必修24.2圓的一般方程教學設計

1、第四章圓與方程4.1.2圓的一般方程教材分祈高中數(shù)學必修2(人教A版)第四章4.1.1圓的一般方程一節(jié)，本節(jié)課是在前面已學習直線與方程基礎上，通過圓的定義與幾何性質(zhì)，求解圓的一般方程。圓的一般方程體現(xiàn)了圓的方程特點。培養(yǎng)學生方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法。教學目標勺核心養(yǎng)養(yǎng)課程目標學科素養(yǎng)1.在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶a數(shù)學抽象：圓的一般方程的建立；圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程b.邏輯推理：有條件求解圓的方程；確定圓的圓心半徑.掌握方程x2+y2+Dx+c.數(shù)學運算：求解圓的方程；Ey+F=0表示圓的條件.d.直觀想象：圓的幾何性質(zhì)運用；2. 通過對方程x+y+Dx+Ey+F

2、-0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力。3. 滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法，提高學生的整體素質(zhì)，激勵學生創(chuàng)新，勇于探索.e.數(shù)學建模：待定系數(shù)法求圓的標準方程；敎學重難點重點：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標準方程間的互化,根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F.難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用教學過程教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設計意圖課題引入問題：求過三點A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程.利用圓的標準方程解決此問題讓學生帶著問題進行思考設疑激趣導入課題.顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其它的

3、解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式一一圓的一般方程請同學們寫出圓的標準方程：（x-a）2+整個探索過程由學生通過學生對圓的一(y)2=r2,圓心(a,b)，半徑r.完成，教師只做引導，得般方程的探究，使學生把圓的標準方程展開，并整理：出圓的一般方程后再啟發(fā)親身體會圓的一'般方程x2+y2-ax_2by+a2+b2-2=0.學生歸納的特點，及二元二次方取D=->a,E=-b,F=a2+b2-2圓的一般方程的特點：程表示圓所滿足的條件22得x+y+Dx+Ey+F=0（1）x2和y2的系數(shù)相這個方程是圓的方程.冋，不等于0.沒有xy這反過來給出一個形如x2+y2

4、+Dx+樣的二次項.Ey+F=0的方程，它表示的曲線一（2）圓的一般方程中有一定是圓嗎？個特定的系數(shù)D、E、F,把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方因此只要求出這三個系概念形成得數(shù)，圓的方程就確定了與深化22Do±E2D+E-4F(x+2)+(y+2)_4（3）與圓的標準方程相比（配方過程由學生去完成）這個方程是較，它是一種特殊的二兀不是表示圓？二次方程，代數(shù)特征明顯，(1)當D2+E2-4F>0時，方程圓的標準方程則指出了圓表示以（D，E）為圓心，心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯LJd2+E24F為半徑的圓；2(2)當D2+E2-4F=0時，方程只有實數(shù)解x,y=，即只表示2

5、2一個點（_，-E）；22(3)當D2+E2-4FV0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形綜上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓.只有當D2+E2-4F>0時，它表示的曲線才是圓，我們把形如X2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圓的方程稱為圓的一般方程例1判斷下列二兀二次方程是否表學生自己分析探求解通過例題講解使學示圓的方程？如果是，請求出圓的圓決途徑：用配方法將其生理解圓的一般方程的心及半徑變形化成圓的標準形式代數(shù)特征及與標準方程(1)4X2+4y2-4x+12y+9=0運用圓的一般方程的判的相互轉(zhuǎn)化更進一步培(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0斷方

6、法求解但是，要注意養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解析：(1)將原方程變?yōu)閷τ?2(1)4x+4y-4x+解決問題的能力229x+y+3y+=0412y+9=0來說，這里的9D=-1,E=3,F=工.4D=9-,E=3,F=-而422D2+E2-4F=1>0不是D=T,E=12,F=此方程表示圓，圓心(13)9.應用舉例半徑r=-2(2)將原方程化為x2+y2-c+3y11+=04*LCL11D=-1,E=3,F=.D+42E2-4F=-1V0此方程不表示圓例2求過三點A(0,0),B(1,1),C例2講完后(4,2)的圓的方程，并求這個圓的半學生討論交流，歸納徑長和圓心坐標得出使用待定系數(shù)法的一分

7、析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓般步驟：的標準方程，而圓的一般方程則需確1根據(jù)題設，選擇標定三個系數(shù)，而條件恰給出三點坐標，不妨試著先寫出圓的一般方程解：設所求的圓的方程為：x2+y+Dx+Ey+F=0A(0,0),B(1,1),C(4,2)在圓上，所以它們的坐標是方程的解把它們的坐標代入上面的方程，可以得到關于D、E、F的三元一次方程組：=0即+E+F+2=04D+2E+F+20=0解此方程組，可得：D=七，E=6,F=0所求圓的方程為：x2+y2-8x+6y=0r=、D2+E2_4F=5;2D4F3-=4,_=-3.22得圓心坐標為(4,£).或?qū)2+y2-8x+6y=0左邊配方

8、化為圓的標準方程，(x-4)2+(y+3)2=25，從而求出圓的半徑r=5,圓心坐標為(4,-3).準方程或一般方程2. 根據(jù)條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組；3. 解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程例3已知線段AB的端點B的坐標是22(4,3),端點A在圓上(x+1)+y=4運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.解：設點M的坐標是(x,y)，點A的坐標是(x0,y°)由于點B的坐標是(4,3)且M是線段AB中重點，所以人+4y。托X-22，教師和學生一起分析解題思路，再由教師板書分析：如圖點A運動引起點M運動，而點A在已知圓上運動，點A的坐標滿足方程(x+1)2+y2=4.建立點M與點A坐標之間的關系，就可以建立點于疋有x=2x4,yo=2y3因為點A在圓（x+1）2+y2=4上運動,所以點A的坐標滿足方程（x+1）2+y=4，即卩（xo+1）+yo=4把代入，得22（2x-4+1）+（2y-3）=4,整理得（x3）2+（y3）2=12