微積分2復(fù)習(xí)提綱1

1、微積分復(fù)習(xí)提綱一、 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用1、會(huì)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而會(huì)求函數(shù)的全微分或者梯度函數(shù)多元顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，見(jiàn)P16 例1-例3，P24習(xí)題1多元抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，見(jiàn)P28 例5-例7，P36 習(xí)題3高階偏導(dǎo)數(shù)，見(jiàn)P19 例8，P24習(xí)題2，P36 習(xí)題4復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，見(jiàn)P26例1，例3，例4，P36習(xí)題1，22、會(huì)求由方程確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)“顯”方程確定的隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，（公式法），見(jiàn)P34 例12，P36習(xí)題6，7抽象方程確定的隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，（直接法），見(jiàn)P34 例13，P36習(xí)題8由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，（直接法：在方程兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，求導(dǎo)過(guò)程中把都看做是的函數(shù)，

2、然后解方程組即可），見(jiàn)P35例14，P37習(xí)題9由方程組確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（直接法）見(jiàn)P37習(xí)題93、多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用空間曲線在點(diǎn)處的切線方程及法平面方程，見(jiàn)P46 例1，例2，P50習(xí)題1、2空間曲線在點(diǎn)處的切線方程及法平面方程見(jiàn)P46 例3， P50習(xí)題2曲面在點(diǎn)處的切平面方程與法線方程見(jiàn)P46 例5，例6， P50習(xí)題34、方向?qū)?shù)與梯度二、 多元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用1、二重積分的計(jì)算步驟：1）畫(huà)出積分區(qū)域， 2）根據(jù)積分區(qū)域選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來(lái)計(jì)算此二重積分3）化二重積分為二次積分 4）做兩次定積分，計(jì)算此積分的值注：多元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量積分的時(shí)候，要把其他的自變量看做常數(shù)。注：

3、要會(huì)做改變二次積分的積分次序，并計(jì)算此二次積分的值這種題型，見(jiàn)半期考試試題2、三重積分的計(jì)算步驟：1）根據(jù)題意寫(xiě)出積分區(qū)域的邊界曲面的方程 2）根據(jù)積分區(qū)域選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來(lái)計(jì)算此三重積分3）化三重積分為三次定積分 4）做三次定積分，計(jì)算此積分的值3、曲線積分的計(jì)算化曲線積分為定積分1）第一類(lèi)曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分）步驟：寫(xiě)出積分弧段的參數(shù)方程，并確定參數(shù)的取值范圍根據(jù)的參數(shù)方程寫(xiě)出弧長(zhǎng)元素根據(jù)的參數(shù)方程化曲線積分為對(duì)參數(shù)的定積分2）第二類(lèi)曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分）方法一：直接化為定積分步驟：寫(xiě)出積分弧段的參數(shù)方程，并確定的起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值根據(jù)的參數(shù)方程化曲線積分為對(duì)參數(shù)的定積分：

4、方法二：利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)及格林公式步驟：找出，并求若在一個(gè)單連通區(qū)域上恒成立，則曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，從而我們可以選擇平行于坐標(biāo)軸的折線段計(jì)算此曲線積分：如圖選擇折線段作為積分路徑：利用方法一把這兩個(gè)曲線積分，分別化為兩個(gè)定積分即可求出，即若在一個(gè)單連通區(qū)域上恒成立，則曲線積分與路徑有關(guān)，可用格林公式求解添補(bǔ)直線段BC:和CA:,則與BC，CA構(gòu)成一條封閉的曲線，記此閉曲線圍成的平面有界閉區(qū)域?yàn)?。如圖所示：利用格林公式及第二類(lèi)曲線積分的垂直投影性得：注：計(jì)算曲線積分的時(shí)候，一般先用方法一把曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分，當(dāng)這個(gè)定積分不容易求解時(shí)，就改用方法二求解4、曲面積分的計(jì)算化曲面積分為二重積分

5、1)第一類(lèi)曲面積分(對(duì)面積的曲面積分)步驟：將積分曲面的方程改寫(xiě)為：；畫(huà)出積分曲面在面上的投影區(qū)域；根據(jù)積分曲面的方程寫(xiě)面積元素：化曲面積分為二重積分：2)第二類(lèi)曲面積分(對(duì)坐標(biāo)的曲面積分)方法一：（直接化曲面積分為二重積分）步驟：將積分曲面的方程改寫(xiě)為：，并指明此有向曲面取上側(cè)還是下側(cè)；畫(huà)出積分曲面在面上的投影區(qū)域；化曲面積分為二重積分：特別地，注：1）計(jì)算出此二重積分的值就為所求的曲面積分的值； 2）若此二重積分不好計(jì)算或是積分曲面是由幾個(gè)部分組成，分區(qū)面做積分比較麻煩的時(shí)候可以考慮利用高斯公式求解。方法二：利用高斯公式分情況討論：)若積分曲面是一個(gè)取外側(cè)的封閉的曲面，且，及其偏導(dǎo)數(shù)在此閉

6、曲面圍成的空間有界閉區(qū)域上連續(xù)，則由高斯公式有：)若積分曲面不是封閉的曲面，則不能直接利用高斯公式，一般需要添補(bǔ)平面：，并指明所取的側(cè)，使得與圍成一個(gè)取外側(cè)的閉曲面，記此閉曲面圍成的空間有界閉區(qū)域?yàn)椋瑥亩海ù颂幱玫搅说诙?lèi)曲面積分的垂直投影性）5、多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用1）（用于求平面圖形的面積）2）（用于求立體的體積）3）（用于求曲線的弧長(zhǎng)）4）（用于求曲面的面積）5）物理應(yīng)用三、 無(wú)窮級(jí)數(shù)一） 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判定步驟：1) 做極限，若，則此級(jí)數(shù)發(fā)散；若，則2)2) 根據(jù)一般項(xiàng)的形式選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗥鋽可⑿浴?、交錯(cuò)級(jí)數(shù)或的斂散性的判定萊布尼茲判別法：找到做極限，若，則此

7、交錯(cuò)級(jí)數(shù)發(fā)散；若，則此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。3、判斷一般項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂，若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂？解：1）判斷的斂散性，（注：是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)）2）若收斂，則作結(jié)論：收斂，且絕對(duì)收斂。3）若發(fā)散，則還要討論本身的斂散性。二） 冪級(jí)數(shù)1、 求冪級(jí)數(shù)的收斂域。（先求收斂半徑，再討論端點(diǎn)處冪級(jí)數(shù)的斂散性）2、 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。1） 充分利用等比級(jí)數(shù)的求和公式及冪級(jí)數(shù)可用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分的性質(zhì)，先求，再求。2） 利用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，計(jì)算系數(shù)中含有階乘的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。3、 將函數(shù)用的冪級(jí)數(shù)逼近或?qū)⒄归_(kāi)成的冪級(jí)數(shù)方法：利用已知的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，通過(guò)變量代換求的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式；先求的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，再利用冪級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)求導(dǎo)得性質(zhì)求出的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。4、 將函數(shù)用的冪級(jí)數(shù)逼近或?qū)⒄归_(kāi)成的冪級(jí)數(shù)方