第4章--數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第4章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型4.1 某飼養(yǎng)場用種原料配合成飼料喂雞，為了讓雞生長得快，對種營養(yǎng)成分有一個(gè)最低標(biāo)準(zhǔn)。即對，要求第種營養(yǎng)成分在飼料中的含量不少于，若每單位第種原料中含第種營養(yǎng)成分的量為，第種原料的單價(jià)為，問應(yīng)如何配制飼料才能使成本最低？解：模型假設(shè)：假設(shè)為每單位飼料中營養(yǎng)成分的最少含量 假設(shè)每單位第種原料中第種營養(yǎng)成分的百分比模型的建立：設(shè)為每單位飼料中第種原料的含量，其中由已知,目標(biāo)函數(shù)為約束條件為: 工作工人1 2 3 4甲乙丙丁10 9 7 85 8 7 75 4 6 52 3 4 54.2擬分配甲、乙、丙、丁四人去干四項(xiàng)工作，每人干且僅干一項(xiàng)。他們干各項(xiàng)工

2、作需用天數(shù)見右表，問應(yīng)如何分配才能使總用工天數(shù)最少。解：模型的建立與求解:記i=1,2,3,4分別表示甲乙丙丁四人,j=1,2,3,4分別表示工作1 2 3 4, 用表示i人干工作j。 1234110978258773546542345引入0-1變量x，若i人干j工作，則x=1，否則x=0。根據(jù)題目要求，四人干四項(xiàng)工作，每人干且僅干一項(xiàng)，可得以下約束條件： （1）=1 （2）=1當(dāng)?shù)趇人干第j項(xiàng)工作時(shí)，表示所用天數(shù)，否則=0，所以甲乙丙丁分工干各項(xiàng)工作的總用工天數(shù)為，也即該問題的目標(biāo)函數(shù)。綜上，這個(gè)問題的0-1規(guī)劃模型可寫作：min z=st =1 j=1,2,3,4 =1 i=1,2,3,4

3、 =0,1程序：將題目所給數(shù)據(jù)帶入上述模型，并輸入lindo： min 10x11+9x12+7x13+8x14 +5x21+8x22+7x23+7x24 +5x31+4x32+6x33+5x34 +2x41+3x42+4x43+5x44 s.t. x11+x12+x13+x14=1 x21+x22+x23+x24=1 x31+x32+x33+x34=1 x41+x42+x43+x44=1 x11+x21+x31+x41=1 x12+x22+x32+x42=1 x13+x23+x33+x43=1 x14+x24+x34+x44=1endint16計(jì)算結(jié)果為：=1，其余全為0，即甲做第三項(xiàng)工作，

4、乙做第一項(xiàng)工作，丙做第四項(xiàng)工作，丁做第二項(xiàng)工作，最少用工天數(shù)為20天。4.3 某校經(jīng)預(yù)賽選出，四名學(xué)生，將派他們?nèi)⒓釉摰貐^(qū)各學(xué)校之間的競賽。此次競賽的四門功課考試在同一時(shí)間進(jìn)行，因而每人只能參加一門，比賽結(jié)果將以團(tuán)體總分計(jì)名次（不計(jì)個(gè)人名次）。設(shè)下表是四名學(xué)生選拔時(shí)的成績，問應(yīng)如何組隊(duì)較好？課程學(xué)生數(shù)學(xué)物理化學(xué)外語90859379958991857873888483807987解：模型的建立與求解:記i=1,2,3,4分別表示A、B、C、D四名學(xué)生,j=1,2,3,4分別表示數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語, 用表示i同學(xué)參加j功課考試。 1234190957883285897380393918879

5、479858487引入0-1變量x，若i同學(xué)參加 j功課考試，則x=1，否則x=0。根據(jù)題目要求，每人只能參加一門考試，且以團(tuán)體總分計(jì)名次，不計(jì)個(gè)人名次，可得以下約束條件： （1）=1 （2）=1當(dāng)?shù)趇同學(xué)參加第j功課考試時(shí)，表示所得成績，否則=0，所以A B C D分別參加各門功課考試的總成績?yōu)?，也即該問題的目標(biāo)函數(shù)。綜上，這個(gè)問題的0-1規(guī)劃模型可寫作：max z=st =1 j=1,2,3,4 =1 i=1,2,3,4 =0,1程序：將題目所給數(shù)據(jù)帶入上述模型，并輸入lindo： max 90x11+95x12+78x13+83x14 +85x21+89x22+73x23+80x24 +

