D復合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法PPT學習教案

1、會計學1D復合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法復合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法313.632(m )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 精確值是V, 近似值是|dV|.5 4 3(50.4) (40.4) (30.2)V dxyzVVxVyVz 用某種材料做一個開口長方體容器,其外形長5m,寬4m, 高3m,厚0.2m,求所需材料的近似值與精確值.yz xzx yxy z 4 3 ( 0.4)3 5 ( 0.4)5 4 ( 0.2) 314.8(m )解解: 設體積為V (m3), 長寬高各為x, y, z (m),.Vxyz5,4,3,0.4,0.4,0.2xyzxyz 第1頁/共49頁機動 目錄 上頁

2、 下頁 返回 結(jié)束 取值, .,.,.xyxydz ( )xzfy1( )xxxxzfffyy2( )yyyxxzfffyy ( )xffy1.求給定點和自變量增量的全微分時,先聲明這些否則應用記號2.表示z對 的導數(shù).xy就可以用dz等表示全微分.第2頁/共49頁 第八章 復合函數(shù)和隱函數(shù)微分法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一. 復合函數(shù)微分法二. 隱函數(shù)微分法第3頁/共49頁熟練掌握多元復合函數(shù)微分法多元復合函數(shù)微分法了解全微分形式不變性掌握多元隱函數(shù)微分法多元隱函數(shù)微分法重點重點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 難點難點第4頁/共49頁設 ( , ),( , )zfx yx y是

3、x,y的復合函數(shù). 則22sin()xyzexy這是函數(shù)和中間變量均是二元函數(shù)的一般情況,sinuzev它的結(jié)構(gòu)圖或變量關(guān)系圖是: 可看成是由( , ),( , ),( , )zf u vux yvx y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如如函數(shù)復合而成.uxzvy22,uxyvxy和注意注意: 畫出函數(shù)結(jié)構(gòu)圖對于多元復合函數(shù)求導很有幫助.因變量自變量第5頁/共49頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,uuvvxyxy如果函數(shù) ( , ),( , )ux yvx y且在對應于(x,y)的則復合函數(shù) ( , )zf u v在點(x,y)對x及y的偏導數(shù)存在, 函數(shù)定理定理8.3 的偏導數(shù)偏導

4、數(shù)都存在存在,點(u,v)處,可微可微,( ( , ),( , )zfx yx y且,zzuzvxuxv x .zzuzvyuyv y uxzvy多元復合函數(shù)求導法則也稱為鏈式法則鏈式法則.第6頁/共49頁特別地, 如果 ( , ),( ),( ),zf u vuxvxdzz duz dvdxu dxv dx這時, z對x 的導數(shù)稱為全導數(shù)全導數(shù), 即 ( , ),( ),zf x yyx ( ),( ).zfxx , ( )zf xx如果 的全導數(shù)為 則z就是x的一元函數(shù) dzzz dydxxy dx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則函數(shù)uzxvxzxy第7頁/共49頁求22,uxy v

5、xysin ,cosuuzzevevuv,2 ,2uuvvyxxyxyxyzzuzvxuxv x zzuzvyuyv y sinuzev機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:sin2cosuuxevyev而sin2cosuuyevxev2222 sin()2 cos()xyexxyyxyuxzvy,.zzxy2222 sin()2 cos()xyeyxyxxy第8頁/共49頁設223,42 ,uxyvxy1,lnvvzzv uuuuv 的偏導數(shù)。 6 ,2 ,4,2uuvvxyxyxy224216 (42 )(3)xyxxyxy16ln4vvzv uxuux 12ln2vvzv uyuuy

6、 2242(3)xyzxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .vzu解解:224212 (42 )(3)xyyxyxy求則可得2242224(3)ln(3)xyxyxy2242222(3)ln(3)xyxyxyuxzvy第9頁/共49頁sin ,cos ,ux vx3222,3zzuvu vuv求 cos ,sindudvxxdxdx 3222cos3sinuvxu vxdzz duz dvdxu dxv dx23,zu v機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:3222sincoscos3sincossinxxxxxx222sin cos(2cos3sin)xxxx而.dzdxuzxv第

