電子科大數(shù)學(xué)物理方法第四章

1、第四章第四章 解析函數(shù)解析函數(shù)的級數(shù)展開的級數(shù)展開4.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)的基本概念復(fù)數(shù)項級數(shù)的基本概念 定義定義 4.1.1 復(fù)數(shù)項無窮級數(shù)復(fù)數(shù)項無窮級數(shù) 設(shè)有復(fù)數(shù)列，設(shè)有復(fù)數(shù)列， 其中其中 則則 (4.1.1) 稱為復(fù)數(shù)項無窮級數(shù)稱為復(fù)數(shù)項無窮級數(shù). 前前n項和項和 稱為級數(shù)的部分和稱為級數(shù)的部分和. ni , 1,2,nnnabn121nnn12nnS 若部分和復(fù)數(shù)列若部分和復(fù)數(shù)列 存在有限極限，則稱無窮級數(shù)存在有限極限，則稱無窮級數(shù) 收斂，而這極限值稱為該級數(shù)的和收斂，而這極限值稱為該級數(shù)的和, 即即 (4.1.2)記作記作 (4.1.3)定義定義4.1.2 級數(shù)收斂級數(shù)收斂 nS1nnli

2、mnnSS1nnS定義定義4.1.3 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散 nS1nn若部分和數(shù)列若部分和數(shù)列無有限的極限，則稱無有限的極限，則稱級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散 4.1.2 復(fù)數(shù)項級數(shù)的判斷準則復(fù)數(shù)項級數(shù)的判斷準則根據(jù)上式判斷級數(shù)是否收斂，實際上比較根據(jù)上式判斷級數(shù)是否收斂，實際上比較困難困難.事實上，由于事實上，由于 111innnnnkkkkkSab 根據(jù)實數(shù)項級數(shù)收斂的有關(guān)結(jié)論，可根據(jù)實數(shù)項級數(shù)收斂的有關(guān)結(jié)論，可以得出判斷復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的簡單方法以得出判斷復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的簡單方法.定理定理4.1.2 1nn1nna1nnb i(1,2,)nnnabn設(shè)設(shè) ，則級數(shù)，則級數(shù)收斂的收斂的充分必要充分必要和和虛

3、部虛部都收斂都收斂.條件條件是級數(shù)的實部是級數(shù)的實部lim0nn定理定理 4.1.4.收斂的收斂的必要條件必要條件是是1nn級數(shù)級數(shù) 考察考察級數(shù)級數(shù)11i2nnn的斂散性的斂散性.11nn112nn11nn【解解】 由定理由定理4.1.2 知，只需討論級數(shù)的實部級數(shù)知，只需討論級數(shù)的實部級數(shù) 和虛部級數(shù)和虛部級數(shù)的斂散性的斂散性. 因為級數(shù)因為級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散.定義定義4.1.4 絕對收斂級數(shù)絕對收斂級數(shù) 若級數(shù)若級數(shù) 1nn1nn收斂，稱原級數(shù)收斂，稱原級數(shù)為為絕對收斂級數(shù)絕對收斂級數(shù).1nn1nn1nn定義定義4.1.5 條件收斂級數(shù)條件收斂級數(shù) 若復(fù)數(shù)項級數(shù)若復(fù)

4、數(shù)項級數(shù)收斂，但級數(shù)收斂，但級數(shù)發(fā)散，則稱原級數(shù)發(fā)散，則稱原級數(shù)為為條件收斂級數(shù)條件收斂級數(shù).1nn1nn說明說明： 級數(shù)級數(shù)的各項均為非負實數(shù)，因此的各項均為非負實數(shù)，因此為正項實級數(shù)，故可按正項級數(shù)的收斂性判別法則，為正項實級數(shù)，故可按正項級數(shù)的收斂性判別法則，如比較判別法，比值判別法或根式判別法等判斷如比較判別法，比值判別法或根式判別法等判斷其收斂性其收斂性.1nn1nn定理定理4.1.5 若級數(shù)若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂，則級數(shù)必收斂；必收斂；即為調(diào)和級數(shù)，故發(fā)散即為調(diào)和級數(shù)，故發(fā)散.11( 1)1|i|nnnnn是收斂的，但由于是收斂的，但由于11( 1)( 1)iinnnnnn例如級數(shù)

