第3章機械能和功(板書)

1、P.0/67第2章 質點動力學3-1 3-1 動能和動能定理動能和動能定理一、一、 功功(work): 功是度量能量轉換功是度量能量轉換的基本物理量的基本物理量, ,它描寫了力對空間它描寫了力對空間積累作用積累作用.1. 恒力的功恒力的功FssAFsrFF(cos)AFrcosFrAFr2. 2. 變力的功變力的功(,)bbbb xyz(,)aaaa xyziFiir解決方法：解決方法：1) )無限分割路徑；無限分割路徑；2) )以直線段代替曲線段；以直線段代替曲線段；3) )以恒力的功代替變力的功；以恒力的功代替變力的功；4) )各段作功代數求和；各段作功代數求和；iiiirFAcosNii

2、iirFA1cosNiiirF11limdNbiiaNiAFrFr 當當N 時時P.1/67第2章 質點動力學討論討論dcosdbbaaAFrFsABOFrdsdrrdcosddAFrFr元功元功(elementary work)（1 1）功與力和路徑有關）功與力和路徑有關功是過程量功是過程量（2 2）標量，有正負。）標量，有正負。（3）合力作功合力作功12nF, F,F若物體同時受到若物體同時受到 的作用，總功為：的作用，總功為：BAAF dr12BnA(FFF ) dr12BBBnAAAF drF drF dr12nAAA 合力對物體所做的功等于各個合力對物體所做的功等于各個分力對該物體所

3、做功的代數和。分力對該物體所做功的代數和。（4 4）用不同坐標系計算功）用不同坐標系計算功直角坐標系中直角坐標系中kFjFiFFzyxkzj yi xrdddddddddxyzAFrF xF yF zP.2/67第2章 質點動力學dddbbbaaaxyzxyzxyzAF xFyF z自然坐標系：自然坐標系：,ttnntFFeF edrdseabFdrtenenFtFtddbbaaAFrFr則有則有21stsAFds（5 5） 與參照系無關，位移與參照系無關，位移與參照系有關，與參照系有關，故故 A A 與參照系有關與參照系有關。F 以車廂為參考系以車廂為參考系, ,摩擦力不摩擦力不作功作功.

4、.以地面為參考系以地面為參考系, ,摩擦力摩擦力作功作功. .一般情況下一般情況下, ,通常約定以通常約定以地面為參考系地面為參考系. .f(6) (6) 功率功率定義：定義：單位時間內完成的功單位時間內完成的功tWP平均平均功率功率P.3/67第2章 質點動力學單位：單位：瓦特瓦特(W)瞬時瞬時功率功率tWtWPtddlim0ddddWFrPFttv(7) 示功圖示功圖(功可用曲線下面的面積表示功可用曲線下面的面積表示.OxFaxbxxFWd解（解（1 1）物體沿）物體沿OABOAB路徑運動時，路徑運動時，力的功為力的功為dddBOABOABOAABOAAFrFrFrAA式中式中10ddAO

5、AyOAFrF y例例3-1 3-1 設作用于質點的力設作用于質點的力為為 。分別求。分別求質點自質點自O O點經點經OABOAB和和ODBODB到達到達B B點時點時力力 所做的功。所做的功。()Fxyixy jF2.2 2.2 功和動能定理功和動能定理第3章 機械能和功100()dxxyy101d2y y10ddBABxAAFrF x110dyxyx101d2x x于是，有于是，有111J22OABOAABAAA（2）物體沿）物體沿ODB路徑運動時，路徑運動時，力的功為力的功為dddBODBODBODDBODAFrFrFrAA式中式中10ddDODxOAFrF x11000d0d0yxyx

6、x10ddBDByDAFrF y111001()d(1)d12xxyyyy于是，有于是，有110 11J22ODBODDBAAA2.2 2.2 功和動能定理功和動能定理第3章 機械能和功例例3-2 3-2 小球在水平變力小球在水平變力 作用作用下緩慢移動，即在所有位置上下緩慢移動，即在所有位置上均近似處于力平衡狀態(tài)，直到均近似處于力平衡狀態(tài)，直到繩子與豎直方向成繩子與豎直方向成 角。求：角。求：(1) (1) 的功，的功，(2) (2) 重力的功。重力的功。FFmlFmg解：解：cossinFmgttancos sinFmgmgtanFmgdmgAmgr(1 cos )mgl tddFAFrF

