變量與函數(shù)教學設計說明

1、 . 14.1.1變量與函數(shù)執(zhí)筆：林俊偉（民航廣州子弟學校），鄭青青（廣州石化中學）一內(nèi)容和內(nèi)容解析【教學內(nèi)容】14.1變量與函數(shù)是義務教育課程標準實驗教科書人教版八年級上冊第十四章第一單元，教參建議本單元內(nèi)容5個課時完成我們把第1、2、3小節(jié)整合為兩個課時，第1課時介紹變量與函數(shù)的概念，第2課時探索量與量之間的函數(shù)關系，并用合適的函數(shù)表示方法進行描述，第3課時認識函數(shù)圖象（“看圖說話”），第4、5課時畫函數(shù)圖象本設計是第1課時，是典型的概念課，引導學生從生活實例中抽象出常量、變量與函數(shù)等概念，其中函數(shù)的概念是本節(jié)核心內(nèi)容 【教材分析】函數(shù)是數(shù)學中最重要的基本概念之一，它刻畫了現(xiàn)實世界中一類數(shù)

2、量關系之間的“特殊對應關系”方程、不等式、函數(shù)是初中數(shù)學的核心概念，它們從不同的角度刻畫一類數(shù)量關系本節(jié)課是函數(shù)入門課，首先必須準確認識變量與常量的特征，初步感受到現(xiàn)實世界各種變量之間聯(lián)系的復雜性，同時感受到數(shù)學研究方法的化繁就簡，在初中階段主要研究兩個變量之間的特殊對應關系課本的引例較為豐富，但有些內(nèi)容學生較為陌生，本設計只選取了其中較為簡單的例子考慮到初中列函數(shù)的解析式是一個難點，其本質(zhì)是用含x的式子表示y，本節(jié)課中涉及的列函數(shù)解析式不是新的教學內(nèi)容（將來學的待定系數(shù)法才是新的教學內(nèi)容），也不是本節(jié)課能解決的問題，因此把設計的重點放在認識“兩個變量間的特殊對應關系：由哪一個變量確定另一變量

3、；唯一確定的含義” 考慮到學生在日常生活中也能接觸到函數(shù)圖象，函數(shù)圖象較為直觀形象，便于學生理解函數(shù)的概念，因此把函數(shù)圖象中的部分內(nèi)容提前到第1課時【學情分析】變量與函數(shù)的概念把學生由常量數(shù)學的學習引入變量數(shù)學學習中.“變量與函數(shù)”較為抽象，學生初次接觸函數(shù)的概念，難以理解定義中“唯一確定”的準確含義另一方面，學生在日常生活中也接觸到函數(shù)圖象、兩個變量的關系等生活實例在本節(jié)教學中，試圖從學生較為熟悉的現(xiàn)實情景入手，引領學生認識變量和函數(shù)的存在和意義，體會變量之間的互相依存關系和變化規(guī)律，借助生活實例，認識“由哪一個變量確定另一個變量？唯一確定的含義是什么？”，初步理解函數(shù)的概念二目標和目標解析

4、【知識目標】（1）基于生活經(jīng)驗，學生初步感知用常量與變量來刻畫一些簡單的數(shù)學問題能指出具體問題中的常量、變量（2）借助簡單實例，初步理解變量與函數(shù)的關系，知道存在一類變量可以用函數(shù)方式來刻畫能舉出涉及兩個變量的實例，并指出由哪一個變量確定另一個變量，這兩個變量是否具有函數(shù)關系（3）借助簡單實例，初步理解對應的思想，體會函數(shù)概念的核心是兩個變量之間的特殊對應關系能判斷兩個變量間是否具有函數(shù)關系【過程與方法目標】借助簡單實例，引領學生參與變量的發(fā)現(xiàn)和函數(shù)概念的形成過程,體會從生活實例抽象出數(shù)學知識的方法，感知現(xiàn)實世界中變量之間聯(lián)系的復雜性，數(shù)學研究從最簡單的情形入手，化繁為簡.【情感與態(tài)度目標】(