6、93x31+91x32+88x33+79x34 +79x41+85x42+84x43+87x44 s.t. x11+x12+x13+x14=1 x21+x22+x23+x24=1 x31+x32+x33+x34=1 x41+x42+x43+x44=1 x11+x21+x31+x41=1 x12+x22+x32+x42=1 x13+x23+x33+x43=1 x14+x24+x34+x44=1endint16計(jì)算結(jié)果為：=1，其余全為0，即A參加物理考試，B參加數(shù)學(xué)考試，C參加化學(xué)考試，D參加外語考試，按選拔時(shí)的成績總分最大值為355。4.4 某工廠生產(chǎn)兩種標(biāo)準(zhǔn)件，A種每個(gè)可獲利0.3元，B種每

7、個(gè)可獲利0.15元。若該廠僅生產(chǎn)一種標(biāo)準(zhǔn)件，每天可A種標(biāo)準(zhǔn)件800個(gè)或B種標(biāo)準(zhǔn)件1200個(gè)，但A種標(biāo)準(zhǔn)件還需某種特殊處理，每天最多處理600個(gè)，A，B標(biāo)準(zhǔn)件最多每天包裝1000個(gè)。問該廠應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能使每天獲利最大。4.5 將長度為500cm的線材截成長度為78cm的坯料至少1000根，98cm的坯料至少2000根，若原料充分多，在完成任務(wù)的前提下，應(yīng)如何截切，使得留下的余料最少？解：模型的建立與求解:材料的切割模式有如下:模式78cm98cm余料160322511233270423505143060510設(shè)按第i種模式切割的線材個(gè)數(shù)為,i=1,2,3,4,5,6由已知,目標(biāo)函數(shù)為

8、min z=32+12+70+50+30+10約束條件為: 6+5+3+2+01000 0+2+3+4+52000運(yùn)用lindo軟件求解得: =200, =360, =0即按第二種模式切200根,按第六種模式切360根，最少余料為6000cm。4.6 某廠有原料甲、乙，生產(chǎn)四種產(chǎn)品A，B，C，D，各參數(shù)如下表：（1）求總收入最大的生產(chǎn)方案；（2）當(dāng)最優(yōu)生產(chǎn)方案不變時(shí)，分別求出A，B，C，D的單價(jià)的變化范圍；（3）當(dāng)最優(yōu)基不變時(shí)，分別求出原料甲、乙的變化范圍。單位消耗產(chǎn)品原料A B C D限額（公斤）甲乙3 2 10 40 0 2 0.518 3單價(jià)（萬元/萬件） 9 8 50 19解：模型的建

9、立與求解:(1) 設(shè)A,B,C,D四種產(chǎn)品的生產(chǎn)量分別是,(單位:件)該問題的目標(biāo)是使總收入最大,目標(biāo)函數(shù)可簡記為max z=9+8+50+19約束條件為甲乙原料的限額,即: 3+2+10+418 2+0.53運(yùn)用lindo軟件求解得: =0,=1,=2,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)最大值為88,即可獲88元收入。 （2）運(yùn)用lindo軟件有如下運(yùn)算結(jié)果： VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 9. 4. INFINITY X2 8. 0. INFINITY X3 50. 2. 2. X4 19. 1. 0. 即在最優(yōu)生產(chǎn)

10、方案不變時(shí)，A產(chǎn)品單價(jià)變化范圍為（0，13），B產(chǎn)品單價(jià)變化范圍為（0，8.7），C產(chǎn)品單價(jià)變化范圍為（47.5，52），D產(chǎn)品單價(jià)變化范圍為（18.5，20） （3）運(yùn)用lindo軟件有如下運(yùn)算結(jié)果： ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 18. 6. 3. 3 3. 0. 0. 即在最優(yōu)基不變時(shí)，甲材料的變化范圍是（15，24），乙材料的變化范圍是（2.25，3.6）4.7 某廠生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，分別由四臺機(jī)床加工，加工順序任意，在一個(gè)生產(chǎn)期內(nèi)，各機(jī)床的有效工作時(shí)數(shù)，各產(chǎn)品在各機(jī)床的加工時(shí)數(shù)等參數(shù)如下表：加工時(shí)數(shù)機(jī)