7、 s(1 cos )mgl變力變力恒力恒力 曲線運動曲線運動0sindmgl0sindmglP.6/67第2章 質點動力學C .xyOPrRmF解：解：j yFixFF00jyixrj yi xrddddAFrRyyFxxF200000dd202RF一質點做圓周運動一質點做圓周運動, ,有一有一力力 作用于質點作用于質點,求求在質點由原點運動至在質點由原點運動至P(0，2R)點過程中點過程中, ,力力 做的功做的功.j yi xFF0F示功面積求解示功面積求解12m 1N1J2AO21x /mF /NF由圖寫出作用力由圖寫出作用力F與位與位移移x的數值關系的數值關系, ,積分求解積分求解. .

8、22200dd1J 24baxxAF xxP.7/67第2章 質點動力學二二 動能定理動能定理 設質點設質點m在力的作用下沿曲在力的作用下沿曲線從線從a點移動到點移動到b點點元功元功:dsFbaavbvddcosdAFsFstdcosdFmamtvddcosdddAFsmstvdmv v總功：總功：ddbaAAmvvv v22bakk1122baAmmEEvv質點的動能定理：質點的動能定理：合外力對質點合外力對質點所做的功等于質點動能的增量。所做的功等于質點動能的增量。(1) 動能是標量動能是標量, ,是狀態(tài)量是狀態(tài)量(2) 功是過程量功是過程量, ,動能是狀態(tài)量動能是狀態(tài)量. .功是能量變化

9、的量度；功是能量變化的量度；(3) 動能定理由牛頓第二定律導動能定理由牛頓第二定律導出出, ,只適用于慣性參考系只適用于慣性參考系, ,動能動能也與參考系有關也與參考系有關. .P.8/67第2章 質點動力學例例3-33-3 設用鐵錘把釘子敲入木板時，木設用鐵錘把釘子敲入木板時，木板對釘子的阻力與釘子進入木板的深度板對釘子的阻力與釘子進入木板的深度成正比。若鐵錘敲第一次時能把釘子敲成正比。若鐵錘敲第一次時能把釘子敲入木塊入木塊1.0cm1.0cm深，而第二次用錘敲打釘深，而第二次用錘敲打釘子的力度與第一次相同，問第二次敲擊子的力度與第一次相同，問第二次敲擊能把釘子釘進木板多深？能把釘子釘進木板

10、多深？解解 每一次敲擊都有每一次敲擊都有fi22fidd11()22bxFaxAFrkx xkxkx 式中式中 分別為釘子在每分別為釘子在每一次錘子敲打前后的深度。一次錘子敲打前后的深度。if,x x由動能定理由動能定理2F102Amv得得222fi111222kxkxmv第一次敲打時，有第一次敲打時，有if10,1.0cmxxx得得222fi111222kxkxmv則阻力系數為則阻力系數為221mvkx第二次敲入第二次敲入 i1f2,xx xx22221111222kxkxmv解得解得212xx因此，第二次敲打能把釘子敲入的深因此，第二次敲打能把釘子敲入的深度為度為221210.41cmxx

11、x P.9/67第2章 質點動力學3-2 3-2 保守力和勢能保守力和勢能一一 保守力與耗散力保守力與耗散力1) 萬有引力萬有引力(gravitation)的功的功rrMmGF33dBAMmAGrrrddcosrrrr物體物體m從從A到到B,經過路徑經過路徑cOMmFrArBrABrdCrrrre極坐標系極坐標系t 時刻時刻 矢徑矢徑 、矢徑大小、矢徑大小rrtt 時刻時刻 矢徑矢徑 ，矢徑大小矢徑大小rrrdr dcosrrr 又，由圖，又，由圖，dcosrddcosdrrrrr r2dBArrMmAGrr萬有引力作功與路徑無萬有引力作功與路徑無關只與始末位置有關關只與始末位置有關, ,11

