恒成立與存在性問題的解題策略

1、恒成立問題”與“存在性問題”的基本解題策略一、恒成立問題”與存在性問題”的基本類型恒成立、能成立、恰成立問題的基本類型1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：a>f(x)恒成立=aaf(xmax；a<f(x)恒成立二aWf(x溫2、能成立問題的轉(zhuǎn)化：a>f(x)能成立=aaf(x溫；a<f(x瘴成立=a<f(xax3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化:a>f(x廬M上恰成立仁a>f(x)的解集為Ma>f(x盧M上恒成立a<f(x河CrM上恒成立另一轉(zhuǎn)化方法：若xwD,f(x)之A在D上恰成立，等價于f(x)在D上的最小值fmin(x)=A，若xD,f(x)<B在D上恰

2、成立，則等價于f(x)在D上的最大值fmax(x)=B.4、設(shè)函數(shù)f(x卜g(x),對任意的xiWb,b】，存在x2WC,d，使得f(x1心g(x2),則fmin(x)>gmin(x)5、設(shè)函數(shù)f(x卜g(x),對任意的x1Wb,b,存在x2WC,d，使得f(x1)<g(x2),則fmax(x)<gmax(x)6、設(shè)函數(shù)f(x卜g(x),存在XiWa,b,存在x2Wb,d】，使得f(Xi)>g(x2),則fmax(x巨gmin(x)7、設(shè)函數(shù)f(x1g(x),存在XiWa,b,存在X2Wb,d】，使得f(x1)<g(X2),則fmin(xHgmax(x)8、設(shè)函數(shù)

3、f(x)、g(x),對任意的Xiwb,b,存在X2wb,d,使得f(x1尸g(x2),設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上的值域為A,g(x)在區(qū)間c,d上的值域為B,則AuB.9、若不等式f(x)>g(x市區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)y=f(x)和圖象在函數(shù)y=g(x)圖象上方；10、若不等式f(x)<g(x)在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)y=f(x)和圖象在函數(shù)y=g(x)圖象下方；恒成立問題的基本類型在數(shù)學(xué)問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題.函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問題，其表現(xiàn)形式通常有：在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立；某函數(shù)的定義域為全體實數(shù)R;某不等式

4、的解為一切實數(shù)；某表達式的值恒大于a等等恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個熱點。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；直接根據(jù)函數(shù)的圖二、恒成立問題解決的基本策略大家知道，恒成立問題分等式中的恒成立問題和不等式中的恒成立問題。等式中的恒成立問題，特別是多項式恒成立問題，常簡化為對應(yīng)次數(shù)的系數(shù)相等從而建立一個方程組來解決問題的。(一)兩個基本思想解決恒成

5、立問題”思路1、m之f(x)在xwD上恒成立um之f(x)max思路2、mWf(x)在x乞D上恒成立umWf(x)min如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題，我們可以通過習(xí)題的實際，采取合理有效的方法進行求解,通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f(x)的最值。這類問題在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)涉及的知識比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來高考中頻頻出現(xiàn)的試題類型，希望同學(xué)們在日常學(xué)習(xí)中注意積累。(二)、賦值型一一利用特殊值求解等式恒成立問題等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對解決填空題、選擇題能很快求

6、得例1.如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=對稱，那么a=()A.1B.-1C.、,2D.-.2.略解：取x=0及x=三，則f(0)=f(三)，即a=-1,故選B.此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.例(備用).由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4定義映射f：(a1,a2,a3,a4)一b+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1)一()A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0,貝Ua4=1+b+b2+b3+b4,又a4=1，所以b1+b2+b3+b4=0,故選D(三)分清基本類型

7、，運用相關(guān)基本知識，把握基本的解題策略1、一次函數(shù)型：若原題可化為一次函數(shù)型，則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識求解，十分簡捷給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(ay=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)>0,則根據(jù)函數(shù)的圖象(直線)可得上述結(jié)論等價于f(m)>0If(n)>0f(m)<0同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)<0,則有YLf(n)<0例2.對于雙地|a|<2的皿實數(shù)a,求使不等x+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不停式中阿T兩個字母：x及a,關(guān)鍵將a視作自變量,在于該把生看成是一個變量，另一個作為常數(shù).顯然可則出述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2