5、1)從學生熟悉、感興趣的實例引入課題，學生初步感知實際生活蘊藏著豐富的數(shù)學知識，感知數(shù)學是有用、有趣的學科.(2) 借助簡單實例，引領學生參與變量的發(fā)現(xiàn)和函數(shù)概念的形成過程,體驗“發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造”數(shù)學知識的樂趣【目標解析】函數(shù)的概念具有高度的抽象性學生知道代數(shù)式中的字母可以表示數(shù)，方程中的未知數(shù)求出來后也是一個“已知數(shù)”，從“靜態(tài)”的角度理解字母所表示的數(shù)學生的生活經(jīng)驗中已具備一些樸素的函數(shù)關系的實例學生初次接觸兩個變量之間的特殊對應關系，教師應根據(jù)學生的認知基礎，創(chuàng)設豐富的現(xiàn)實情境，使學生在豐富的現(xiàn)實情境中感知變量和函數(shù)的存在和意義，認識常量與變量，理解具體實例中兩個變量的特殊對應關系，初步理解

6、函數(shù)的概念 【變量與函數(shù)概念的核心】兩個變量間的特殊對應關系：（1）由哪一個變量確定另一個變量；（2）唯一對應關系.【教學重點】借助簡單實例，從兩個變量間的特殊對應關系抽象出函數(shù)的概念【教學難點】怎樣理解“唯一對應”【教學關鍵】借助實例，明確由哪一個量的變化引起另一個量的變化，進而指出由哪一個變量確定另一個變量；“唯一對應”是一種特殊的對應關系，包括“一對一”、“多對一”“一對多”不是函數(shù)關系三、教學問題診斷分析【學生已有的知識結構】學生已學習了實數(shù)的加減、乘除、乘方與開方的運算，學習了列代數(shù)式及求代數(shù)式的值，會列一次方程(組)及解方程組，知道字母可以表示數(shù)，方程中的未知數(shù)求出來后也是一個“已

7、知數(shù)”，從“靜態(tài)”的角度理解字母所表示的數(shù)學生的生活經(jīng)驗中具有一些樸素的函數(shù)實例，依托學生熟悉的生活實例，引導學生認識抽象的函數(shù)的概念符合學生的認知規(guī)律【學生學習的困難】學生對“唯一對應關系”的理解是一個難點，特別是沒有實例背景的變量間的對應關系 應借助學生熟悉的簡單實例明確研究函數(shù)的目的，理解變量間的特殊對應關系，初步理解函數(shù)的概念函數(shù)關系的本質(zhì)，是變量與變量之間的特殊對應關系（單值對應）如果直接研究某個量y有一定困難，我們可以去研究另一個與之有關的量x，而x相對于y來說，比較容易研究，從而達到研究的目的.這也是一種化繁為簡的轉化思想四、教學方法與教學手段學生的學法應以自主探究與合作交流為主

8、通過小組合作，認識“唯一確定”的準確含義教法采用師生互動探究式教學函數(shù)概念具有高度的抽象性，借助幾何畫板形象演示幾何圖形中量與量之間的函數(shù)關系，借助學生熟悉的生活實例，引領學生經(jīng)歷從具體實例中抽象出常量、變量與函數(shù)的過程，初步理解抽象的函數(shù)概念五、教學過程導言：1.名偵探柯南中有這樣一個情景：柯南根據(jù)案發(fā)現(xiàn)場的腳印，鎖定疑犯的身高你知道其中的道理嗎？理由：腳印身高 2.我們班中同學A與職業(yè)相撲運動員，誰的飯量大？你能說明理由嗎？ 理由：體重飯量 上述兩個問題中都涉及兩個量的關系，這一節(jié)課我們研究兩個量的關系，研究怎樣由一個量來確定另一個量板書課題：兩個_量的關系：1.一個_量另一個_量說明：從

9、學生的生活入手，開門見山，在極短的時間(一兩分鐘)內(nèi)指明本節(jié)課的學習內(nèi)容空格中將來填上變量的“變”字現(xiàn)實世界中各種量之間的聯(lián)系紛繁復雜，應向學生說明我們數(shù)學的研究方法是化繁就簡，本節(jié)課只關系注一類簡單的問題（一）概念的引入1.票房收入問題：每張電影票的售價為10元.（1）若一場售出150張電影票，則該場的票房收入是 元；（2）若一場售出205張電影票，則該場的票房收入是 元；（3）若一場售出310張電影票，則該場的票房收入是 元；（4）若一場售出張電影票，則該場的票房收入元，則 .思考：（1）票房收入隨售出的電影票變化而變化，即隨 的變化而變化；（2）當售出票數(shù)取定一個確定的值時，對應的票房收