11、床產(chǎn)品甲 乙 丙 丁單 價(jià)（百元/件）AB2 1 4 02 2 0 123有效時(shí)數(shù) 240 200 180 140（1）求收入最大的生產(chǎn)方案；（2）若引進(jìn)新產(chǎn)品C，每件在機(jī)床甲，乙，丙，丁的加工時(shí)間分別是3，2，4，3小時(shí)，問C的單價(jià)多少時(shí)才宜投產(chǎn)？當(dāng)C的單價(jià)為4百元時(shí)，求C投產(chǎn)后的生產(chǎn)方案。（3）為提高產(chǎn)品質(zhì)量，增加機(jī)床戊的精加工工序，其參數(shù)如下。問應(yīng)如何安排生產(chǎn)。產(chǎn)品A B有效時(shí)數(shù)精加工時(shí)間2 2.4248解：模型的建立與求解:(1)設(shè)A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)量分別是, (單位:件)該問題的目標(biāo)是使總收入最大,目標(biāo)函數(shù)可簡記為max z=2+3由已知約束條件為各機(jī)床的有效時(shí)數(shù),即: 2+224

12、0 +2200 4 180 140 運(yùn)用lindo軟件求解得: =40,=80,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)最大值為320,即可獲32000元收入。 即當(dāng)生產(chǎn)40件A產(chǎn)品,80件B產(chǎn)品時(shí),可以獲得最大收入。(2) 設(shè)C產(chǎn)品的生產(chǎn)量為目標(biāo)函數(shù)改變?yōu)閙ax z=2+3+0 約束條件改變?yōu)? 2+2+3240 +2+2200 4 +4180 +3140VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 2. 1. INFINITY X2 3. INFINITY 3. X3 0. 3. INFINITY可知,C產(chǎn)品的價(jià)格變化在(0,3)之間時(shí),

13、生產(chǎn)方案不變,所以,當(dāng)C產(chǎn)品的價(jià)格大于300元時(shí),方可投入生產(chǎn)。當(dāng)C產(chǎn)品的價(jià)格是400元時(shí)，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閙ax z=2+3+4，約束條件不變 運(yùn)用lindo軟件求解得: =16,=68, =24，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)最大值為332,即可獲33200元收入。 即當(dāng)生產(chǎn)16件A產(chǎn)品,68件B產(chǎn)品，24件C產(chǎn)品時(shí),可以獲得最大收入。（3）增加機(jī)床戊后，目標(biāo)函數(shù)不變，約束條件增加一個(gè)，即2+2.4248 運(yùn)用lindo軟件求解得: =10,=95,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)最大值為305,即可獲30500元收入。 即當(dāng)生產(chǎn)10件A產(chǎn)品,95件B產(chǎn)品時(shí),可以獲得最大收入。4.8 已知某廠生產(chǎn)有關(guān)參數(shù)：單位消耗產(chǎn)品原料A B

14、C D E限額（公斤）甲乙丙0.1 0 0.2 0.3 0.10.2 0.2 0.1 0 0.30 0.3 0 0.2 0.1600500300單價(jià)（元）4 3 6 5 8（1）求最優(yōu)生產(chǎn)方案；（2）根據(jù)市場情況，計(jì)劃A至少生產(chǎn)500件，求相應(yīng)生產(chǎn)方案；（3）因E滯銷，計(jì)劃停產(chǎn)，求相應(yīng)生產(chǎn)方案；（4）根據(jù)市場情況，限定C不超過1640件，求相應(yīng)生產(chǎn)方案；（5）若限定原料甲需剩余至少50公斤，求相應(yīng)生產(chǎn)方案；（6）若限定生產(chǎn)A至少1000件，生產(chǎn)B至少200件，求相應(yīng)生產(chǎn)方案。解：模型的建立與求解：(1) 設(shè)A,B,C,D，E四種產(chǎn)品的生產(chǎn)量分別是， (單位:件) 該問題的目標(biāo)是使總收入最大,目