8、,2內(nèi)關(guān)于a的次函數(shù)大于0恒成立的問題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x1)a+xx2x+1>0在冏區(qū)飛設(shè)f(a：=(xm1)時恒成立，omnn2一,，一，一一,a+x-2x+1，則f(a)在-2,2上恒氏于0,故有:kAjf(2)>02x2x-4x30-10解得:x>蜒x<1x>1m£x<-1x<-1或x>3.即xC(8,1)u(3,+0°)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方(或下方)即可.2、二次函數(shù)型涉及到二次函數(shù)的問題是復(fù)習(xí)的重點，同學(xué)們要加強學(xué)習(xí)、歸納、總結(jié)，提煉出一些

9、具體的方法，在今后的解題中自覺運用。(1)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw向于0恒成立，則有2>0且A<0(2)若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，可以利用韋達定理以及根的分布知識求解。類型1：設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a00)在R上恒成立,(1) f(x)>0在xwr上恒成立仁a>0且A<0;(2) f(x)xeR上恒成立ua<0且也<0。類型2：設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a=0)在區(qū)間%B上恒成立rrrb<_b_<Bb(1)當(dāng)a>0時，f(x)A0在*W二邛上恒成立w，2a<"或一一2a一或廠2a&g

10、t;f(：)0"；0f)0f(x)<0在xwot,P上恒成立仁f(:)<0f()：0當(dāng)a<0時，f(x)>0在xw。，B上恒成立0_b_f(x)<0在xwct,P上恒成立仁22ag或f(:)0,f(J02a或42af(：)0.：0f(-)<0類型3：設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a#0)在區(qū)間(-8,聞上恒成立。f(x)>0=a>0且A<0或-b/2a>oMf(c()>0f(x)<0ya<0且A<0或-b/2a>aMf(c()<0類型4：設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a#0)在區(qū)間o(,+

11、8比恒成立。f(x)>0ya>0,A<0或-b/2a<aS.f(a)>0f(x)<0=a<0,.<0或-b/2a<:且f(闋<0例3.若函數(shù)f(x)=；(a21)x2+(a1)x+2一的定義域為r,求實數(shù)a的取值范圍.a1222.分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開萬數(shù)(a-1)x+(a-1)x+之0在R上恒成立問題，并且注意對二次項系數(shù)a1的討論.解：依題意，當(dāng)xWR時，222(a-1)x+(a1)x+之0恒成立，a1a2-1=0一所以，當(dāng)a2-1=0，即當(dāng)'時，a=1,a1:0,此時222(a7)x(aT)x=1_0,.a=1.a1當(dāng)a

12、2-10,a2-1#0時，即當(dāng)222時,'."-:=(a-1)2-4(a2-1)0a1有aa21一9n1caM9,綜上所述，f(x)的定義域為R時，a=1,92-10a9M0,例4.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3a,在R上f(x)之0恒成立，求a的取值范圍分析：y=f(x)的函數(shù)圖像都在X軸及其上方，如右圖所示:略解：A=a2-4(3-a)=a2+4a-12<0,'.-6<a<2第3頁變式1：若xw_2,2時,f(x)20恒成立，求a的取值范圍.解析一.(零點分布策略)本題可以考慮f(x)的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零點在區(qū)間的左側(cè)、零點

13、在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即>0-a<-2請2或f(-2)占0f(2)之00二2一2一，即a的取值范圍為卜7,2.f(-2)_0f(2),0解法二分析：(運用二次函數(shù)極值點的分布分類討論)要使xw12,2時，f(x)之0恒成立，只需f(x)的最小值g(a)>0即可.略解：(分類討論)/*.aaf(x)=Ix+一12；2_亙_a十3,令f(x)在一2,2上的最小值為g(a).4當(dāng)a<2,即2j.a不存在.下4時，g(a)=f(-2)=7-3a>0a<|又'：a>4r.a即YEaW4時，g(a)=f(22a尸a+30,-6<a<2又4WaW