7、10頁/共49頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 2ln ,32 ,xzuvuvxyy而解解:2 lnzuvu21,3,2uuxvvxyyyxy ,.zzxy212 ln3zzuzvuuvxuxv xyv 222 ln()( 2)zzuzvxuuvyuyv yyv 223222ln(32 )(32 )xxxyyyxy 2zuvv求uxzvy22223ln(32 )(32 )xxxyyyxy第11頁/共49頁dzz dxz dydtx dty dt221( 2)ttyeexx 22211( 2)ttttteeeee ().ttee 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2,1,ttyzxe

8、yex 而求.dzdt解解:xzty第12頁/共49頁,.xxxxyzzz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,zxyu設( , )ux y其中()()xxxxxxxxzzyuu 具有二階連續(xù)偏導xxzyu()()1xyxyxyxyzzyuu 數(shù)，求解解:xxzyyuxxyyzux注意注意: 認為抽象函數(shù)的偏導數(shù)的結(jié)構(gòu)同原函數(shù)的結(jié)構(gòu).第13頁/共49頁求( , ),vx yzffxxvx xvxffzfyvy ( , ),zf x v機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:而vyfxxzvy,.zzxy其中 都具有連續(xù)的偏導數(shù),這里,zx表示復合后 ,( , )zf xx y對x的偏導數(shù);f

9、x表示復合前( , )zf x v(v為“常數(shù)”) , f對x的偏導數(shù).第14頁/共49頁22222( , )( , )( , ),uuuvvvf u vf u vf u vfffuu vv 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意：注意：( , )( , ),uvf u vf u vffuv各階偏導數(shù)時, 在求多元函數(shù)的偏導數(shù)，特別是抽象函數(shù)的經(jīng)常利用下面簡便的記法：復合函數(shù)求導的鏈式法則“分段相乘, 分叉相加, 單路全導, 叉路偏導”uzxvxxvxzffvyvyzfv( , ),( , )zf x v vx yxxzvydzz duz dvdxu dxv dx( , )zf u v( )

10、,( )uu x vv x“理清結(jié)構(gòu), 找齊鏈路”第15頁/共49頁設機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2(),2yzxyx 為可微的函數(shù),22302zzxxyyxy證證:22( ),2zyyuxx 因所以222223130222zzxxyyyyyxy ( ),zyxuyx求證：設uxy第16頁/共49頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.zx y 其中f 具有二階連續(xù)偏( , , ),yzf u x yuxe解解: yuxuxzuffe ffxx,uxff注意到 仍是u, x, y的函數(shù)，yuxe2()yuxze ffx yy 所以 2yyyyuuuuyxuxye fxefe fxe

11、ff設導數(shù), 求且uxzxyy,uxff()yyuuuuyxuxyuue feffffyy第17頁/共49頁求22223()()vvvvvvxxxxxffffyyyyy ,( , )xvzyf x vy2()vvvzfvxxfyfyffyfffyyyyy22()()vvzxfxfffyyyyy y2vvvvvxxvfffyyyy( ,),xzyf xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:設xxfvy222,.zzx yy 其中f 具有二階連續(xù)偏導數(shù),令vxxfvy第18頁/共49頁111()xvvvxvvxfffffyyyy,vzxffyy22()()vzzzxffx yy xxyxy

12、1()xvvvxvvvxvfffffxyyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2xvxvvxxfffyyxxfvyvxxfvy2223vvzxfyy,xvy第19頁/共49頁( , , ),yzf u x yuxe其中f 具有二階連續(xù)偏導數(shù),解解:,yuxzfefx2222,.zzxy22()()yuuuxxuxxzuuffeffxxx,uxyfff22()yyuuuyuyuyyzuuffxef xeffyyy22yyuuuxxxefe ff222yyyuuuuyyyxe fx efxe ff()yyyyuuuyuyuyyf xefxef xef xef機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作

