第3章張量分析(清華大學(xué)張量分析,你值得擁有)

1、第第3章章 張量函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)張量函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)2022年年4月月30日日主要內(nèi)容主要內(nèi)容張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例矢量的標(biāo)量函數(shù)矢量的標(biāo)量函數(shù)二階張量的標(biāo)量函數(shù)二階張量的標(biāo)量函數(shù)二階張量二階張量的二階張量函數(shù)的二階張量函數(shù)張量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，鏈規(guī)則張量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，鏈規(guī)則矢量矢量的函數(shù)之導(dǎo)數(shù)的函數(shù)之導(dǎo)數(shù)二階二階張量的函數(shù)之導(dǎo)數(shù)張量的函數(shù)之導(dǎo)數(shù)張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例要研究導(dǎo)數(shù)，必須引進(jìn)函數(shù)。要研究導(dǎo)數(shù)，必須引進(jìn)函數(shù)。張量函數(shù)，有各種類型。張量函數(shù)，有各種類型。例如，張量的標(biāo)量函數(shù)：例如，張量的標(biāo)量函數(shù)

2、：11:22w 例如，張量的張量函數(shù)：例如，張量的張量函數(shù)：: 12,nT TT1212nncccTTT 張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例各向同性張量函數(shù)（客觀性背景）各向同性張量函數(shù)（客觀性背景）可先看各向同性標(biāo)量函數(shù)：在坐標(biāo)系剛性旋轉(zhuǎn)變可先看各向同性標(biāo)量函數(shù)：在坐標(biāo)系剛性旋轉(zhuǎn)變換下，其表現(xiàn)形式和數(shù)值均保持不變。換下，其表現(xiàn)形式和數(shù)值均保持不變。例如：例如：123123,f uuuf u u u iif uf u i jijf Tf T ijijjijifT TT TT 2111222iiiifmv vmv vmvv張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例

3、張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例等價(jià)表示或等價(jià)描述：上述各向同性函數(shù)的描述，等價(jià)表示或等價(jià)描述：上述各向同性函數(shù)的描述，雖然清晰，但很不方便，因?yàn)樽鴺?biāo)系要旋轉(zhuǎn)。問雖然清晰，但很不方便，因?yàn)樽鴺?biāo)系要旋轉(zhuǎn)。問題：能否找到一種等價(jià)描述，在該描述下，坐標(biāo)題：能否找到一種等價(jià)描述，在該描述下，坐標(biāo)系保持不動？系保持不動？經(jīng)典經(jīng)典解析幾何解析幾何中，解析地描述一個(gè)幾何圖形中，解析地描述一個(gè)幾何圖形的運(yùn)動，有兩種不同的思想。一種思想：圖形不的運(yùn)動，有兩種不同的思想。一種思想：圖形不動，移動坐標(biāo)。但運(yùn)動是相對的，于是另一種思動，移動坐標(biāo)。但運(yùn)動是相對的，于是另一種思想：坐標(biāo)不動，圖形移動。想：坐標(biāo)不動，圖

4、形移動。注意：運(yùn)動學(xué)思想之重要！注意：運(yùn)動學(xué)思想之重要！張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例考察一個(gè)最簡單的圖形考察一個(gè)最簡單的圖形，一個(gè)矢量一個(gè)矢量 。研究兩種相。研究兩種相對的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動下，矢量的表達(dá)，以及矢量的標(biāo)量對的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動下，矢量的表達(dá)，以及矢量的標(biāo)量函數(shù)的表達(dá)。一種旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，矢量不動，坐標(biāo)系函數(shù)的表達(dá)。一種旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，矢量不動，坐標(biāo)系順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，函數(shù)不變：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，函數(shù)不變：另一種旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，坐標(biāo)系不動，矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)同另一種旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，坐標(biāo)系不動，矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)同一個(gè)角度，函數(shù)不變：一個(gè)角度，函數(shù)不變：進(jìn)一步：進(jìn)一步： iif uf