14、44-4<a<2a當(dāng)一一>2,即a<-4時，g(a)=f(2)=7+a至02綜上所述，-7£aE2.二a之一7又:a<-4,一7<a<-4變式2：若xw-2,2時，f(x)之2恒成立，求a的取值范圍.解法一：分析：題目中要證明f(x)>2在-2,2上恒成立，若把2移到等號的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間1-2,2】時恒大于等于0的問題.例2已知f(x)=x2+ax+3a,若x引-2,2,f(x)之0恒成立，求a的取值范圍.略解：f(x)=x2+ax+3a220,即f(x)=x2+ax+1-a>0在1-2,2】上成立.=a2

15、-41-a-0-2-2,2-a-22.2,2一=a-4(1-a)>0f(2)之0<f(-2)之0a5a2或-2綜上所述，-5Ma£2、.2-2.解法二：(運用二次函數(shù)極值點的分布)入“a5-當(dāng)一一<_2,即2>4時，g(a)=f(2)=73a22,aW氣4,f二a不存在.232aaa當(dāng)/w_a42,即KaM4時，g(a)=f(a)=_3a+322,224a當(dāng)一一二2,即a時，g(a)=f(2)=7+a之2,2綜上所述-5<a<2,2-2.此題屬于含參數(shù)二次函數(shù)，求最值時，對于軸變區(qū)間定的情形，對軸與區(qū)間的位置進行分類討論；還有與其相反的，軸動區(qū)間定

16、，方法一樣.對于二次函數(shù)在R上恒成立問題往往采用判別式法(如例4、例5),而對于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題3、變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。運用不等式的相關(guān)知識不難推出如下結(jié)論：若對于x取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù)都有f(x)>g(a)恒成立，則g(a)<f(x)min；若對于x取值范圍內(nèi)的任何一個數(shù)，都有f(x)<g(a)恒成立，則g(a)>f(x)max.(其中f(x)max和

17、f(x)min分別為f(x)的最大值和最小例5.已知三個不等式x24x十3<0,x26x十8<0,2x29x+m<0.要使同時滿足的所有x的值滿足，求m的取值范圍.略解：由得2<x<3,要使同時滿足的所有x的值滿足，即不等式2x29x+m<0在xw(2,3)上恒成立，即m<2x2十9x在xe(2,3)上恒成立，又2x2+9x在xw(2,3)上大于9,所以m<9例6.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在1,1上單調(diào)遞增，又f(1)=1,若f(x)Wt22at+1對所有的aw-1,1都成立，求t的取值范圍.解：據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，f(1)=1,又f(x)在1

18、,1上單調(diào)遞增f(x)max=f(1)=1:f(x)<t2-2at+1對所有的aw1,1者B成立.因此，只需t2-2at+1大于或等于f(x)在-1,1上的最大值1,又*，對所有a-1,1都成立,即關(guān)于a的一次函數(shù)在卜1,1上大于或等于0恒成立，即：t(-二,-202,二)利用變量分離解決恒成立問題，主要是要把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題補例.已知f(x)=x|x-a|+b,xeR.若b<0,且對任何xw0,1不等式f(x)<0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：當(dāng)x=0時，a取任意實數(shù)，不等式f(x)<0恒成立，故只需考慮x0,11,此時原不等式變?yōu)閨x-a|：二二bxbb即x

19、a：x-xx故b)max二a:(x-b)min,x0,1xxbb又函數(shù)g(x)=x+在(0,1】上單調(diào)遞增，所以(x+)max=g(1)=1十b；xx對于函數(shù)h(x)=x-b,x0,11xb當(dāng)b<-1時，在(0,1】上h(x)單倜遞減，(xb)min=h(1)=1b,又1bA1+b,x所以，此時a的取值范圍是(1+b,1b).當(dāng)1Wbc0,在(0,1】上，h(x)=x222口，x當(dāng)*=匚3時，(xb)min=24,此時要使a存在，x必須有1+b<2-b即一1Mb<26"一3,此時a的取值范圍是(1+b,2；b)-1<b<0綜上，當(dāng)b<1時，a的取值

20、范圍是(1+b,1b);當(dāng)一1Wb<2j23時，a的取值范圍是(1+b,2/F);當(dāng)2j23Eb<0時，a的取值范圍是0.4、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù)，則對一切定義域中的x,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立;若函數(shù)y=f(x)的周期為T,則對一切定義域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。5、直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例7.對任意實數(shù)x,不等式x+1-x-2aa恒成立，求實數(shù)a的取值范圍

