方程和不等式重點內(nèi)容和難點

1、方程和不等式、重點、難點提示:1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a，0）。在解一元二次方程，應(yīng)按方程特點選擇方法，各方法依次為：（1）直接開平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。一元二-Z>±Jb2-Aac次方程的求根公式是：x=2T（b2-4ac>0）o（注意符號問題）2 .解分式方程的基本思想是：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，轉(zhuǎn)化的方法有兩種：（1）去分母法；（2）換元法。3 .一元二次方程ax2+bx+c=0（a，0）的根的判別式A=b2-4ac。b+-Aacrb-Jb,-4白。當a>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

2、xi=,x2=2a；b當A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根xi=x2=-la；當A<0時，方程沒有實數(shù)根。bC4 .若一元二次方程ax2+bx+c=0（a，0）的兩個實數(shù)根為xi,x2，則xi+x2=-窯,x1x2=4。（注b意兩根的和是次的相反數(shù)）。以x1,x2為根的一元二次方程是x2-（x1+x2）x+x1x2=005 .不等式的解法：解一元一次不等式和解一元一次方程類似。不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向必須改變。6 .由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況見下表:不等式組（a<b）圖示解集口訣x>ax>b大大

3、取大ab1/10x<aa<x<b空集小小取小大小、小大中間找小小、大大找不到二、例題分析：3(工-2)+8>2x4工+1x-1之x例1.解不等式組L32，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來。說明：不等式組的解集是不等式組中各個不等式解集的公共部分，通常借助數(shù)軸來確定其解集，這樣既直觀又不易錯。注意除以負數(shù)時，改變不等號的方向。解：解不等式3(x-2)+8>2x,得x>-23+1彳-1,(.TT、二解不等式>x-,-3-2-012得x0-1。所以不等式組的解集是-2<x<-1o它在數(shù)軸上表示如右圖所示。3(x+l)>4x+2例2.解不等式組1

4、23,并寫出不等式組的整數(shù)解。說明：求一元一次不等式組的整數(shù)解時，先求出不等式組的解集，再按要求取特殊解解：解不等式3(x+1)>4x+2,得x<1。4X-1解不等式2>3,得x>-2o所以不等式組的解集是：-2<x<1。2/10所以不等式組的整數(shù)解是：-2,-1,0例3.已知方程(m-2)(1-5)顯+(m+2)x+4=0是關(guān)于x的一元二次方程。求m的值，并求此方程的兩根。分析：根據(jù)一元二次方程的定義，未知數(shù)x的最高次數(shù)是2,而且二次項的系數(shù)不能為0,所以m2-2=2,且m-20o于是可求m的值，進而求得方程的解。解：(1)依題意，得m2-2=2,且m-2

5、0Om=±2,且nr52。m=-2。(2)把m=-2代入原方程，整理得(x-5)2=1x-5=±1,xi=4,x2=6。3例4.已知x是實數(shù)，且工3+-(x2+3x)=2,那么x2+3x的值為()A、1B、-3或1C、3D-1或33誤解：設(shè)x2+3x=y,則原方程可變?yōu)椋?y=2,即y2+2y-3=0。y1=-3,y2=1。x2+3x=-3或1。故選Bo剖析：因為x為實數(shù)，所以要求x2+3x=-3和x2+3x=1有實數(shù)解。當x2+3x=-3時，即是x2+3x+3=0,此時A=32-4X1X3<0,方程無實數(shù)解，即x不是實數(shù)，與題設(shè)不符，應(yīng)舍去；當x2+3x=1時，即是

6、x2+3x-1=0,此時A=32-4X1X(-1)>0,方程有實數(shù)解，即x是實數(shù)，符合題設(shè)，故x2+3x=1。正確答案：選Ao說明：此題由解分式方程衍變而來，大大增加了錯誤機會，解題時，若忽視“實數(shù)”這個題設(shè)條件，將求得的值不加檢驗直接寫出，則前功盡棄。3/10例5.解下列方程:14工26+1+(1)K+2X-42-1=1,(2)x2+x-工+1=0。6_分析(1)宜用去分母法解；(2)宜用換元法，可設(shè)x2+x=y,將原方程變?yōu)閥-+1=0,先求出y,再求出x。1 以2解(1)原方程即為x+2+-._=1去分母，得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)。整理，得x2-3x+2=