13、業(yè)作業(yè) P364 13(3)(4); 14(2); 15(2)求uzxxyy()xuuxffyuyzfxefy()yuuyff第20頁/共49頁(1) ,yzxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5(3)ln(1)yxyyzey21(1) (1)yyxzxyyxyx(1) ln(1)1yxyxyxyxy求解解:ln(1)ln(1)1yxyxexyyxy211111(1)1yxxxyyzyxy1111(1) ln(1)12ln21yxyyxyxyzxyxyxy 1111,.xxxyyyzz第21頁/共49頁當u, v是x, y的可微函數(shù) ( , ),( , )ux yvx y( ( , ),

14、( , )zf u x yv x y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的全微分為 zzdzdudvuv( , )zf u v當u, v為自變量時, 其全微分 復合函數(shù) 由全微分定義和復合函數(shù)微分法可求得, 所以設可微,時,zzdzdxdyxy,zzuzvzzuzvxuxvxyuyvy而()()zuzvzuzvdxdzdyuxvxuyvy()()zuuzvvdxdydxdyuxyvxyzzdudvuv第22頁/共49頁zzdzdudvuv對于函數(shù) ( , ),zf u v機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 還是自變量, 致性, 稱為全微分形式不變性全微分形式不變性. 無論u, v是中間變量這一

15、形式上的一其全微分形式一樣.利用全微分形式不變性可以通過求微分過程的細化先求出函數(shù)的全微分, 后求出函數(shù)的偏導數(shù).第23頁/共49頁22(),xyzxye利用全微分形式不變性, 解解:,.zzxy222222()()()xyxyxydzd xyee d xyxyde機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2222()()()xyxyedxdyxye d xy22(22)()()xyxyexdxydyxyeydxxdy23(2)xyzexx yyx32( 2)xyzeyxxyy2332(2)( 2)xyxyexx yy dxeyxxydy由此可得求第24頁/共49頁22,ln,arctan,vyzu

16、 uxyvx解解:.dz122lnlnarctanvvyvudxyuudx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12222211ln( )1 ( )vvyvudxyuudyxxyx21222222211ln()vvxdxydyxyvuuudxdyxyxxxyxy1lnvvdzvuduuudv1122(ln )(ln )vuu vxyu dxu vyxu dyxy122()ln ()vuu v xdxydyuydxxdyxy求第25頁/共49頁1) 在什么條件下才能確定隱函數(shù) y = f (x) .( , )0F x y 2) 在能確定隱函數(shù)時, 函數(shù)y = f (x)的連續(xù)性、可微性及求導方法如

17、何 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 用多元復合函數(shù)微分法研究方程 例如, 方程02Cyx當 C 0 時, 不能確定隱函數(shù);第26頁/共49頁隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程( , )0F x y 單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連ddxyFyxF (隱函數(shù)求導公式)(證明略) 具有連續(xù)的偏導數(shù);在點x0的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點的某一鄰域內(nèi)00(,)0yFxy滿足條件機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 續(xù)導數(shù)滿足第27頁/共49頁0)(,(xfxF兩邊對 x 求導數(shù)0ddxyyFxFddxyFy

18、xF 0yF ,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設yxFxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求導公式推導如下：xxFy第28頁/共49頁0yyxex確定的函數(shù)( )yf x( , ),yF x yyxex解解:1,1yyFFexexy 1111yyyydyeedxxexe 則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的導數(shù).利用隱函數(shù)求導公式也可利用隱函數(shù)求導法直接用復合函數(shù)求導法方程兩邊對x求導得10,yydydyexedxdx 11yydyedxxe 設兩種方法不同, 前者F對x求偏導數(shù)時y是“常數(shù)”, 后者對x求導時y是x的復合函數(shù).注意注意:ddxyFyxF

19、 第29頁/共49頁若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxF,yxzzFFzzxFyF 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù) ,則方程( , , )0F x y z 在點),(00yx并有連續(xù)偏導數(shù), ),(000yxfz 定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , (證明略)滿足0),(000zyxF000(,)0zF xy z 在點滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第30頁/共49頁0),(,(yxfyxF兩邊對 x 求偏導數(shù)xFxzFzxF yzFzyF 同樣可得( , )zf x y則zFxz0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求導公式推導如下:xx

