微分方程數(shù)值解法

1、微分方程數(shù)值解法論文常微分方程初值問題數(shù)值解法的討論與比較一、一階常微分方程的初值問題科學(xué)技術(shù)中常常要求解常微分方程的定解問題，這類問題最簡單的形式是一階方程的初值問題我們知道，只要函數(shù)適當(dāng)光滑，譬如關(guān)于滿足Lipschitz條件（1.3）理論上就可以保證初值問題(1.1),(1.2)的解存在并且唯一。雖然求解常微分方程有各種各樣的解析方法，但解析方法只能用來求解一些特殊類型的方程，實際問題中歸結(jié)出來的微分方程主要靠數(shù)值解法。二、歐拉法我們知道，在平面上，微分方程(1.1)的解稱作它的積分曲線。積分曲線上一點的切線斜率等于函數(shù)的值，如果按函數(shù)在平面上建立一個方向場，那么，積分曲線上每一點的切線

2、方向均與方向場在該點的方向相一致，基于上述幾何解釋，從初始點出發(fā)，先依方向場在該點的方向推進(jìn)到上一點，然后再從依方向場的方向推進(jìn)到上一點，循此前進(jìn)推出一條折線，一般地，設(shè)已做出該折線的頂點，過依方向場的方向再推進(jìn)到，顯然兩個頂點，的坐標(biāo)有關(guān)系即(2.1)這就是著名的歐拉(Euler)公式。若初值已知，則依公式(2.1)可逐步算出例1求解初值問題解歐拉公式的具體形式為取步長，計算結(jié)果如下表：表1 計算結(jié)果對比0.10.20.30.40.51.10001.19181.27741.35821.43511.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.509

3、01.58031.64981.71781.78481.48321.54921.61251.67331.7321初值問題(2.2)有解，按這個解析式子算出的準(zhǔn)確值同近似值一起列在表1，兩者相比較可以看出歐拉方法的精度很差。三、改進(jìn)歐拉法為得到比歐拉法精度高的計算公式，在等式如果對方程(1.1)從到積分,得(3.1)右端積分中若用梯形求積公式近似，并用代替，代替，則得 (3.2)稱為改進(jìn)歐拉法改進(jìn)歐拉方法是隱式單步法，可用迭代法求解用歐拉方法提供迭代初值，則改進(jìn)歐拉法的迭代公式為(3.3)為了分析迭代過程的收斂性，將(3.1)式與(3.2)相減，得，于是有，式中為對滿足Lipschitz常數(shù)，如果

4、選取充分小，使得，則當(dāng)時有，這說明迭代過程(3.3)是收斂的例2用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問題(1.1)解改進(jìn)的歐拉公式為仍取，計算結(jié)果見下表同例中歐拉法的計算結(jié)果比較，改進(jìn)歐拉法明顯改善了精度表2計算結(jié)果對比0.10.20.30.40.51.09591.18411.26621.34341.41641.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48601.55251.61531.67821.73791.48321.54921.61251.67331.7321四、線性多步法在逐步推進(jìn)的求解過程中，計算之前事實上已經(jīng)求出了一系列的近似值，如果充分利用前

5、面多步的信息來預(yù)測，則可以期望會獲得較高的精度這就是構(gòu)造所謂線性多步法的基本思想構(gòu)造多步法的主要途徑是基于數(shù)值積分方法和基于泰勒展開方法，前者可直接由方程(1.1)兩端積分后利用插值求積公式得到一般的線性多步法公式可表示為， (4.1)其中為的近似，為常數(shù)，及不全為零，則稱(4.1)為線性步法，計算時需先給出前面?zhèn)€近似值，再由（4.1)逐次求出如果，稱(4.1)為顯式步尖，這時可直接由(4.1)算出；如果，則(4.1)稱為隱式步法，求解時與改進(jìn)歐拉法相同，要用迭代法方可算出，(4.1)中系數(shù)及可根據(jù)方法的局部截斷誤差及階確定，其定義為：設(shè)是初值問題(1.1),(1.2)的準(zhǔn)確解。阿當(dāng)姆斯顯式與

6、隱式公式考慮形如，(4.2)的步法，稱為阿當(dāng)姆斯(Admas)方法為顯式方法，亦稱Adams-Bashforth公式；為隱式方法，亦稱Adams-Monlton公式，直接由方程(1.1)兩端從到積分求得。例3積分法導(dǎo)出三步顯式阿當(dāng)姆斯方法解對(1.1)兩端從到積分考慮以為節(jié)點的二次代數(shù)多項式插值，則從而得到同理得再由積分中值定理也不難得到，即的阿當(dāng)姆斯顯式公式為，(4.3)其局部截斷誤差為例4用四階阿當(dāng)姆斯顯式和隱式方法解初值問題取步長解本題從四階阿當(dāng)姆斯顯式公式得到對于四階阿當(dāng)姆斯隱式公式得到由此可直接解出而不用迭代，得到計算結(jié)果如表5，其中顯式方法中的及隱式方法中的均用準(zhǔn)確解計算得到，對一

7、般方程，可用四階R-K方法計算初始近似表5例4計算結(jié)果阿當(dāng)姆斯顯式公式阿當(dāng)姆斯隱式格式0.30.40.50.60.70.80.91.01.040818221.070320051.106530661.148811641.196585301.249328961.306569661.367879441.0700322921.106535481.148818411.196593401.249338161.306579621.367889962.87e-0064.82e-0066.77 e-0068.10 e-0069.20 e-0069.96 e-0061.05 e-0061.040818011.070319661.106530141.148811011.196584591.249328191.306568841.367878592.1 e-0073.9 e-0075.2 e-0076.3 e-0