15、標(biāo)函數(shù)可簡記為max z=4+3+6+5+ 約束條件為甲乙丙原料的限額,即: 0.1 +0.2+0.3+0.1600 0.2+0.2+0.1 +0.3500 0.3 +0.2+0.1300 運(yùn)用lindo軟件求解得: =0,=2600,=800,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)最大值為22000。 即最優(yōu)生產(chǎn)方案為生產(chǎn)C產(chǎn)品2600件，生產(chǎn)E產(chǎn)品800件，其余產(chǎn)品不生產(chǎn)。 （2）目標(biāo)函數(shù)不變，約束條件增加一個(gè)，即：500 運(yùn)用lindo軟件求解得: =500，=0,=2500,=500,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)最大值為21000。 即相應(yīng)生產(chǎn)方案為生產(chǎn)C產(chǎn)品2500件，生產(chǎn)A產(chǎn)品、E產(chǎn)品500件，其余產(chǎn)品不生產(chǎn)。 （3）目標(biāo)

16、函數(shù)變?yōu)椋簃ax z=4+3+6+5 約束條件為：0.1 +0.2+0.3600 0.2+0.2+0.1 500 0.3 +0.2300 運(yùn)用lindo軟件求解得: =0, =1000，=3000, ,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)最大值為21000。 即相應(yīng)生產(chǎn)方案為生產(chǎn)C產(chǎn)品3000件，生產(chǎn)B產(chǎn)品1000件，其余產(chǎn)品不生產(chǎn)。（4）目標(biāo)函數(shù)不變，約束條件增加一個(gè)，即：1640 運(yùn)用lindo軟件求解得: =1050，=629，=1640,=556, =0 即相應(yīng)生產(chǎn)方案為生產(chǎn)A產(chǎn)品1050件，生產(chǎn)B產(chǎn)品629，生產(chǎn)C產(chǎn)品1640件，生產(chǎn)D產(chǎn)品556件。（5）目標(biāo)函數(shù)不變，約束條件改變一個(gè)，即：0.1 +0.2

17、+0.3+0.1550 運(yùn)用lindo軟件求解得: =960，=720，=1640,=420, =0 即相應(yīng)生產(chǎn)方案為生產(chǎn)A產(chǎn)品960件，生產(chǎn)B產(chǎn)品720，生產(chǎn)C產(chǎn)品1640件，生產(chǎn)D產(chǎn)品420件。（6）目標(biāo)函數(shù)不變，約束條件增加兩個(gè)，即：1000，200 運(yùn)用lindo軟件求解得: =1000，=250， =2500, =0,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)最大值為19750。 即相應(yīng)生產(chǎn)方案為生產(chǎn)A產(chǎn)品生產(chǎn)1000件，B產(chǎn)品生產(chǎn)250件，C產(chǎn)品2500件，其余產(chǎn)品不生產(chǎn)。4.9 要從寬度分別為3m和5m的型和型兩種標(biāo)準(zhǔn)卷紙中，沿著卷紙伸長的方向切割出寬度分別為1.5m，2.1m和2.7m的型、型和型三種卷紙3

18、000m，10000m和6000m。問如何切割才能使耗費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)卷紙的面積最少。解：模型假設(shè)：假設(shè)切割出的卷紙每種型號的必須是連著的模型的建立與求解：切割模式已知時(shí)，很容易計(jì)算出浪費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)卷紙的面積切割模式如下：模式余料1 ，1.5*3000+0.2*10000+2.7*4000=173002，0.9*10000+0.8*6000+1.5*3000=183003，0.3*6000+1.4*10000+1.5*7000=26300所以應(yīng)該按第二種模式切，即型卷紙用型標(biāo)準(zhǔn)紙切割，型卷紙用型標(biāo)準(zhǔn)紙切割。4.10 某銀行經(jīng)理計(jì)劃用一筆資金進(jìn)行有價(jià)證券的投資，可供購進(jìn)的證券以及其信用等級、到期年限、收益如