12、()BAGMmrrP.10/67第2章 質點動力學OMmFrArBrABrdCr作功只與質點的初、末位置有關作功只與質點的初、末位置有關稱為稱為保守力保守力D質點沿質點沿BDABDA從從B B回到回到A A點點，引力作引力作功為功為: :BDAabGMmGMmArr質點沿質點沿ACBDAACBDA封閉路徑一周，引封閉路徑一周，引力作功為：力作功為：dACBFrdBDAFrACBBDAAA0ACBDAACBDArFAd結論：結論：0d ACBDAACBDArFA1 1）保守力沿任意閉合路徑的積分為零?。┍Ｊ亓ρ厝我忾]合路徑的積分為零！2 2）可以證明：彈性力、萬有引力、）可以證明：彈性力、萬有引

13、力、靜電場力等均靜電場力等均 為保守力。為保守力。3 3）若某種力作功與具體路徑有關，）若某種力作功與具體路徑有關，該種作用力稱為耗散力。該種作用力稱為耗散力。 如摩擦力、如摩擦力、爆炸力等。爆炸力等。ACBDAACBDArFAdACBrFdBDArFd0P.11/67第2章 質點動力學2）重力）重力(gravity)的功的功ddAGrzmg d物體從物體從M1到到M2重力作的總功：重力作的總功：d(ddd)Amgkxiyjzk 211221ddMMAAmg ymg zzmgzmgz2z1zxyzO1Mrgm2M3) 彈性力彈性力(elastic work)的功的功XOxfab1x2x彈性力彈

14、性力ikxfx彈性力的功為彈性力的功為2211ddxxxxxAfxkxixi22212121kxkx 21222121kxkxP.12/67第2章 質點動力學 重力、彈力、萬有引力的共重力、彈力、萬有引力的共同特點：同特點： 做功與路徑無關做功與路徑無關, ,只與起、只與起、末點位置有關末點位置有關. 做功與相互作用物體的相對做功與相互作用物體的相對位置有關等于某函數在始末位位置有關等于某函數在始末位置的值之差置的值之差.保守力保守力(conservative force)FrFWL, 0d 為保守力為保守力. 物體沿閉合路徑繞行一周物體沿閉合路徑繞行一周, ,這些力所做的功恒為零這些力所做的

15、功恒為零, ,具有具有這種特性的力統(tǒng)稱為這種特性的力統(tǒng)稱為保守力保守力.4) 摩擦力的功摩擦力的功mgFdcos ddAFsmg s21dMMAmgsmgs1M2M摩擦力的功與質點運動路徑有關摩擦力的功與質點運動路徑有關.摩擦力為非保守力摩擦力為非保守力d0,LAFrF為保守力為保守力. .若若d0,LAFrF為非保守力為非保守力. .若若P.13/67第2章 質點動力學二二 勢能勢能 OMmFrArBrABrdCr仍以引力為例仍以引力為例 按照動能定理按照動能定理,若質點在引力場若質點在引力場中運動（只受引力作用）中運動（只受引力作用）kkdBABBAAAFrEEdBABBAAGmMGmMA

16、Frrr引力場引力場kkBABAGmMGmMEErr或或kk()()BABAGmMGmMEErr 結論：結論：(1) (1) 質點在引力場中運動時，引質點在引力場中運動時，引力場作功（或正負），質點動能力場作功（或正負），質點動能有相應變化（或增大或減?。?。有相應變化（或增大或減?。?。(2)(2)但是：有一個不變物理量！它但是：有一個不變物理量！它與質點所處空間點關。質點的動與質點所處空間點關。質點的動能與其在引力場中的空間位置有能與其在引力場中的空間位置有關。關。P.14/67第2章 質點動力學kk()()BABAGmMGmMEErr (3)(3)同時，有一個與空間位置一同時，有一個與空間位