5、uuiixxiiuu uQ uiiuu iiif uf uf u fff uQ uu張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例矢量矢量 的旋轉(zhuǎn)量：的旋轉(zhuǎn)量：二階張量二階張量 的旋轉(zhuǎn)量的旋轉(zhuǎn)量 ：進(jìn)一步看：進(jìn)一步看：u uQ uTTTQ T Q張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例例把上述思想推廣至一般情形：各向同性張量函把上述思想推廣至一般情形：各向同性張量函數(shù)數(shù)函數(shù)函數(shù)1(,)nf XX滿足當(dāng)自變量滿足當(dāng)自變量1,nXX改為其旋轉(zhuǎn)量改為其旋轉(zhuǎn)量1,nXX時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值必相應(yīng)地必相應(yīng)地變?yōu)槠湫D(zhuǎn)量變?yōu)槠湫D(zhuǎn)量，即：，即：通過正

6、交變換，使通過正交變換，使iiXX 從而使從而使(), (1,2, )if Xin張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和張量函數(shù)、各向同性張量函數(shù)的定義和例例各向同性張量函數(shù)各向同性張量函數(shù)例子請見例子請見張量分析張量分析的的92 93頁。頁。矢量的標(biāo)量函數(shù)矢量的標(biāo)量函數(shù)Cauchy基本表示定理：基本表示定理：矢量矢量 (1,2,)ivim的標(biāo)量函數(shù)的標(biāo)量函數(shù)( )if v為各向同性為各向同性f 可表示為內(nèi)積可表示為內(nèi)積 (1,2,)ijimv v的函數(shù)。的函數(shù)。推論：推論：矢量矢量v的標(biāo)量函數(shù)的標(biāo)量函數(shù)( )f v為各向同性為各向同性f 可表示為可表示為()f v張張量的標(biāo)量函數(shù)量的標(biāo)量函數(shù)定理

7、定理1：若若( )fT(,)ijklf Tg為各向同性函數(shù)為各向同性函數(shù)例：屈服函數(shù)例：屈服函數(shù)定理定理2：若若()fN123(,)NNNf JJJ為各向同性函數(shù)為各向同性函數(shù)( )f ( )fConst時(shí)，發(fā)生屈服，張成的曲面為屈服面。時(shí)，發(fā)生屈服，張成的曲面為屈服面。因此，因此，123( )(,)ff JJJConst一次項(xiàng)一次項(xiàng)二二次項(xiàng)次項(xiàng)三次項(xiàng)三次項(xiàng)張張量的標(biāo)量函數(shù)量的標(biāo)量函數(shù)例：屈服函數(shù)例：屈服函數(shù)( )f 212( )()()fJJConst若材料不可壓縮，若材料不可壓縮，馬氏體相變（金屬材料）馬氏體相變（金屬材料）+ 塑性屈服塑性屈服1J考慮考慮因此有因此有消失；消失；若只研究二

8、次項(xiàng)，若只研究二次項(xiàng)，3J消失，因此有消失，因此有2( )()ff JConst若材料可壓縮，若材料可壓縮， 則與則與1,J2J有關(guān)，因此有有關(guān)，因此有1,J2,J3,J21231( )()()(/)fJJJJConst二階張量的二階張量二階張量的二階張量函數(shù)函數(shù)二階張量二階張量的解析函數(shù)的解析函數(shù)冪級數(shù)：冪級數(shù)：0( )niiiza z仿照復(fù)變函數(shù)中的解析函數(shù)來構(gòu)造二階張量的解析函數(shù)：仿照復(fù)變函數(shù)中的解析函數(shù)來構(gòu)造二階張量的解析函數(shù)：0!nznzen0( )niiifaHTT1!nnnenTTG如何確定如何確定 ？ia二階張量的二階張量二階張量的二階張量函數(shù)函數(shù)Hamilton-Cayley

