-5) =2(x-5) -1 (x1=x2=6)(5) 6x2 33x = 2V2x J6 (x1=J,x2=)23(x2 3x)2 -2(x2 3) -8 =0(x1 = -2, x2 = 1,x3 = 4,x4=1 )學(xué)習(xí)-好資料5.解法的靈活運(yùn)用（用適當(dāng)方法解下列方程）(1)2(2x-7)2 =，誨(x=7T2)2-22八 、22 二 、6(2) 2m m +1=2(m 2m) (m =)2(x1 = 2, x2 =一)5,3(yi =二，丫2 =2)2(3) 6x(x -2) =

12、(x -2)(x 3) y2 3 _ y(3-2y) , y(3y-1) 32322273(5) 81(2x -5) =144(x3)(x1= ,x2=N)1026.解含有字母系數(shù)的方程（ 解關(guān)于x的方程）：(1)x2 - 2mx m2 - n2 = 0(x1 = m - n, x2 = m n )(2)x2 3a2 = 4ax -2a 1(x1 = 3a 1,x2 = a +1)(3)(m+n)x2 +2nx = mn (m + n=0), m - n 、(x1 = 一 1,x2 =) m n學(xué)習(xí)-好資料(4) a2(x2 x +1) a(x2 1) =(a2 _1)x (討論 a)(三)一

13、元二次方程的根的判別式1 .不解方程判別方程根的情況：2(2) 3(x2+2) = 4x (無實(shí)數(shù)根)(1) 4x2 _x+3=7x (有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根)更多精品文檔(3) 4x2 5=4 . 5x(有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根)2 一 一 一(k1)2. k為何值時(shí)，關(guān)于 x的二次方程kx 6x + 9 = 0(1)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3)無實(shí)數(shù)根3,已知關(guān)于x的方程 4x2 -(m +2)x =1 -m有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.求m的值和這個(gè)方程的根.(m =2,x11“3=x2=或 m=10,x1 x2=一)22224,若萬程 x +2(a+1)x+a +4a5=0有實(shí)數(shù)根，求

14、：正整數(shù) a. ( a = 1,a = 2,a = 3 )5 .對任意實(shí)數(shù) m,求證：關(guān)于x的方程(m2 +1)x22mx + m2+4 = 0無實(shí)數(shù)根.6 . k為何值時(shí)，方程(k 1)x2 (2k+3)x + (k+3) =0有實(shí)數(shù)根.(當(dāng)k -1 =0時(shí)，原方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，x =-；5k -1 00時(shí)，解得k =1|21,所以當(dāng)k k - -21421r,，、, 一且k # 1時(shí)萬程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。4綜上所述，當(dāng)k至?xí)r，方程有實(shí)數(shù)根.)47 .設(shè)m為整數(shù)，且4cm40時(shí)，方程x22(2m3)x+4m214m+ 8 = 0有兩個(gè)相異整數(shù)根， 求m 的值及方程的根。(當(dāng)m =12時(shí)，方程的根

15、為x1 =16, x2 =26 ；當(dāng)m=24時(shí)，方程的根為x1=38,x2 =52 )（四）一元二次方程的應(yīng)用1 .已知直角三角形三邊長為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長和面積.（3, 4, 5,面積為6）2 . 一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4,且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4,求這個(gè)兩位數(shù).（84）3 .某印刷廠在四年中共印刷1997萬冊書，已知第一年印刷了342萬冊，第二年印刷了 500萬冊，如果以后兩年的增長率相同，那么這兩年各印刷了多少萬冊？（550, 605）4 .某人把5000元存入銀行，定期一年到期后取出300元，將剩余部分（包括利息）繼續(xù)存入銀行，定期還是一年

16、，且利率不變，到期如果全部取出，正好是 275元，求存款的年利率？（不計(jì)利息稅）（10%）學(xué)習(xí)-好資料5 .某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（20元）6 .已知甲乙兩人分別從正方形廣場ABCD的頂點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，甲由 C向D運(yùn)動(dòng)，乙由B向C運(yùn)動(dòng),甲的速度為每分鐘 1千米，乙的速度每分鐘 2千米，若正方形廣場周長為40千米，問幾分鐘后，兩人相距2M千米？（2分鐘后）7 .某科技公司研制一種新產(chǎn)品，決定向銀行貸款200萬元資金，用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品，簽訂的合同上約定兩年到期時(shí)一次性還本付息，利息為本金的8%,該產(chǎn)品投放市場后由于產(chǎn)銷對路，使公司在兩年到期時(shí)除還清貸款的本金和利息外，還盈余72萬元，若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長的百分?jǐn)?shù)相同，試求這個(gè)百分?jǐn)?shù).（20%）學(xué)習(xí)-好資料8 .如圖，東西和南北向兩條街道交于。點(diǎn)，甲沿東西道由西向東走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，當(dāng)乙通過O點(diǎn)又繼續(xù)前進(jìn)50米時(shí)，甲岡1J好通過 O點(diǎn)，求這兩人在相距 85米時(shí)，每個(gè)人的位置。（甲