17、置一個的量個的量 與動能相對應！與動能相對應！使其與動能的和保持不變！使其與動能的和保持不變！()GmMr()GmMr(4) (4) 稱為（引力）勢稱為（引力）勢能能 ，通常用，通常用 Ep 表示表示kpkp AABBEEEE(5)(5)由此可以設想：質點處于保守由此可以設想：質點處于保守力場中時，相應地具有一力場中時，相應地具有一 定的勢定的勢能能與質點所處位置有關。與質點所處位置有關。pdBABABAAFrE pp()BAEE pp()ABBAAEE 當保守力場作正功時（當保守力場作正功時（A A00），），k0,EA動能增大，動能增大， 即質點勢能減小并轉化為即質點勢能減小并轉化為運動運

18、動能量能量的緣故！的緣故！ 勢能就是質點在保守力場中勢能就是質點在保守力場中所 具 有 的所 具 有 的 潛 在 的 能 量潛 在 的 能 量(Potential Energy)(Potential Energy)P.15/67第2章 質點動力學意味著：在保守力場中，質意味著：在保守力場中，質點的動能可以點的動能可以“勢能勢能”的形的形式保存起來；也可以通過作式保存起來；也可以通過作功的方式再釋放出來成為可功的方式再釋放出來成為可對外作功的對外作功的“動能動能”。勢能增量勢能增量的負值的負值pp()ABBAAEE 定義了勢定義了勢能的差值能的差值勢能定義勢能定義按照勢能定義式：勢能還可以按照勢

19、能定義式：勢能還可以有一個常量的差！有一個常量的差！引力勢能：引力勢能：pConst.GmMEr 常量可任意選擇！常量可任意選擇！0ppp0( )( )( )drrE rE rE rFr空間某點的勢能空間某點的勢能E Ep p在數值上等在數值上等于質點從該點移動到勢能零點于質點從該點移動到勢能零點時保守力作的功。時保守力作的功。(2)勢能的大小只有相對的意義，勢能的大小只有相對的意義，相對于勢能零點而言。勢能零相對于勢能零點而言。勢能零點可以任意選取。點可以任意選取。 設空間設空間 點為勢能零點，則空點為勢能零點，則空間任意一點間任意一點 的勢能為：的勢能為：0rrpp()ABBAAEE (1

20、) (1) 勢能是一個系統(tǒng)的勢能是一個系統(tǒng)的屬性屬性. .說說明明P.16/67第2章 質點動力學(1)萬有引力勢能萬有引力勢能rrMmGErd)(2pr為勢能為勢能零點零點rGMmEp勢能零點為彈簧原長勢能零點為彈簧原長O處處0pdxxkxEMOXkx2p21kxE(2) 彈性勢能彈性勢能(3)重力勢能重力勢能xzy0),(zyxPmg0pdzzmgEmgzE p),(00, 00zyxp設地面為設地面為勢能零點勢能零點，二二 由勢能函數求保守力由勢能函數求保守力 ddpdAFrE pdBABABAAFrE 當位移很小，當位移很小，在直角坐標系中在直角坐標系中ddddxyzFrF xF yF

21、 z而而ddddppppEEEExyzxyzddd(ddd )xyzpppF xF yF zEEExyzxyzP.17/67第2章 質點動力學pxEFx ()xyzpppFFiF jFkEEEijkxyz改寫成改寫成(+)d(+)d(+)d0ppxypzEEFxFyxyEFzz要求要求 系數為系數為0pyEFy pzEFz kxFx 得得例如：由彈性勢能例如：由彈性勢能221kxEP3-3 3-3 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律一一 質點系的動能定理質點系的動能定理設質點系由設質點系由N N個質點組成個質點組成 mi ( ( i = 1, 2, 3, N) )速度為速度為 iv質點

22、系質點系imjmijfjifiFjFP.18/67第2章 質點動力學受力為：受力為： 按質點動能定理：按質點動能定理： 對任一質點對任一質點 mi 有有 kk() d BiiiijBAj iAFfrEE () iijj j iFf即，對每個質點：即，對每個質點：d() dBBiiiijKBKAj iAAFrfrEEiKiniexiEAA,對整個質點系對整個質點系iiKiiniiexiEAA,222121iAiiiBiivmvmKinexEAA質點系的動能定理：作用于質質點系的動能定理：作用于質點系的內力和外力所作的功等點系的內力和外力所作的功等于系統(tǒng)動能增量于系統(tǒng)動能增量iiKiiniiexi

