數(shù)學(xué)基礎(chǔ)綜合考試大綱-學(xué)科教學(xué)

1、湖南師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試自命題考試大綱考試科目代碼：958 考試科目名稱：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)綜合一、試卷結(jié)構(gòu)1) 試卷成績(jī)及考試時(shí)間本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。2)答題方式：閉卷、筆試3)試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)分析部分 60% 線性代數(shù)部分 40%4)題型結(jié)構(gòu)a: 單項(xiàng)選擇題，8小題，每小題4分，共32分b: 填空題，6小題，每小題4分，共24分c: 解答題(包括證明題)，9小題，每小題 分，共94分二、考試內(nèi)容與考試要求（一）數(shù)學(xué)分析部分1、函數(shù)、極限、連續(xù)考試內(nèi)容函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形初等函數(shù)

2、函數(shù)關(guān)系的建立數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)函數(shù)的左極限和右極限無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較極限的四則運(yùn)算極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限 函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)考試要求（1）理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系. （2）了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性（3）理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念（4）掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.（5）理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系 （6

3、）掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則.（7）掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法（8）理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限（9）理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型（10）了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)2、一元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)和微分的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系平面曲線的切線和法線導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法高

4、階導(dǎo)數(shù) 一階微分形式的不變性微分中值定理洛必達(dá)（LHospital）法則函數(shù)單調(diào)性的判別 函數(shù)的極值函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線函數(shù)圖形的描繪函數(shù)的最大值與最小值考試要求（1）理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系（2）掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分（3）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)（4）會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（5）理解并會(huì)用羅爾(Rol

5、le)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會(huì)用柯西(Cauchy)中值定理（6）掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法（7）理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用（8）會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形3、一元函數(shù)積分學(xué)考試內(nèi)容原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質(zhì)基本積分公式定積分的概念和基本性質(zhì)定積分中值定理積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數(shù)、三角函

6、數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分反常（廣義）積分定積分的應(yīng)用考試要求（1）理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念（2）掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法 （3）會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分（4）理解積分上限的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式（5）了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分（6）掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積.4、多元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性

7、質(zhì)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分全微分存在的必要條件和充分條件 多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法 二階偏導(dǎo)數(shù)方向?qū)?shù)和梯度空間曲線的切線和法平面曲面的切平面和法線二元函數(shù)的二階泰勒公式多元函數(shù)的極值和條件極值多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用考試要求（1）理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義.（2）了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).（3）理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.（4）理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法.（5）掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法.（6）了解隱函數(shù)存在定理，會(huì)求多

8、元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).（7）了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程.（8）了解二元函數(shù)的二階泰勒公式.（9）理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.5、多元函數(shù)積分學(xué)考試內(nèi)容二重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用考試要求（1）理解二重積分的概念，了解二重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理.（2）掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）.6、無(wú)窮級(jí)數(shù)考試內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念收斂級(jí)數(shù)的和的概念級(jí)數(shù)

9、的基本性質(zhì)與收斂的必要條件幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂?jī)缂?jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開(kāi)區(qū)間）和收斂域冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式考試要求（1）理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件.（2）掌握幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.（3）掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法和柯西（Caucy）積分判別法.（4）掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法.（5）了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收

10、斂的關(guān)系.（6）理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.（7）了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.（8）了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件.（9）掌握ex，sinx，(1+x)c，及的麥克勞林（Maclaurin）展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)為冪級(jí)數(shù).7、常微分方程考試內(nèi)容常微分方程的基本概念變量可分離的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程伯努利 （Bernoulli）方程全微分方程可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的某些微分方程可降階的高階微分方程線性微分

11、方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程考試要求（1）了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.（2）掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法（3）會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程（4）理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)（5）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程.（6）會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（二）高等代數(shù) 1、多項(xiàng)式考試內(nèi)容數(shù)域，一元多項(xiàng)式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項(xiàng)式函數(shù)，復(fù)系數(shù)與實(shí)

12、系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式。考試要求（1） 掌握數(shù)域的定義，并會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是數(shù)域。（2） 理解數(shù)域P上一元多項(xiàng)式的定義，多項(xiàng)式相乘，次數(shù)，一元多項(xiàng)式環(huán)等概念。掌握多項(xiàng)式的運(yùn)算及運(yùn)算律。（3） 理解整除的定義，熟練掌握帶余除法及整除的性質(zhì)。（4） 理解和掌握兩個(gè)（或若干個(gè)）多項(xiàng)式的最大公因式，互素等概念及性質(zhì)。能用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。（5） 掌握不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。了解因式分解定理。（6） 掌握k重因式的定義。（7） 掌握多項(xiàng)式函數(shù)的概念，余數(shù)定理，多項(xiàng)式的根及性質(zhì)。理解代數(shù)基本定理。熟練掌握復(fù)（實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式分解定理及標(biāo)準(zhǔn)分解式。（8） 掌握本原多項(xiàng)式