19、下表所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50的稅率納稅。此外還有以下限制：（1）政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購進(jìn)400萬元；（2）所購證券的平均信用等級不超過1.4（信用等級數(shù)字越小，信用程度越高）；（3）所購證券的平均到期年限不超過5年。證券名稱證券種類信用等級到期年限到期稅前收益（）A市政294.3B代辦機(jī)構(gòu)2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5試解答下列問題：（1）若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資？（2）如果能夠以2.75的利率借到不超過100萬元資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作？（3）在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為4.5，投

20、資應(yīng)否改變？若證券C的稅前收益減少為4.8，投資應(yīng)否改變？4.11 某儲蓄所每天的營業(yè)時(shí)間是上午9：00到下午5：00。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每天不同時(shí)間段所需要的服務(wù)員數(shù)量如下：910 1011 1112 121 12 23 34 45時(shí)間段（時(shí)）服務(wù)員數(shù)量43465688儲蓄所可以雇傭全時(shí)和半時(shí)兩類服務(wù)員。全時(shí)服務(wù)員每天報(bào)酬100元，從上午9：00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之間必須安排1小時(shí)的午餐時(shí)間。儲蓄所每天可以雇傭不超過3名的半時(shí)服務(wù)員，每個(gè)半時(shí)服務(wù)員必須連續(xù)工作4小時(shí)，報(bào)酬40元。問該儲蓄所應(yīng)如何雇傭全時(shí)和半時(shí)兩類服務(wù)員？如果不能雇傭半時(shí)服務(wù)員，每天至少增加多少費(fèi)用？如

21、果雇傭半時(shí)服務(wù)員的數(shù)量沒有限制，每天可以減少多少費(fèi)用？4.12 一家保姆服務(wù)公司專門向顧主提供保姆服務(wù)。根據(jù)估計(jì)，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必須經(jīng)過5天的培訓(xùn)才能上崗，每個(gè)保姆每季度工作（新保姆包括培訓(xùn)）65天。保姆從該公司而不是從顧主那里得到報(bào)酬，每人每月工資800元。春季開始時(shí)公司擁有120名保姆，在每個(gè)季度結(jié)束后，將有15的保姆自動(dòng)離職。（1）如果公司不允許解雇保姆，請你為公司制定下一年的招聘計(jì)劃；哪些季度需求的增加不影響招聘計(jì)劃？可以增加多少？（2）如果公司在每個(gè)季度結(jié)束后允許解雇保姆，請為公司制定下一年的招

22、聘計(jì)劃。4.13 某公司將4種不同含硫量的液體原料（分別記為甲、乙、丙、丁）混合生產(chǎn)兩種產(chǎn)品（分別記為A、B）。按照生產(chǎn)工藝的要求，原料甲、乙、丁必須首先倒入混合池中混合，混合后的液體再分別與原料丙混合生產(chǎn)A、B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分別是3，1，2，1（），進(jìn)貨價(jià)格分別為6，16，10，15（千元/噸）；產(chǎn)品A、B的含硫量分別不能超過2.5，1.5（），售價(jià)分別為9，15（千元/噸）。根據(jù)市場信息，原料甲、乙、丙的供應(yīng)沒有限制，原料丁的供應(yīng)量最多為50噸，產(chǎn)品A，B的市場需求量分別為100噸、200噸。問應(yīng)如何安排生產(chǎn)？4.14. 某鋼管零售商從鋼管廠進(jìn)貨，將鋼管按照顧客的要求切割后售出。從鋼管廠進(jìn)貨時(shí)得到的原料鋼管長度都是1850mm。現(xiàn)有一客戶需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的鋼管。為了簡化生產(chǎn)過程，規(guī)定所使用的切割模式的種類不能超過4種，使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價(jià)值的1/10增加費(fèi)用，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價(jià)值的2/10增加費(fèi)用，依此類推，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原料鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品）。此外，為了減少余料浪費(fèi)，每種切割模式下的余料浪費(fèi)不能超過100mm。為了使總費(fèi)用最小，應(yīng)如何下料？4.15 某電力公司經(jīng)營兩座發(fā)電站，發(fā)電站分別位于兩個(gè)水庫上，位置如下圖所