10、入的取值是否唯一確定？(例如，當=150時，的取值是唯一、還是有多個值？)答：_2如圖，是某班同學一次數(shù)學測試中的成績登記表：這一數(shù)學測試中，（1）13號的成績?yōu)開；（2）17號的成績?yōu)開；（3）18號的成績?yōu)開；（4）23號的成績?yōu)開思考：（1）測試成績隨_的變化而變化；（2）任意確定一個學號x，對應的成績f的取值是否唯一確定？(例如，當學號=13時，所得成績f的取值是唯一、還是有多個值？)答：_3.溫度變化問題：如圖一，是撫順春季某一天的氣溫隨時間t變化的圖象，看圖回答：圖一（1）這天的8時的氣溫是 ，14時的氣溫是 ，22時的氣溫是 ； （2）這一天中，最高氣溫是 ，最低氣溫是 ；（3）

11、這一天中，在4時12時，氣溫（ ），在12時14時氣溫（ ），在16時24時，氣溫（ ）.A.持續(xù)升高 B.持續(xù)降低 C.持續(xù)不變思考：（1）天氣溫度隨 的變化而變化，即隨 的變化而變化；（2）當時間取定一個確定的值時，對應的溫度的取值是否唯一確定？(例如，當=12時，所得溫度的取值是唯一、還是有多個值？)答：_設計意圖：這三個問題中都含有變量之間的單值對應關系，通過研究這些問題引出常量、變量、函數(shù)等概念，通過這種從實際問題出發(fā)開始討論的方式，使學生體驗從具體到抽象地認識過程.問題的形式有填空、列表、求值、寫解析式、讀圖等，隱含著在函數(shù)關系中表示兩個變量的對應關系有解析法、列表法、圖象法.（二

12、）概念的定義1.上述四個問題中，分別涉及哪些量的關系？通過哪一個量可以確定另一個量？答：票房收入問題中，涉及票價(10元)、售出票數(shù)、票房收入，票數(shù)的變化會引起票房收入的變化，如圖所示：售出票數(shù)票房收入類似的，有：學號x成績f時間氣溫在上面的四個問題中，其中一個量的變化引起另一個量的變化（按照某種規(guī)律變化），變化的量叫做變量；有些量的值始終不變（例如電影票的單價10元）并且當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就隨之確定一個值以氣溫問題為例，時間的變化引起溫度的變化，(1) 當t=0點時，T=2;當t=2點時，T=0;(2) 當t=12點時，T=8;當t=12點1分時，T=8;當t=12點2分

13、時，T=8;當t=14點時，T=8;情況（1）（2）中，時間取定一個值時，所得T的對應值只有一個（可能是“一對一”，也可能是“多對一”），即通過時間t,能把溫度T“唯一確定”.反之，當T=8時，所得t的值為1214點之間的任一時刻（“多對一”），通過溫度T，不能把時間t “唯一確定”.在這個問題中，我們把溫度T稱為時間t的函數(shù)（但時間t不是溫度T的函數(shù)，因為通過溫度T，不能把時間t “唯一確定”.）一般地，在一個變化過程中：（1）發(fā)生變化的量叫做 ； （2）不變的量叫做 ；（3）如果有兩個變量和，對于的每一個值，都有 的值與之對應，稱是 ，是的 ；（4）如果當時，叫做當時的函數(shù)值.說明：如何把

14、具體的實例進行抽象，形式化為數(shù)學知識是本課的關鍵這里提出的問題“上述四個問題中，分別涉及哪些量的關系？通過哪一個量可以確定另一個量？”是一個關鍵的“腳手架”，通過“腳手架”引領學生經(jīng)歷數(shù)學概念的形成過程，引導學生認識為什么要引進變量、常量、函數(shù)的概念，逐步了解如何給數(shù)學概念下定義問題回顧指出前面三個問題中的涉及到的量，并指出其中的變量、常量、自變量與函數(shù).1.“票房收入問題”中，（1)涉及到的量有 _，其中的變量是 _，常量是_；（2）_是自變量，是的函數(shù).2.“成績問題”中，（1)涉及到的量有 _，其中的變量是 _，常量是_；（2）_是自變量，是的函數(shù).3.“氣溫變化問題”，（1)涉及到的量