13、的定義及性質(zhì)。 掌握整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的計(jì)算。2、行列式考試內(nèi)容排列，n級(jí)行列式的定義，n級(jí)行列式的性質(zhì)，n級(jí)行列式的展開(kāi)，行列式的計(jì)算，克拉默(Cramer)法則，行列式的乘法規(guī)則。 考試要求（1） 掌握排列、逆序、逆序數(shù)、奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶性與對(duì)換的關(guān)系。（2） 理解n級(jí)行列式的定義，并能用定義計(jì)算一些特殊行列式。（3） 掌握行列式的基本性質(zhì)。（4） 理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列式性質(zhì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單行列式。（5） 理解元素的余子式、代數(shù)余子式等概念。熟練掌握行列式按一行（列）展開(kāi)的公式。掌握計(jì)算行列式的基本方法與技巧。（6） 熟練掌握克拉默(Cram

14、er)法則， 3、線性方程組考試內(nèi)容消元法，n維向量空間，線性相關(guān)性，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結(jié)構(gòu)?？荚囈螅?） 掌握一般線性方程組，方程組的解，增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質(zhì)。掌握階梯形方程組的特征及作用。會(huì)求線性方程組的一般解。（2） 掌握n維向量及兩個(gè)n維向量相等的定義。熟練掌握向量的運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)。（3） 理解線性組合、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義及性質(zhì)。掌握兩個(gè)向量組等價(jià)的定義及等價(jià)性質(zhì)定理。理解向量組的極大無(wú)關(guān)組、秩的定義，并會(huì)求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。（4） 掌握矩陣的行秩、列秩，以及矩陣的秩的定義。掌握矩陣的秩與其子式的關(guān)系。（5） 掌握線性方

15、程組的有解判別定理，掌握線性方程組的公式解。（6） 理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。掌握基礎(chǔ)解系的求法、線性方程組的結(jié)構(gòu)定理。并對(duì)有解的一般線性方程組，會(huì)求其全部解。4、矩陣考試內(nèi)容矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊乘法的初等變換及應(yīng)用。考試要求（1） 掌握矩陣的的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算及其計(jì)算規(guī)律。（2） 掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系。（3） 掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個(gè)n階方陣可逆的充要條件和用公式法求一個(gè)矩陣的逆矩陣。（4） 理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運(yùn)算及性質(zhì)。（5）

16、 掌握初等矩陣、初等變換等概念及它們之間的關(guān)系，掌握一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣可逆的充要條件；會(huì)用初等變換的方法求一個(gè)方陣的逆矩陣。（6） 理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關(guān)系，會(huì)求分塊矩陣的逆。5、二次型考試內(nèi)容二次型的矩陣表示，標(biāo)準(zhǔn)型，唯一性，正定（半正定）二次型?？荚囈螅?） 正確理解二次形和非退化線性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示及二次型與對(duì)稱矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握矩陣的合同概念及性質(zhì)。（2） 理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的兩種基本方法。（3） 理解復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范性的唯一性，了解符號(hào)差、慣性指數(shù)等概念，掌握慣性定理的證明思想。（4） 理解正定、半正

17、定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣等概念，熟練掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等價(jià)條件。 6、線性空間考試內(nèi)容集合、映射，線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)，維數(shù)、基與坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)?？荚囈螅?） 掌握線性空間的定義及性質(zhì)，會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否為線性空間。（2） 理解線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)等概念，正確理解和掌握n維線性空間的概念及性質(zhì)。（3） 基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系。（4） 掌握基之間的過(guò)渡矩陣及其性質(zhì)。（5） 理解線性子空間的定義及判別定理，掌握線性方程組的解空間的概念和性質(zhì)，掌握向量組生成子空間的定義及等價(jià)條件。

18、（6） 掌握子空間的交與和的定義及性質(zhì)，掌握維數(shù)公式并能熟練運(yùn)用。（7） 理解子空間的直和的概念，以及判斷直和的若干充要條件。 7、線性變換考試內(nèi)容線性變換的定義，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對(duì)角矩陣，線性變換的值域與核，不變子空間，若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形介紹?？荚囈螅?） 掌握線性變換的定義及性質(zhì)。（2） 掌握線性變換的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，理解線性變換的多項(xiàng)式。（3） 掌握線性變換與矩陣的聯(lián)系，掌握矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質(zhì)。（4） 理解矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)，會(huì)求一個(gè)矩陣的特征值和特征向量，掌握相似矩陣與它們的特征多項(xiàng)式的關(guān)系及哈密頓-凱萊定理。（5） 掌握n維線性空間中一個(gè)線性變換在某一組基下的矩陣為對(duì)角矩陣的充要條件。（