23、EAA,kAAE 外內注意注意inA 一般情況下，內力一般情況下，內力作功總和作功總和 不等于零。不等于零。P.19/67第2章 質點動力學cncininexkAAAE 各質點相互作用各質點相互作用的內力分成的內力分成: :內力做的總功內力做的總功質點系的動能定理可寫為質點系的動能定理可寫為二二 功能原理功能原理（1 1）保守力）保守力（2 2）非保守力）非保守力cinpAE 內保守力作功可表示成質點內保守力作功可表示成質點系勢能差：系勢能差：ncpinexkEAAE ncinexkpAAEE kp()EE ncinexAAE cncinininAAA 定 義 質 點定 義 質 點系的機械能系

24、的機械能kpEEE功能原理功能原理 例例3-9 已知細鐵鏈質量為已知細鐵鏈質量為m，長為長為l，與桌面摩擦系數為，與桌面摩擦系數為 。問問(1)下垂鐵鏈部分的長度下垂鐵鏈部分的長度a為多為多少時鐵鏈可以從靜止開始下垂？少時鐵鏈可以從靜止開始下垂？(2)鐵鏈全部離開桌面時速度為鐵鏈全部離開桌面時速度為多少？多少？ kpAAEEE 外非保內P.20/67第2章 質點動力學解解 (1)設鐵鏈的質量密度為設鐵鏈的質量密度為ml則則()()aglag得得1al(2)當鐵鏈下垂部分的長度為當鐵鏈下垂部分的長度為x時，摩時，摩擦力為擦力為()flxg 例例3-9 已知細鐵鏈質量為已知細鐵鏈質量為m，長為，長

25、為l，與桌面摩擦系數為與桌面摩擦系數為 。問。問(1)下垂鐵鏈下垂鐵鏈部分的長度部分的長度a為多少時鐵鏈可以從靜止為多少時鐵鏈可以從靜止開始下垂？開始下垂？(2)鐵鏈全部離開桌面時速鐵鏈全部離開桌面時速度為多少？度為多少？ 因此，在鐵鏈的下滑過程中摩擦力做的因此，在鐵鏈的下滑過程中摩擦力做的總功為總功為f2d()d1()2lalaAf xglxxg lx 21()2 g lancinexAAE 得得22221()2111()()222g laEl vglga 1glvP.21/67第2章 質點動力學當外力對系統(tǒng)不作功、系統(tǒng)內當外力對系統(tǒng)不作功、系統(tǒng)內也無非保守內力作功或內力作也無非保守內力作功

26、或內力作功總和為零時功總和為零時 機械能守恒定律：機械能守恒定律：在孤立系統(tǒng)在孤立系統(tǒng)中非保守內力不作功時，系統(tǒng)中中非保守內力不作功時，系統(tǒng)中的動能與勢能可以彼此轉化，各的動能與勢能可以彼此轉化，各質點的機械能也可以相互交換，質點的機械能也可以相互交換，但系統(tǒng)的總機械能為恒量。但系統(tǒng)的總機械能為恒量。三三 機械能守恒定律機械能守恒定律由功能原理：由功能原理：注意注意 本章討論的動能定理、本章討論的動能定理、功能原理、機械能守恒等都是針功能原理、機械能守恒等都是針對某慣性系的結論！對某慣性系的結論！cincin0pk0AAEEncinexAAE ncin0Aex0A0EKPEEcP.22/67第2章 質點動力學例例3-103-10計算第一、第二宇宙速度。計算第一、第二宇宙速度。第一宇宙速度第一宇宙速度 已知：地球半徑為已知：地球半徑為R，質量為，質量為M，衛(wèi)星質量為，衛(wèi)星質量為m。要使衛(wèi)星在距。要使衛(wèi)星