線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、 7-1 7-1 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概念 7-2 7-2 信號的采樣及保持信號的采樣及保持 7-3 Z 7-3 Z變換理論變換理論 7-4 7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7-5 7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差7-6 7-6 離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析7-7 7-7 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正離散系統(tǒng)的數(shù)字校正7-4 7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義2 線性常系數(shù)差分方程及其解法線性常系數(shù)差分方程及其解法3 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)4 開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)5

2、 閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)6 Z變換的局限性及修正變換的局限性及修正Z變換變換1、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義)()(nrFnc 其中，r(n)為系統(tǒng)在t=nT時(shí)的輸入序列；c(n)為系統(tǒng)在t=nT時(shí)的輸出序列；T為采樣周期。輸出序列和輸入序列之間的變換關(guān)系稱為離散系統(tǒng)。 若上式變換關(guān)系為線性，則稱為線性離散系統(tǒng)；反之，稱為非線性離散系統(tǒng)。 （1）線性離散系統(tǒng)滿足疊加性和齊次性(2)線性定常離散系統(tǒng)輸入輸出不隨時(shí)間而改變的線性離散系統(tǒng) 線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有：線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有：差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表達(dá)式。差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表

3、達(dá)式。3、脈沖傳遞函數(shù)、脈沖傳遞函數(shù)（1）脈沖傳遞函數(shù)定義）脈沖傳遞函數(shù)定義（2）脈沖傳遞函數(shù)求解）脈沖傳遞函數(shù)求解00)()()()()(nnnnznTrznTczRzCzG脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù))()()(zRzGzC采樣系統(tǒng)的離散輸出信號采樣系統(tǒng)的離散輸出信號*11( ) ( ) ( ) ( )c tZC zZG z R z（1）脈沖傳遞函數(shù)定義）脈沖傳遞函數(shù)定義零初始條件：指在零初始條件：指在t0t0時(shí)，輸入脈沖序列各采樣值時(shí)，輸入脈沖序列各采樣值r(-T),r(-2T)r(-T),r(-2T)以及輸出以及輸出脈沖序列各采樣值脈沖序列各采樣值c(-T),c(-2T)c(-T),c(-

4、2T)均為零。均為零。 零初始條件下，系統(tǒng)零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號的輸出采樣信號的z變換與變換與系統(tǒng)輸入采樣信號的系統(tǒng)輸入采樣信號的z變變換之比。換之比。 脈沖函數(shù)與差分方程的關(guān)系脈沖函數(shù)與差分方程的關(guān)系101001()() () z( )( )( )( )G( )( )1nmijijnmijijijmjjjniiic nTac ni Tb r nj TC zaC z zb R z zb zC zzR za z 變換得：整理得脈沖傳遞函數(shù)： (2)脈沖傳遞函數(shù)求解脈沖傳遞函數(shù)求解由由G(s)G(s)求求G(z):G(z):將將G(s)G(s)展開為展開為z z變換表中的部分因式進(jìn)變換表中

5、的部分因式進(jìn)行變換。行變換。Z Z變換表見表變換表見表7-27-2。 例例718求脈沖傳遞函數(shù)。由,)()(TknrnTckkzzRzzGzzRz)()(C)()()(Cz變換得：取解：物理含義：表示輸出比輸入延遲物理含義：表示輸出比輸入延遲kT個(gè)采樣周期。個(gè)采樣周期。求脈沖傳遞函數(shù)由)(G,)()(zassasGaTaTezzzzGeteasssG1)z(1)(11)(查表，得解：開環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)求解與串聯(lián)環(huán)節(jié)之間的開環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)求解與串聯(lián)環(huán)節(jié)之間的采樣開關(guān)有關(guān)。采樣開關(guān)有關(guān)。串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)的情況串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)的情況串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)的情況串聯(lián)環(huán)節(jié)

6、之間沒有采樣開關(guān)的情況有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)4 4、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)采樣函數(shù)的拉氏變換具有采樣函數(shù)的拉氏變換具有兩個(gè)重要性質(zhì)：兩個(gè)重要性質(zhì)：)()(*sjksGsG)()()()(*sEsGsEsG1( )( ) ( )D zG z R z212( )( )( )( )( ) ( )C zG z D zG z G z R z)()()()(21zGzGzRzC脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)之積。沖傳遞函數(shù)之積。1、串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣器的情況、串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間有采樣器的情況推廣：有理想采樣

7、器隔開的推廣：有理想采樣器隔開的n個(gè)線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)的脈沖傳遞個(gè)線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)的脈沖傳遞函數(shù)等于函數(shù)等于n個(gè)環(huán)節(jié)個(gè)環(huán)節(jié)z變換的乘積。變換的乘積。G2(s)G1(s)( )r t*( )r t( )d t*( )d t*( )c t( )c tT)(zG)(1zG)(2zG( )R z( )D z( )C z2、串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無采樣器的情況、串聯(lián)各環(huán)節(jié)之間無采樣器的情況 沒有采樣開關(guān)分隔的兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)為這沒有采樣開關(guān)分隔的兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)為這兩個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘之積的兩個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘之積的Z變換。變換。推廣：沒有理想采樣器隔開的推廣：沒有理想采樣