15、有 _，其中的變量是 _，常量是_；（2）_是自變量，是的函數(shù).注意：常量與變量必須依存于一個變化過程中，判斷一個量是常量還是變量，關鍵看它在這個變化過程中是否發(fā)生變化.設計意圖：鞏固常量、變量、自變量、函數(shù)的概念，例1 一個三角形的底邊為5，這一邊上的高可以任意伸縮，三角形的面積也隨之發(fā)生了變化.解：（1）面積隨變化的關系式_ ，其中常量是 ，變量是 ，圖二 是自變量， 是 的函數(shù)； （2）當3時，面積_；（3）當10時，面積_；（4）當高由1變化到5時，面積從_ _變化到_.例2 如果用表示圓的半徑，半徑r的變化會引起圓中哪些量發(fā)生變化？這些變量是半徑r的函數(shù)嗎？分析：半徑圓面積并有，S是

16、r的函數(shù)；半徑圓周長C并有，C是r的函數(shù)；半徑圓直徑d并有，d是r的函數(shù)說明：此兩例引導學生體會幾何問題中兩個變量在動態(tài)變化過程中的依存關系，順便說明字母“”是常量，但這并不是本節(jié)課的核心念（三）概念鞏固1. 購買一些簽字筆，單價3元，總價為元，簽字筆為支，根據(jù)題意填表：（支）123（元）（1）隨變化的關系式 ， 是自變量， 是 的函數(shù)；（2）當購買8支簽字筆時，總價為 元.2.周末，小李8時騎自行車從家里出發(fā)，到野外郊游，16時回到家里.他離開家后的距離（千米）與時間（時）的關系如圖所示.（1）當時，；當時，；（2）小李從_時開始第一次休息，休息時間為_小時，此時離家_千米.（3）距離是時間

17、t的函數(shù)嗎？（4）*時間是距離的函數(shù)嗎？設計意圖：1.例題和鞏固練習，鞏固變量與函數(shù)等概念，讓學生充分體會到許多問題中的變量關系都存在著函數(shù)關系，隱含著在函數(shù)關系中表示兩個變量的對應關系有解析法、列表法、圖象法.2. 練習二2(4)涉及反函數(shù)的知識，不少教師認為超綱不應涉及，本人的實踐證明，提出這樣的問題更有利于學生理解函數(shù)的“單值對應關系”，有利于學生明確“由哪一個量能唯一確定另一個量”，從而更好地理解自變量與函數(shù)的關系，更重要的是讓學生養(yǎng)成逆向思維的習慣當然，不宜在反函數(shù)的概念上作過多的拓展（四）概念辨析1.兩個變量x、y滿足關系式，填表并回答問題：x14916y是的函數(shù)嗎？為什么？2.下

18、列各圖中，表示是的函數(shù)的有_（可以多選）.理解函數(shù)概念把握兩點：由哪一個變量確定另一個變量；唯一對應關系.設計意圖：理解函數(shù)概念的核心是“由哪一個變量確定另一個變量；唯一對應關系”，給定自變量的任意一個值就有唯一確定的的值和它對應，這樣的對應可以是“一個自變量對應一個因變量”（簡稱“一對一”），也可以是“幾個自變量對應一個因變量”（簡稱“多對一”），但不可以是“一個自變量對應多個因變量”（簡稱“一對多”）.3你能舉出涉及兩個變量的例子嗎？它們具有函數(shù)關系嗎？（五）小結函數(shù)的概念：自變量（確定）函數(shù)（值 _ 確定）設計意圖：通過小結，讓學生抓住理解函數(shù)概念的實質(zhì)（六）作業(yè)1. 行程問題：汽車以6

19、0千米/秒的速度勻速行駛，行駛里程為千米，行駛時間為小時.請根據(jù)題意填表：（時）1234510（千米）從表中可以發(fā)現(xiàn)：（1）行駛路程隨 的變化而變化，即隨 的變化而變化；（2）當行駛時間取定一個確定的值時，行駛路程的取值是否唯一確定？(例如，當=3時，的取值是唯一、還是有多個值？)答：_2寫出下列問題中的函數(shù)解析式，并指出其中的自變量、函數(shù)：（1）正方形的面積與邊長關系式；（2）秀水村的耕地面積是m2，這個村人均占有耕地面積隨這個村人數(shù)的變化而變化.解：（1）函數(shù)解析式： ， 是自變量， 是 的函數(shù)；（2）函數(shù)解析式： ， 是自變量， 是 的函數(shù).3. 一年期的存款利率是4%，（）填表： 本金（元）1002005001000一年到期后所得的利息（元）（）本金元與一年到期后所得的利息元之間的關系式是_；（）常量是 ，變量是 ，其中 是自變量， 是 的函數(shù).4. 小明、爸爸和爺爺同時從家中出發(fā)到同一目