21、.分析：設(shè)y=|x+1|-|x-2|,對任意實數(shù)x,不等式x+1-x-2aa恒成立即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=|x+1|-|x-2|的最小值，畫出此函數(shù)的圖象即可求得a的取值范圍.解：令y=x+1x2=12x1x<-1-1:二X:二2x.二2在直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示，由圖象可看出，對任意實數(shù)x,不等式x+1-x-2>a恒成立，只需ac-3.故實數(shù)a的取值范圍是(注：本題中若將對任意實數(shù)x,不等式x十1x2a恒成立,對任意實數(shù)x,不等式x+1-x-2<a恒成立，求實數(shù)a,同樣由圖象可得a>3;對任意實數(shù)x,不等式x+1+|x-2>a恒成立，求實數(shù)a,構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象，

22、得a<3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍例8.設(shè)常數(shù)aCR,函數(shù)f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像有公共點，則a的取值范圍為。解：1)a<=0x<=a/2<=0時，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2<=x<=0時，f(x)=-3x+(2x-a)=-x-ax>=0時，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a,最小值為-a<=2則與g(x)有交點，即：-2<=a&

23、lt;=0。2)a>0x<=0時，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0<=x<=a/2時，f(x)=3x+(-2x+a)=x+ax>=a/2時，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a<=2時與g(x)有交點，即：0<a<=2綜上所述，-2<=a<=2時f(x)=3|x|+|2x-a|與g(x)=2-x有交點。三、在恒成立問題中，主要是求參數(shù)的取值范圍問題，是一種熱點題型，介紹一些基本的解題策略，在學(xué)習(xí)中學(xué)會把問題分類、歸類，熟練基本方法。(一)換元引參，顯露問題實質(zhì)1、對于所有實數(shù)x,不等式恒成立，求a的取值范圍。解

24、：因為的值隨著參數(shù)a的變化而變化，若設(shè)，則上述問題實質(zhì)是當(dāng)t為何值時，不等式恒成立這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題，它等價于求解關(guān)于t的不等式組：。解得，即有，易得2、設(shè)點P(x,y)是圓x2十(y-1)2=4上任意一點，若不等式x+y+c0恒成立，求實數(shù)c的取值范圍。(二)分離參數(shù)，化歸為求值域問題3、若對于任意角總有成立，求m的范圍。解：此式是可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式等價變形為恒成立。cos21根據(jù)邊界原理知，必須小于f(e)=的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值。cos?2因為f(-)=cos21cos12即時，有最小值為0,故(三)變更主元，簡化解題過程4、若對于，方

25、程都有實根，求實根的范圍。解：此題一般思路是先求出方程含參數(shù)m的根，再由m的范圍來確定根x的范圍，但這樣會遇到很多麻煩,若以m為主元，則由原方程知，得解之得或2.,一、,一一一5、當(dāng)aE1時，若不等式x十(a6)x+93a>0恒成立，求x的取值范圍。(四)圖象解題，形象直觀6、設(shè)xW(0,4,若不等式Jx(4x)>ax恒成立，求a的取值范圍。解：若設(shè)yi=Jx(4-x),則為上半圓。設(shè)，為過原點，a為斜率的直線。在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象依題意，半圓恒在直線上方時，只有時成立，即a的取值范圍為O7、當(dāng)xW(1,2)時，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。解：

26、設(shè)y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所小的拋物線要使對一切xW(1,2),y1<y2恒成立，顯然a>1,并且必須也只需當(dāng)x=2時y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga2>1,1<a:2.8、已知關(guān)于x的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求實數(shù)a的取值范圍。分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4),從而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)y=x2+4x及一次函數(shù)y=2x-6a-4,則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。解：令y=x2+4x=(x+2