8、器隔開的n個(gè)線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)的脈沖傳遞函數(shù)個(gè)線性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)的脈沖傳遞函數(shù)等于等于n個(gè)環(huán)節(jié)乘積后的個(gè)環(huán)節(jié)乘積后的z變換。變換。G2(s)G1(s)( )r t*( )r t( )d t*( )c t( )c tT)(zG( )R z( )C z*12( )( )( )( )C sG s G s R s系統(tǒng)連續(xù)信號的拉氏變換為*0( )()nsTnR sr nT e*1212C ( )( )( )( )( )( )( )sG s G s R sG s G sR s12C( )( ) ( )zGG z R z*1212( )( )( )GGsGs Gs注意：1212( )( )( )GG zG z

9、 G z注意：3、有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)*11( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(1)( )ppsTpppGsGsC seR sssGzGzGzC zZR zz ZR zzZR zsss 例例7201212212312212221221( ),( )( ),( )1( )( )(1)()( )( )( ) ( )(1) ()(1)( )()(1) ()(1)( )( ) ( )(1) ()aTaTaTaTaTaTaTazazG sG sG zG zssazzeazG z G zzzeazC zG z G z R zzzea

10、zeGG zZs sazzezeC zGG z R zzze傳遞函數(shù)1212( )( )( )G z G zGz采樣開關(guān)使脈沖傳遞函數(shù)的零點(diǎn)發(fā)生變化。采樣開關(guān)使脈沖傳遞函數(shù)的零點(diǎn)發(fā)生變化。G2(s)G1(s)(sR)(*sR)(sX)(*sX)(*sC)(sCT)(zG)(1zG)(2zG)()()()(sCsHsRsE*( )( )( )C sG s E s*( )( )( ) ( )( )E sR sH s G s E s*( )( )( )( )E sR sHG s E s*( )( )1( )R sE sHG s)()()(*sEsGsC*( )( )( )1( )C sG sR sH

11、G s( )r t*( )e t*( )c t( )c tT)(sG)(sH*( ) ( )r t R z( )e t5、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)( )Ez( )C z( )( )1( )G zzHG z( )( )( )( )1( )C zG zzR zHG z( )1( )( )1( )eE zzR zHG z閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)誤差脈沖傳遞函數(shù)誤差脈沖傳遞函數(shù)對于單位反饋系統(tǒng)對于單位反饋系統(tǒng)( )( )( )( )1( )C zG zzR zG z( )1( )( )1( )eE zzR zG z閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)誤差脈沖傳遞函數(shù)誤差脈沖傳遞函數(shù)

12、閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)的特征方程閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)的特征方程1( )0HG z)(sR)(*sE)(sCT)(sG)(sH)(sD)(*sX)(sX*( )( )( )C sG s Xs)()()(*sEsDsX*( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )E sR sG s H s XsR sG s H s D s E sR sE sG s H s D s*( )( )( )( )1( ) ( )( )D s G s R sC sD s G s H s( )( ) ( )( )( )1( )( )C zD z G zzR zD z GH z*212(

13、)( )( )( )( )( )C sG s N sGs G s E s)()(*sCsE)(1)()(*21*2*sGGsNGsC212( )( )1( )G N zC zGG z)(sR)(*sE)(sCT2( )G s1( )G s)(sN閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 應(yīng)注意在閉環(huán)的各個(gè)通道以及環(huán)節(jié)之間是否有采樣開關(guān)，應(yīng)注意在閉環(huán)的各個(gè)通道以及環(huán)節(jié)之間是否有采樣開關(guān)，因?yàn)橛?、無采樣開關(guān)所得的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)是不相同的。因?yàn)橛?、無采樣開關(guān)所得的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)是不相同的。*( )( )( )e tr tC z 在誤差信號處沒有采樣開關(guān)，輸入采樣信號包括虛設(shè)的)不能求出閉環(huán)離散系統(tǒng)對于輸入量的脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出輸出采樣信號的z變換。)()()()()()()()(*sHsCsRsEsGsEsCzC解：。求輸出的采樣信號)()()()()(*sGsHsCsRsC)()()()()()()()()(*sHGsCsRGsGsHsCsGsRsC)(1)()()(1)()(*zHGzRGzCsHGsRGsC6、Z變換的局限性及修正變換的局限性及修正Z變換變換Z變換的推導(dǎo)建立在采樣信號可以用理想脈沖序列來變換的推導(dǎo)建立在采樣信號可以用理想脈沖序列來近似的基礎(chǔ)上。近似的基礎(chǔ)上。Z