9、等式等式推廣推廣：32123( )0JJJT的特征多項(xiàng)式：的特征多項(xiàng)式：32123( )TTTJJJTTTTGO1230( )(,)nTTTiiifa JJJHTT1230()(,)nNNNiiifa JJJHNNH-C等式：等式：均可用均可用 來表達(dá)。來表達(dá)。nT2T由于由于 ，32123TTTJJJTTTG也就是說也就是說，22012( )(, ,)ffkkkHTTT GGTTH-C等式的意義：只需研究低次項(xiàng)，而無需高次項(xiàng)。等式的意義：只需研究低次項(xiàng)，而無需高次項(xiàng)。123,TTTiikkJJJ二階張量的二階張量二階張量的二階張量函數(shù)函數(shù)例：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1、各向同性材料、各向

10、同性材料未加載時(shí)，有未加載時(shí)，有2012() fkkkHNHGNN123(,)NNNiikk JJJ2012123, (,)iikkkkk JJJG2、線性、線性各向同性各向同性材料材料20k 12k01kJ0,0,則則10J0因此，有因此，有2ijkkijij 張量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，鏈規(guī)則張量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，鏈規(guī)則有限有限微分、導(dǎo)數(shù)與微分微分、導(dǎo)數(shù)與微分函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分：的導(dǎo)數(shù)、微分：0()( )( )limxf xxf xfxx 有限微分是張量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的核心！有限微分是張量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的核心！2()( )( )() f xxf xfxxOx d( )dffxxd( )dffxx先對函數(shù)概念做

11、擴(kuò)展！先對函數(shù)概念做擴(kuò)展！ A是自變量，可以是標(biāo)量，矢量，張量。是自變量，可以是標(biāo)量，矢量，張量。 B是函數(shù)，也可以是標(biāo)量，矢量，張量。是函數(shù)，也可以是標(biāo)量，矢量，張量。( ) BF A典型例子：典型例子：非線性彈性材料：非線性彈性材料：過去，這樣求導(dǎo)，似乎天經(jīng)地義。過去，這樣求導(dǎo)，似乎天經(jīng)地義。本章假定：僅研究直線坐標(biāo)系下張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。本章假定：僅研究直線坐標(biāo)系下張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。換言之，基矢量不變，是常矢量。換言之，基矢量不變，是常矢量。11:22w : ww ddw ijijwdd 2ijklijklwE如果：如果： 且且x是標(biāo)量，是標(biāo)量，則總有：則總有：然而，如果：然而，如果： 且且v

12、是矢量，是矢量，就沒有任何意義了！因此，微分的概念要拓展。就沒有任何意義了！因此，微分的概念要拓展。 x F 0limxxxxxx FFF 2xxxxxOx FFF ddxxxFF ddxxxFF F v 0limx F vvF vFvv從從微分微分到到有限微分，有限微分，出發(fā)點(diǎn)，仍然是傳統(tǒng)的微分出發(fā)點(diǎn)，仍然是傳統(tǒng)的微分稱為函數(shù)稱為函數(shù)F(x)對對z的有限微分。的有限微分。其中：其中：h無量綱無窮小量；無量綱無窮小量； z自變量自變量x的有限增量，與的有限增量，與x同量綱。同量綱。令令z=1，立即有：，立即有： 0limxxxxxx FFF 0;limhxhzxx zhFFF ;1xxFF可以

13、證明：可以證明：這是有限微分與傳統(tǒng)微分之間的關(guān)系：線性關(guān)系！這是有限微分與傳統(tǒng)微分之間的關(guān)系：線性關(guān)系！令令dx=hz，則有：，則有：即得：即得：進(jìn)一步：進(jìn)一步： 00;limlimhhzxhzxxhzxx zzhhzFFFFF ; x zxzFF 22;xhzxx zhO hxhzO h FFFF 2xhzxxdxO hFFF ddddddiiiiFxFxxxxgFFg ddxxxFF ddxxxFF進(jìn)一步推廣：矢量的矢量函數(shù)進(jìn)一步推廣：矢量的矢量函數(shù)( )F v0()( )( ; )limhhhF vuF vF v u( ;)( ; )F vuF v u有限微分運(yùn)算具有線性性與可和性。有限