27、)2-4,y2=2x-6a-4,yi的圖象為一個定拋物線y2的圖象是k=2,而截距不定的直線，要使yi和y2在x軸上方有唯一交點，則直線必須位于11和12之間。(包括11但不包括12)當(dāng)直線為li時，直線過點(-4,0),此時縱截距為-8-6a-4=0,a=_2；2 2當(dāng)直線為12時，直線過點(0,0),縱截距為-6a-4=0,a=a的范圍為2,)3 3(五)合理聯(lián)想，運用平幾性質(zhì)9、不論k為何實數(shù)，直線與曲線恒有交點，求a的范圍。分析：因為題設(shè)中有兩個參數(shù)，用解析幾何中有交點的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來解題是比較困難的。若考慮到直線過定點A(0,1),而曲線為圓，圓心C(a,0),要使直線

28、恒與圓有交點，那么定點A(0,1)必在圓上或圓內(nèi)。解：，C(a,0),當(dāng)時，聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系，則有點A(0,1)必在圓上或圓內(nèi)，即點A(0,1)到圓心距離不大于半徑，則有(六)分類討論，避免重復(fù)遺漏10、當(dāng)時，不等式恒成立，求x的范圍。解：使用的條件，必須將m分離出來，此時應(yīng)對進行討論。當(dāng)時，要使不等式恒成立，只要，解得當(dāng)時，要使不等式恒成立，只要當(dāng)時，要使恒成立，只有。綜上得解法2:可設(shè)將m視為主變元，即將元不等式化為:,用一次函數(shù)知識來解較為簡單。我們可以用改變主元的辦法,22m(x-1)-(2x-1)<0,；令f(m)=m(x-1)一(2x-1),則2EmE2時，f(m)&

29、lt;0恒成立，所以只需廣一._22f(-2)<0即廠2(x-1)-(2x-1)<0J(2)<02(x2-1)-(2x-1)<0x的范圍是-171.3x=(,)。此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩22端點均在x軸上方(或下方)即可211、當(dāng)1<x<3時，不等式x2ax+6>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。解：ax32x當(dāng)1<x<3時，x3->2J-=6,當(dāng)個=0,即x=J6時等號成立。2x22x故實數(shù)a的取值范圍：a<<6(七)構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想12、(1990年全國高考題)設(shè)，

30、其中a為實數(shù)，n為任意給定的自然數(shù)，且，如果時有意義，求a的取值范圍。解：本題即為對于，有恒成立。這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來，得恒成立。構(gòu)造函數(shù),則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域。由于函數(shù)上是單調(diào)增函數(shù),則在上為單調(diào)增函數(shù)。于是有的最大值為：從而可得(A)利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來求解，即:Im,nEf(a),g(afl,則f(a產(chǎn)m且g(a廬n,不等式的解即為實數(shù)a的取值范圍。例13、當(dāng)xwT,3仙寸3,logax<1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。解：1-1：l

31、ogax<1,1(1)當(dāng)a>1時，一a<x<a,則問題轉(zhuǎn)化為T,3kl工，a!3aa-311a>31a3(2)當(dāng)0<a<1時,11L11a<x(一，則問題轉(zhuǎn)化為.一,3三a,一a131a.,1a-310：a_1綜上所得：0MaW一或a233四、其它類型恒成立問題能成立問題有時是以不等式有解的形式出現(xiàn)的。第10頁2a1、已知函數(shù)f(x)=x-2ax+1,g(x)=,其中a>0,x#0.x對任意xiW1,2,x2W2,4,都有f(xi)>g(x2)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；【分析：】思路、對在不同區(qū)間內(nèi)的兩個函數(shù)f(x)和g(x)分別求

32、最值，即只需滿足fmin(x)>gmaXx)即可.簡解：令n(a)=gmax(x)=a/2；令m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,故(1)對稱軸x=a<1,即或0<a<1時，m(a)=fmin(x)=f(1)=2-2a,由m(a)>n(a)解得a<4/5,(注意到a的范圍)從而得a的范圍：0<a<4/5;(2)對稱軸x=a>2時，m(a)=fmin(x)=f(2)=5-4a,由m(a)>n(a)解得a<10/9,(注意到a的范圍)從而得a無解：；117.-1-17.(3)對稱軸x=aC1,2時，m(a)=