20、Fyyz000(,)0zxyzF在的某鄰域內(nèi)設( , , )0F x y z 是方程所確定的隱函數(shù),第31頁/共49頁2222221xyzabc解解:( , )zf x y222222,FxFyFzxaybzc222222( , , )1,xyzF x y zabc2222222222,22xyzc xzc yabzzxa zyb zcc 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的偏導數(shù). 所確定的函數(shù)設則由可得注意注意: 雖然此例中方程確定兩個不同的函數(shù) 22221,xyzcab 但在其可導區(qū)域內(nèi), 導數(shù)相同.利用隱函數(shù)求導公式,yxzzFFzzxFyF 第32頁/共49頁,04222zzyx解

21、法解法1 利用隱函數(shù)求導法直接用復合函數(shù)求導法0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 再對 x 求導第33頁/共49頁設zzyxzyxF4),(222則2 ,xFx xzFzxF 兩邊對 x 求偏導數(shù))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx224zFz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第34頁/共49頁zxFFxz xz設F(x, y)具有連續(xù)偏導數(shù), 0),(zyzxF.dz求解解:是由方程設),(yxfz 0),(zyzxF

22、 yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數(shù),)dd(2121yFxFFyFxz則)()(2221zyzxFF 已知方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故解法解法1 利用隱函數(shù)求導公式.12xxFzyy第35頁/共49頁對方程兩邊求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 利用微分形式不變性.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第36頁/共49頁機動 目

23、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2sin0,xyexy求.dydx1.解解:設2( , )sin,xF x yyexy2,cos2xxyFeyFyxy2cos2xxyFdyyedxFyxy (一) 利用隱函數(shù)求導公式(二) 利用復合函數(shù)求導法22cos20,cos2xxyeyyeyxyyyyxy(三) 利用微分形式不變性2cos20,xydye dxy dxxydy2cos2xdyyedxyxy第37頁/共49頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.,zexyz求,.zzxy解解:設( , , ),zF x y zexyz,zxyzFyzFxzFexy ,xxyzzzFyzxzzzFexyexy

24、 (一) 利用隱函數(shù)求導公式(二) 利用復合函數(shù)求導法()() ,zxxexyz,zxxe zyzxyzxzyzzexy ()() ,zyyexyz,zyye zxzxyzyzxzzexy 第38頁/共49頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.,zexyz求,.zzxy解解:,ze dzyzdxxzdyxydz()zexy dzyzdxxzdyzzyzxzdzdxdyexyexy(三) 利用微分形式不變性xzyzzexy yzxzzexy 第39頁/共49頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.( , , )uf x y z有連續(xù)偏導數(shù), 且xyzxeyeze解解:(1)(1)(1),x

25、yzxe dxye dyze dz(1)(1),(1)xyzxe dxye dydzzefffdudxdydzxyz設函數(shù)( , )zz x y由方程所確定, 求du.(1)(1),(1)xyzfffxe dxye dydxdyxyzze(1)(1).(1)(1)xyzzffxeffyedxdyxz zeyzze用微分形式不變性第40頁/共49頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 復合函數(shù)求導的鏈式法則“分段相乘, 分叉相加, 單路全導, 叉路偏導”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不變性, ),(vufz 對不論 u , v

26、是自變量還是因變量,vvufuvufzvud),(d),(duvyxyx“理清結(jié)構(gòu), 找齊鏈路”第41頁/共49頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P365 16(1)(2)(5)(6); 17(1); 18(1) 3. 隱函數(shù)微分法隱函數(shù)求導方法方法1. 利用復合函數(shù)求導法直接直接計算 ;方法2. 利用微分微分形式不變性 ;方法3. 代隱函數(shù)求導公式公式隱函數(shù)存在定理第42頁/共49頁隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏導數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(稱為F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例 ,