7、0。x1=1,x2=2。經(jīng)檢驗x=1是原方程的根，x=2是增根，原方程的根是x=1。6(2)設(shè)x2+x=y,則原方程可變?yōu)閥-+1=0。y2+y-6=0,y1=-3,y2=2當y=-3時，x2+x=-3,x2+x+3=0,此方程無實數(shù)根，當y=2時，x2+x=2,x2+x-2=0,x1=-2,x2=1。經(jīng)檢驗,x1=-2,x2=1都是原方程的根。原方程的根是x1=-2,x2=1。4m+3y=1例6.若方程組1ax+=3的解x與y相等，則a的值等于()。A、4B、10C、11D、12日工+3y=1分析：先解方程組I；14/10再將求得的解代入方程ax+(a-1)y=3中，便可求得a的值I尸于J4

8、x+3y=1解：解方程組,得virI1:1y=p把7'代入ax+(a-1)y=3,J1得a+(a-1),7=3,解之，得a=11。故選Co例7.已知關(guān)于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+(k+1)=0，且k&3。(1)求證：此方程總有實數(shù)根;(2)當方程有兩實數(shù)根，且兩實數(shù)根的平方和等于4時，k的值等于多少？分析：本題沒有指明關(guān)于x的方程的類型，要分一元一次方程和一元二次方程兩種情況討論。(1)證明當k=2,方程為一元一次方程-2x+3=0,顯然有實根；當k，2時，方程為一元二次方程，且A=-2(k-1)2-4(k-2)(k+1)=4(3-k),.,k<3,.-.3

9、-k>0o即A>0,此時一元二次方程有實數(shù)根。綜合、知，原方程總有實數(shù)根。2(k-1)1+1(2)設(shè)方程的兩實根為x1,x2,則x1+x2=兀-2,x1x2=此一2。由題設(shè)，x12+x22=4,即(x1+x2)2-2x1x2=4。2(k-1)i+11兀一22-2此一2=4。整理，得k2-5k+4=0,;k1=1,k2=4。k<3,k=1o例8.商場出售的A型冰箱每臺售價2190元，每日耗電量為1度，而B型節(jié)能冰箱每臺售價雖比A型冰箱高出10%,但每日耗電費卻為0.55度?，F(xiàn)將A型冰箱打折出售(打一折后的售價5/101為原價的10），問商場至少打幾折，消費者購買才合算（按使用期

10、為10年，每年365天，每度電0.40元計算）?說明：不等式應(yīng)用題，是近年來應(yīng)用題的發(fā)展新動向，去年有多處地區(qū)中考題目中有不等式的應(yīng)用題，它和方程應(yīng)用題目一樣，先認真審題，并能利用所設(shè)的未知數(shù)表示各種關(guān)系；不同的就是關(guān)系不是相等，而要根據(jù)題目表述為相應(yīng)的不等關(guān)系。本題的關(guān)鍵在于對“合算”一詞的理解，以及如何將“合算”轉(zhuǎn)化為數(shù)學“式子”。實際上,所謂合算是指兩種冰箱十年后的總耗資小，對于本題目就是A型冰箱十年的總耗資小于B型冰箱。得到不等關(guān)系。解：設(shè)商場將A型冰箱打x折出售，則消費者購買A型冰箱需耗資工2190X10+365X10X1X0.4（元），購買B型冰箱需耗資2190（1+10%）+36

11、5X10X0.55X0.4（元）。I依題意，得2190X10+365X10X1X0.4<2190X（1+10%）+365X10X0.55X0.4。解不等式，得x<8o因此，商場應(yīng)將A型冰箱至少打八折出售，消費者購買才合算。例9.某園林的門票每張10元，一次使用?？紤]到人們的不同需求，也為了吸引更多的游客，該園林除保留原來的售票方法外，還推出了一種“購買個人年票”的售票方法（個人年票從購買日起，可供持票者使用一年）。年票分A、BC、三類：A類年票每張120元，持票者進入園林時，無需再用門票；B類年票每張60元，持票者進入該園林時，需再購買門票，每次2元；C類年票每張40元，持票者進入

12、該園林時，需要購買門票，每次3元。（1）如果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計劃在一年中用80元花在該園林的門票上，6/10試通過計算，找出可使進入該園林的次數(shù)最多的購票方式。（2）求一年中進入該園林至少超過多少次時，購買A類年票比較合算。析解：本考題仍為“合算”問題，只是形式略有不同，涉及到列不等式組解實際應(yīng)用問題。(1)因為80<120,所以不可能選A類年票。80-60若選B類年票，則2=10（次）；80-40若選c類年票，則3=133（次），取整數(shù)為13次若不購買年票：則8010=8(次)。所以計劃用80元花在該園林的門票上時，選擇購買C類年票的方法進入園林的次數(shù)最多,為13次。