33、fmin(x)=f(a)=2-2a,由m(a)>n(a)解得a>或2<,(汪息44到a的范圍)從而得a的范圍1<aW2：;綜合(1)(2)(3)知實數(shù)a的取值范圍是：(0,4/5)U1,2:'-.x2、已知兩函數(shù)f(x)=x2,g(x)=l-i-m,對任意Xiw0,2，存在x?=1,2，使得f(x)>g(x2),則實0數(shù)m的取值范圍為解析：對任意X1w卜2】，存在X2w1,2，使得f(xjgd)等價于g(x)=口；-m在1,2上的最小值-m241 _1不大于f(x)=x在0,2】上的最小值0,既mW0,，m至一4 4題型二、主參換位法(已知某個參數(shù)的范圍，

34、整理成關(guān)于這個參數(shù)的函數(shù))題型三、分離參數(shù)法(欲求某個參數(shù)的范圍，就把這個參數(shù)分離出來)題型四、數(shù)形結(jié)合(恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系(零點、根的分布法)五、不等式能成立問題(有解、存在性)的處理方法若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)>A成立，則等價于在區(qū)間D上f(x)maxAA;若在區(qū)間D上存在實數(shù)X使不等式f(x)<B成立，則等價于在區(qū)間D上的f(x1in<B.1、存在實數(shù)X,使得不等式|x+31x1Ma23a有解，則實數(shù)a的取值范圍為。解：設(shè)f(x尸x+35x1,由f(x爐a23a有解，=a2-3a至f(x后，又x+3+x1>(x+3Nx-1。=4，.二a23a&

35、gt;4,解得a之4或a<-1o1、求使關(guān)于p的不等式x2十px十1<p+2x在pe-2,2有解的x的取值范圍。解：即關(guān)于p的不等式(x1)p+x22x+1<0有解，設(shè)f(p)=(x1)p+x22x+1,則f(p)在-2,2上的最小值小于0。(1)當(dāng)x>1時，f(p)關(guān)于p單調(diào)增加,故fmin(p)=f(-2)=x2-4x+3<0,解得1<x<3;(2)當(dāng)x<1時，f(p)關(guān)于p單調(diào)減少，故fmin(p)=f(2)=x2-1<0,解得-1<x<1；當(dāng)X=1時，f(p)=0,故fmin(p)=f(p)<0不成立。綜合(1)(

36、2)(3)知實數(shù)x的取值范圍是：(-1,1)U(1,3)例、設(shè)命題P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的二個根，不等式|m2-5m-3|>桃2|對任意實數(shù)aC卜1,1恒成立；命題Q:不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解；若命題P和命題Q都是真命題，求m的值范圍。解：(1)由P真得：區(qū)X2|=v'a2+8,注意到a在區(qū)間-1,1,|x1X2|max=3,由于|m2-5m-3|A|-x2|對任意實數(shù)aC-1,1恒成立，故有|m2-5m-3|>|X1-X2|max=3解得：me-1或俏6或0WmC5由Q真,不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)

37、有解,得(|x-2m|-|x|)max=2m>1,解得:m>1/2由于(1)(2)都是相公命題，故m的值范圍：1/2<mW5或6.舉例1(1)已知不等式4x-a-2x+2>0對于xW-1,y)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.第11頁(2)若不等式4x-a2x+2>0對于a它(_g,3恒成立，求實數(shù)x的取值范圍分析：(1)由4xa2x+2>0得：a<2x+馬對于xw_1,=)恒成立，因2x之1，所以2x+馬之2J2,2x22x當(dāng)2x=版時等號成立.所以有a<242.xx(2)汪思到4-a2+2>0對于aw(-8,3恒成立是關(guān)于a的一次不等式.不妨

38、設(shè)f(a)=2xa+(4x+2),則f(a)在aw(笛,3上單調(diào)遞減，則問題等價于f(3)>0,所以4x32x+2>0=2x>2或2x<1,則x取值范圍為(3,0)U(1,五c).小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別：恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細心思考，甄別差異，恰當(dāng)使用，等價轉(zhuǎn)化，切不可混為一體。不等式f(xKM對xWI時恒成立ufmax(x)<M?,xI。即f(x)的上界小于或等于M；不等式f(xJ<M對x1時有解yfmin(x)<M?,x?；騠(x)的下界小于或等于M;不等式f(x)>M對xWI時恒成立ufmin(x)>M?,xW