14、微分運(yùn)算具有線性性與可和性。線性性：線性性：可和性：可和性：( ;)( ; )( ; )F vutF v uF v t( ; )( ;)( ;) ( )iiiiuuF v uF vgF v gF vu規(guī)定規(guī)定gi是是常矢量常矢量( ;)( ; )( ; )F v utF v uF v t矢量的矢量函數(shù)矢量的矢量函數(shù) 的有限微分的有限微分( )F v0()( )( ; )limhhhF vuF vF v u2()( )( ; )()hhO hF vuF vF v ud( ; )( )( ) dhhFF v uF vuF vvd( )dFF vv張量的張量的張張量函數(shù)的有限微分（協(xié)變微分意義下）量

15、函數(shù)的有限微分（協(xié)變微分意義下）0()( )( ;)limhhhT ACT AT A C( ;)( ;)( ;)( ):ijijijijCCT A CT Ag gT A g gT ACd( ):dTT AAd( )dTT AA張量函數(shù)張量函數(shù) ，其中，其中，注意：至此，都只是給出定義！注意：至此，都只是給出定義！( )T AijijAAg g ，ijijCCg g22()( )( ;)() ( ):()hhO hhO hT ACT AT A CT AC張量函數(shù)張量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈規(guī)則導(dǎo)數(shù)的鏈規(guī)則類似于經(jīng)典的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)類似于經(jīng)典的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)ddddddddddddddgggdxggxxgx經(jīng)典復(fù)

16、合函數(shù)經(jīng)典復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) ( ( )g xddddddd:d:d:ddddddHHFHHFHFTFFTTFT張量的張量復(fù)合函數(shù)張量的張量復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)（二階張量）的導(dǎo)數(shù)（二階張量） ( )HH F T矢量的函數(shù)之導(dǎo)數(shù)矢量的函數(shù)之導(dǎo)數(shù)矢量的矢量的矢量矢量標(biāo)標(biāo)量量張張量量函數(shù)之導(dǎo)數(shù)函數(shù)之導(dǎo)數(shù)先看矢量的標(biāo)量函數(shù)之導(dǎo)數(shù)。已有：先看矢量的標(biāo)量函數(shù)之導(dǎo)數(shù)。已有：出發(fā)點(diǎn)，仍為定義：出發(fā)點(diǎn)，仍為定義：于是，關(guān)鍵是計(jì)算于是，關(guān)鍵是計(jì)算 d( ; )( )dfffv uvu=uv( ; )( ;)( ;)kkkkffuu fv uvgv g( ;)kf v g 00000( ;)limlimlimlim

17、limkkhiiikihiiiikiihiiiiiikiikhhikkfhffhf vhf vhf vhf vhfvhf vf vhf vhhf vfvvvgvv gggggggggv于是有：于是有：比較（定義式和計(jì)算式）：比較（定義式和計(jì)算式）：u任意，故立即有：任意，故立即有： ( ;)kkffvvv g ( ; )( ;)( ;)kkkkkkkkffffuu fuvvvvv uvgv ggu d( ; )dkkfffvvv uuguv d( )dkkfffvvvgv矢量的函數(shù)之導(dǎo)數(shù)矢量的函數(shù)之導(dǎo)數(shù)推而廣之，矢量的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的計(jì)算式推而廣之，矢量的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的計(jì)算式d( ) dkkvFFF vgvd( ) dkkvTTT vgv矢量的矢量的矢量矢量標(biāo)標(biāo)量量張張量量函數(shù)之導(dǎo)數(shù)函數(shù)之導(dǎo)數(shù)d( )dkkfffvvgv張張量的函數(shù)之導(dǎo)數(shù)量的函數(shù)之導(dǎo)數(shù)張量的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的計(jì)算式張量的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的計(jì)算式d( ) dijijSFFF Sg gSd( ) dijijfffSSg