第4.3節(jié) 協(xié)方差與相關系數(shù)——概率論與數(shù)理統(tǒng)計(李長青版)

1、第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差及相關系數(shù)協(xié)方差及相關系數(shù)問題問題 對于二維隨機變量對于二維隨機變量(X ,Y ):已知聯(lián)合分布已知聯(lián)合分布邊緣分布邊緣分布 對二維隨機變量對二維隨機變量,除每個隨機變量各自除每個隨機變量各自的概率特性外的概率特性外, ()()E XEX YEY數(shù)數(shù)反映了隨機變量反映了隨機變量 X , Y 之間的某種關系之間的某種關系去去反映這種聯(lián)系反映這種聯(lián)系.相互之間可能還有某種聯(lián)系相互之間可能還有某種聯(lián)系, 問題是用一個怎樣的數(shù)問題是用一個怎樣的數(shù)()()E XEX YEY為為 X ,Y 的協(xié)方差的協(xié)方差. cov( , )()()X YE XEX YEY稱稱cov( , )cov(

2、 , )DXX YX YDY為（為（X , Y ）的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣可以證明可以證明 協(xié)方差矩陣為半正定矩陣協(xié)方差矩陣為半正定矩陣協(xié)方差的定義協(xié)方差的定義定義定義 稱稱 記為記為 協(xié)方差的性質協(xié)方差的性質q cov( , )cov( ,)X YY Xq q q ),cov(),cov(YXabbYaX),cov(),cov(),cov(ZYZXZYXcov(,)X XDX()E XYEXEY,;a b 為常數(shù)q 2|cov(, )|X YDX DY當當DX 0, DY 0 時，當且僅當時，當且僅當0( )()1P YE Yt XE X時時, 等式成立等式成立. Cauchy-Schwar

3、z不等式不等式 協(xié)方差的數(shù)值雖然在一定程度上反映了協(xié)方差的數(shù)值雖然在一定程度上反映了X和和Y相互間的聯(lián)系相互間的聯(lián)系, 但其值還受但其值還受X和和Y本身取值大小的本身取值大小的影響影響, 比如比如X和和Y同時增大到同時增大到k倍倍, 即即X1= kX, Y1= kY, 這時這時X1和和Y1間的相互聯(lián)系與間的相互聯(lián)系與X和和Y間的相互聯(lián)系是間的相互聯(lián)系是相同的相同的, 然而協(xié)方差卻增大到了然而協(xié)方差卻增大到了k2倍倍, 即即211cov()cov().X ,YkX,Y為了克服協(xié)方差的這一缺點為了克服協(xié)方差的這一缺點, , 將將隨機變量標準化隨機變量標準化, ,取取*XEXXDX，*YEYYDY，

4、則則()( )cov(, )cov(,)()( )()( )XE XYE YX YXYED XD YD XD Y若若D X 0, DY 0 ,稱稱為為X ,Y 的相關系數(shù)的相關系數(shù))()(),cov(YDXDYXXY若若, 0XY 稱稱 X ,Y 不相關不相關.無量綱無量綱 的量的量相關系數(shù)的定義相關系數(shù)的定義2()()22cov(,)cov(, )()()kXkYkX kYkX YD kXD kYk DXk DYcov(, ).XYX YDXDY由此知由此知, , 相關系數(shù)確實克服了協(xié)方差的不足相關系數(shù)確實克服了協(xié)方差的不足. .相關系數(shù)就是相關系數(shù)就是標準化隨機變量間的協(xié)方差標準化隨機變量

5、間的協(xié)方差, 并且有并且有 相關系數(shù)的意義和性質相關系數(shù)的意義和性質q q 1|XY1|XY即即Y 與與X 有線性關系的概率等有線性關系的概率等于于1，這種線性關系為這種線性關系為程度的量程度的量相關系數(shù)相關系數(shù)是表征隨機變是表征隨機變量量X與與Y之間線性關系緊密之間線性關系緊密0( )()1P YE Yt XE Xq 0XYX , Y 不相關不相關0),cov(YX()E XYEX EY()D XYDXDYX ,Y 相互獨立相互獨立X , Y 不相關不相關X與與Y之間沒有線性關系并不表示它們之間沒有之間沒有線性關系并不表示它們之間沒有關系關系.時，時，X 與與 Y 之間以概率之間以概率1存在

6、線性關系；存在線性關系； 1XY當當越接近于越接近于0時時, X 與與 Y 之間的線性關系越弱之間的線性關系越弱; XY時，時，X 與與 Y 之間不存在線性關系之間不存在線性關系(不相關不相關). 0XY當當 若若 ( X ,Y ) 為離散型，為離散型，11cov(, )()( )ijijijX YxE XyE Y p若若 ( X ,Y ) 為連續(xù)型，為連續(xù)型，cov( , )( )( ) ( , )d dX Yx E Xy E Y f x y x y 協(xié)方差和相關系數(shù)的計算協(xié)方差和相關系數(shù)的計算例例1 設隨機變量設隨機變量(X,Y)的分布律為的分布律為 X Y 10111/81/81/801

7、/801/811/81/81/8試驗證和試驗證和X是是Y不相關不相關, 但但X和和Y不是相互獨立的不是相互獨立的. 證證 先求出先求出X和和Y的邊緣分布律如下：的邊緣分布律如下：X1013/82/83/8kp1013/82/83/8Ykp323( 1)010888EXEY 3311()iiijjiE XYx y p1111( 1) ( 1)( 1) 11 ( 1)1 108888 ()E XYEX EY可得可得因此因此0XY故故X, Y是不相關的是不相關的. 又又220,000 088P XYP XP Y故故X, Y不獨立不獨立. 1(), 02,02,( , )80, xyxyf x y 其

8、它.cov()X,Y()D XY，.XY求求和和解解22007( , )d d()d d86xEXxf x yx yxyx y ，22222005( , )d d()d d83xEXx f x yx yxyx y ，22004()( , )d d()d d.83xyE XYxyf x yx yxyx y .例例2 設隨機變量設隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)由期望的計算公式可得由期望的計算公式可得由由x,y 在在f (x,y)的表達式中的對稱性的表達式中的對稱性, 可知可知76EYEX，225.3EYEX4491cov(, )()33636X YE XYEX EY ，222571

9、1()( )3636DYDXEXEX，5()2cov(, )9D XYDXDYX Y，cov(, )1.11XYX YDXDY 例例3 設設 U(0,2 ) , X=cos , Y=cos( + ), 是給定的常數(shù)，求是給定的常數(shù)，求 XY 解解其他0,20,21)(ttf201cos0,2EXtdt201cos()0,2EYtdt2011()cos cos()cos22E XYttdtcos21),cov(YX, 0若若1XYXY ,若若1XYXY 1|XYYX,有線性關系有線性關系,23,2若若0XYYX,不相關，不相關，但但YX,不獨立不獨立.雖然雖然 X, Y 沒有線性關系，但有函數(shù)關系沒有線性關系，但有函數(shù)關系122YX例例4 設設 ( X ,Y ) N ( 1 , 2; 12, 22 ; ), 求求 XY 解解12cov( , )()() ( , )d dX Yxyf x y x y 222122(1)122()ed d21utttuu t uts