39、I。即f(x)的下界大于或等于M;不等式f(x>M對xWI時有解yfmax(x)>M,xWI.?；騠(x)的上界大于或等于M；高中數(shù)學(xué)難點強化班第四講(140709)課后練習(xí)答案：一.填空選擇題(每小題6分，共60分)1、對任意的實數(shù)x,若不等式x+1-x-2Aa恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍。答案：|x+-|x-2|之-|(x+1)-(x-2)|=-3,故實數(shù)a的取值范圍：a<-32、不等式sin2x-4sinx蟲a<0有解，則a的取值范圍是解：原不等式有解=a>sin2x-4sinx+1=(sinx2j-3<sinx<1質(zhì)解，而(sinx-2J-31

40、=-2,所以a>-2o3.若對任意xWR,不等式|x|2ax恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()(A)a<-1(B)|a|<1(C)|a|<1(D)a>1解析：對VxwR,不等式|x|之a(chǎn)x恒成立則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知1WaW1,即|a|W1。答案：選B4.當(dāng)xW(1,2)時，不等式2x+mx+4<0恒成立，則m的取值范圍是2解析：當(dāng)x51,2)時，由x2+mx+4<0得m<一x44.令f(x)=x+,則易知f(x)在(1,2)上是x4)minA-5mW-5.xxx減函數(shù)，所以x/1,2時f(x)max=f(1)=5,則(5.已知不等式ax23x+

41、(a+1)>x2xa+1對任意aW(0,+°0)都成立，那么實數(shù)x的取值范圍第12頁為.分析：已知參數(shù)a的范圍,要求自變量x的范圍，轉(zhuǎn)換主參元x和a的位置，構(gòu)造以a為自變量x作為參數(shù)的一次函數(shù)g(a),轉(zhuǎn)換成vaw(0,+s),g(a)>0恒成立再求解。解析：由題設(shè)知“ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+1對Vaw(0,+妙)都成立，即a(x2+2)-x2-2x>0對22Vaw(0,十8)都成立。設(shè)g(a)=(x+2)a-x-2x(awR),則g(a)是一個以a為自變量的一次函數(shù)。；x2+210恒成立，則對VxwR,g(a)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)。所以對Va

42、w(0,+g),g(a)>0恒成立的充分必要條件是g(0)之0,-x2-2x>0,a2WxE0,于是x的取值范圍是x|-2Mx<0。6.已知函數(shù)f(x)=2mW-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若對于任一實數(shù)x,f(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(0,2)B,(0,8)C.(2,8)D.(巴0)分析：f(x)與g(x)的函數(shù)類型，直接受參數(shù)m的影響，所以首先要對參數(shù)進行分類討論，然后轉(zhuǎn)換成不等式的恒成立的問題利用函數(shù)性質(zhì)及圖像解題。1斛析：當(dāng)m=0時，f(x)=-8x+1>0在(-«,一)上恒成立，而g(x)=08在R上恒

43、成立，顯然不滿足題意；(如圖1)當(dāng)m<0時，g(x)在R上遞減且g(x)=mx>0只在(一空,0)上恒成立,0圖1圖2圖3而f(x)是一個開口向下且恒過定點(0,1)的二次函數(shù)，顯然不滿足題意。當(dāng)m>0時，g(x)在R上遞增且g(x)=mx>0在(0,十比)上恒成立,而f(x)是一個開口向上且恒過定點(0,1)的二次函數(shù)，要使對任一實f(x師g(x)的值至少有一個為正數(shù)則只需f(x)a0在(,0上恒成立。(如圖3)4-m4-m則有22m<0或之0解得4<m<8或0<mW4,22m:=4(4-m)-8m：0綜上可得0<m<8即m(0,8)。故選B。7、已知兩函數(shù)f(x)=7x2-28xc,g(x)=6x2-24x+21。(1)對任意xW0,3l都有f(x)Eg(x)成立，那么實數(shù)c的取值范圍c刃;(2)存在x=U,3,使f(xg(x城立，那么實數(shù)c的取值范圍c225:(3)