5、例如級數(shù)但反之不一定成立但反之不一定成立.innnab1|,nna另外，若有另外，若有 ，則則 2211111|+ |nnnnnnnnnnnbabab (4.1.5)因此又可以得到下面的定理因此又可以得到下面的定理:定理定理 4.1.6 1nnb1nna1nn級數(shù)級數(shù)絕對收斂的充分必要條件是實數(shù)項級數(shù)絕對收斂的充分必要條件是實數(shù)項級數(shù)與與都絕對收斂都絕對收斂.定理定理 4.1.7 絕對收斂級數(shù)的各項可以重排順序，而不改絕對收斂級數(shù)的各項可以重排順序，而不改變其絕對收斂性與和變其絕對收斂性與和.定理定理 4.1.8 S LSL1211111(1)11()()() nnnnnnnnnknknk 1

6、1,nnnnSL若已知兩絕對收斂級數(shù)若已知兩絕對收斂級數(shù) 則兩級數(shù)的柯西乘積則兩級數(shù)的柯西乘積 也絕對收斂，且收斂于：也絕對收斂，且收斂于： (4.1.6)例例4.1.2 判定下列級數(shù)的斂散性，若收斂，是條件收斂還判定下列級數(shù)的斂散性，若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？是絕對收斂？(1)0(8i)!nnn； 【解解】絕對收斂絕對收斂. 8i8!nnnn2084!2nnbbacna 0(8i)!nnn 由正項級數(shù)的比值判別法知由正項級數(shù)的比值判別法知 收斂，故級數(shù)收斂，故級數(shù)(1) 因因(2)1( 1)1i2nnnn1( 1)nnn112nn1( 1)nnn (2) 因因，都收斂，故原級數(shù)收斂，但

7、因都收斂，故原級數(shù)收斂，但因為條件收斂，所以原級數(shù)為條件收斂為條件收斂，所以原級數(shù)為條件收斂. 是定義在區(qū)域是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù)上的復(fù)變函數(shù) 序列，則稱表達式序列，則稱表達式4.2 復(fù)變函數(shù)項級數(shù)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)定義定義 4.2.1 復(fù)變函數(shù)項級數(shù)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)設(shè)設(shè)( ),(0,1,2,.)nfzn 0120( )( )( )( )( )nnnfzfzf zfzfz為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)（簡稱復(fù)函數(shù)項級數(shù)）為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)（簡稱復(fù)函數(shù)項級數(shù)）.(4.2.1)該級數(shù)前該級數(shù)前n項和項和0( )( )nnkkSzfz稱為級數(shù)的稱為級數(shù)的部分和部分和.一致收斂一致收斂4.3 冪級數(shù)冪級數(shù)4.3.1 冪

8、級數(shù)概念冪級數(shù)概念另一部分命題用反證法證明另一部分命題用反證法證明. C RC C 圖 4.1 R x y 定義定義4.3.2 收斂圓收斂圓 收斂半徑收斂半徑4.3.3 收斂半徑的求法收斂半徑的求法通過對冪級數(shù)的學(xué)習，我們已經(jīng)知道一個冪通過對冪級數(shù)的學(xué)習，我們已經(jīng)知道一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓的內(nèi)部是一個解析級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓的內(nèi)部是一個解析函數(shù)函數(shù).現(xiàn)在我們來研究與此相反的問題，就是：現(xiàn)在我們來研究與此相反的問題，就是：任何一個解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表示？這任何一個解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表示？這個問題不但有理論意義，而且很有實用價值個問題不但有理論意義，而且很有實用價值. 0z z R 圖 4.2 C 因此，我們可以用它的正冪項級數(shù)因此，我們可以用它的正冪項級數(shù)(4.5.2)和負冪項級數(shù)和負冪項級數(shù)(4.5.3)的斂散性來定義原級數(shù)的斂散性的斂散性來定義原級數(shù)的斂散性. 我們規(guī)定：我們規(guī)定：當且僅當當且僅當正冪項級數(shù)和負冪項級數(shù)都收斂時，原級數(shù)收斂，并且把原正冪項級數(shù)和負冪項級數(shù)都收斂時，原