13、（2）設(shè)至少超過x次時，購買A類年票比較合算，則有不等式組解得2x>26-,360+2x>120,40+3x>120,10x>12Ci其公共解集為x>30。所以，一年中進入該園林至少超過30次時，購買A類年票比較合算。例10.某工程由甲、乙兩隊合做天完成，廠家需付甲、乙兩隊共8700元；乙、丙兩隊合作10天完成，廠家需付乙、丙兩隊共9500元；甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的3,廠家需付甲、丙兩隊共5500元。（1）求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超過15天完成全部工程，問可由哪隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由。分析：本例屬工作

14、量為1的工程問題，要注意下列三個關(guān)系式：（1）工作效率X工作時間7/1011=1;(2)工作效率=iWii；(3)工作時間=n®O這類問題的等量關(guān)系是：部分工作量之和=1。解：(1)設(shè)甲隊單獨做x天完成，乙隊單獨做y天完成，丙隊單獨做z天完成，則(66一十一=LxyIjoio1,j十一x-10,yz2,5二,”15,尊工3,解之，得2=況，(2)設(shè)甲隊做一天應(yīng)付給a元，乙隊做一天應(yīng)付b元，丙隊做一天應(yīng)付給c元,'恤+回=87網(wǎng),10（4+（7）=9500,則有&（。+0=55帥a=800,b=650t解方程組，得10a=8000（元）,15b=9750（元）由甲隊單獨

15、完成此工程花錢最少。答：(1)甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做15天完成，丙隊單獨做30天完成；(2)由甲隊單獨完成此項工程花錢最少。初中代數(shù)總復習釋疑怎樣進行初中代數(shù)的知識梳理？我們給大家作以下的歸納：1 .數(shù)：有理數(shù)、實數(shù)的有關(guān)概念及其運算。2 .式：有理式、無理式的概念、性質(zhì)與運算，多項式在有理數(shù)、實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解8/103 .方程（組）、不等式（組）：等式性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，一次方程（組）、二次方程（組）分式方程、無理方程的概念、解法，以及列出方程（組）解應(yīng)用題，一元一次不等式（組）。4 .函數(shù)及其圖象：平面直角坐標系，函數(shù)的有關(guān)概念，正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的概

16、念、性質(zhì)及其圖象。5 .統(tǒng)計初步：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、標準差的概念和常用的數(shù)據(jù)處理方法。6 .數(shù)學思想方法：用字母和符號表示數(shù)、式、函數(shù)，集合、對應(yīng)，數(shù)形結(jié)合，已知與未知，特殊與一般互相轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學思想；消元、降次、配方、換元等基本的數(shù)學方法以及因式分解的各種基本方法。7 .邏輯推理：對代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）的變形以及對重要公式的推導。怎樣串聯(lián)代數(shù)知識？串連代數(shù)知識，就是把一些代數(shù)知識之間的聯(lián)系找出從而能更好地運用它們，例如：,.由近自生堂取解析式值范國IIIItt=（Z<3）Vv絕對值T函版二次根分愛河企完全平方式串連知識可以通過解決復雜的題目來進行。例如，解一道較

17、復雜的分式混合運算題，就可能串連起整式、分式的混合運算與因式分解等知識；解一個較復雜的無理方程，就可能串連起解一元一次方程、一元二次方程、二次根式及其運算、換元法、配方法等知識；畫一條拋物線，就可能串連起平面直角坐標系，函數(shù)及其圖象的概念、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一元二次方程的根與9/10軸對稱等知識。怎樣把未知的代數(shù)問題化為已知的代數(shù)問題？“可以由未知化為已知的代數(shù)問題”，是指教科書中未出現(xiàn)過，但靈活運用教科書中講過的知識就能解決的代數(shù)問題。例如，教科書中未講過解一元二次不等式。如果我們遇到解不等式x2-2x-35<0可以先把左邊因式分解，化為（x+5）（x-7）<0O根據(jù)兩式x+5與x-7之積為負，可知兩式異號，于是不等式又可化成下面的兩個不等式組：仁-3。，或仁-30,而這正是我們會解的一