第七章7-3概率論與數(shù)理統(tǒng)計

1、4 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計2( ,)一 單個總體的情形 N21221,( ,)nXXXNXS 設(shè)已給定置信水平為 ，并設(shè)，為總體的樣本，和分別是樣本均值和方差.122,XzXznn簡記為簡記為2Xzn1 均值 的置信區(qū)間(1)2 ，均值 的置信水平為1- 已區(qū)間為知的置信232 ，均值 的置信水平1- 的置信區(qū)間未知(2) 因方差未知，則因方差未知，則/2nXzn 不是統(tǒng)計量不是統(tǒng)計量. .想法：用樣本標(biāo)準(zhǔn)差想法：用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替總體標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差. .4 (1)Xtt nSn 由于由于 對給定的置信水平對給定的置信水平 , ,確定分位數(shù)確定分位數(shù)1

2、2(1),tn 使使即即2| |(1)1Pttn 2|(1)1XPtnSn 因此取因此取 作為樞軸量作為樞軸量XtSn 522(1),(1)SSXtnXtnnn 均值均值 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.即為即為1從中解得從中解得22(1)(1)1SSP XtnXtnnn 6例例1 1 有一大批糖果有一大批糖果. .現(xiàn)從中隨機的取現(xiàn)從中隨機的取1616袋，袋，稱得重量稱得重量( (以克記以克記) )如下如下： 設(shè)每袋糖果的重量近似服從正態(tài)分布，設(shè)每袋糖果的重量近似服從正態(tài)分布，試求總體均值試求總體均值 的置信水平為的置信水平為0.95的的置信區(qū)間置信區(qū)間 506 508 499

3、 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 4967解：解：這是這是單總體方差未知，總體均值單總體方差未知，總體均值 的區(qū)間估計問題的區(qū)間估計問題. .22(1),(1)ssxtnxtnnn 根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得/20.02510.95,/ 20.025,115,(1)(15)2.1315ntnt 這里這里503.75,6.2022xs 均值均值 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為18 22(1),(1)6.20226.2022503.752.1315,503.752.13151616(500.4,507.

4、1)ssxtnxtnnn 均值均值 的置信水平為的置信水平為0.95 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為9.以該區(qū)間內(nèi)任一值作為 的近似值，誤差不大于236.2022(1)=2.1315 2=6.6116stnn 解釋：解釋：1.糖果重量的均值在糖果重量的均值在500.4g與與507.1g之間之間2.估計的可信度為估計的可信度為95%10222(1)(1)nSn 由于由于2221222(1)(1)(1)1nSPnn 從中解得從中解得22222212(1)(1)1(1)(1)nSnSPnn 對給定的置信水平對給定的置信水平 ,確定分位數(shù)確定分位數(shù)1 22(1) ,n 使使212(1) ,n 取作為樞軸量2

5、2(1)nS 方差的置信區(qū)間22 只討論均值形未知情 112222212(1)(1),(1)(1)nSnSnn 方差方差 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為21 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為12221211,(1)(1)nSnSnn 12例例2 2 求例求例1 1中總體標(biāo)準(zhǔn)差中總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平的置信水平 為為0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間解：解：根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，算得22/20.025221/20.975/ 20.025 1/ 20.975,115,(1)(15)27.488,(1)(15)6.262nnn ，這里這里6

6、.2022s 13 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .12221211,(1)(1)nSnSnn 代入具體數(shù)值算得代入具體數(shù)值算得156.2022156.2022,27.4886.2624.58,9.60 14正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間總體個數(shù)待估參數(shù)條件樞軸 量及其分布置 信 區(qū) 間一個22已知2未 知 /0,1n XN22, XzXznn/ (1)n XSt n/ 2/ 2(1),(1)（SnSnXtnXtn222(1)/1nSn2222/21/2(1)(1),(1)(1) nSnSnn 未 知 221122(,)(,)二 兩個正態(tài)總體，的

7、情形 NN121212121,22 設(shè)已給定置信水平為 ，并設(shè)，為來自第一個總體的樣本；， 為來自第二個總體的樣本，這兩個樣本相互獨立，且設(shè) 和 分別是第一、第二個總體的樣本均值，和分別是第一、第二個總體的樣本方差，nnXXXY YYXYSS15121 兩個總體均值差 的置信區(qū)間122212(1) ，均值差的置信水平 為1- 的置信區(qū)間，均已知12,X YX Y 因分別為 ， 的無偏估計，又由的獨立性及22121212(,)(,)XNYNnn，16221212(,)XYNnn得 1212()()(0,1)1/1/XYNnn或212212 即可得，均值差的置信水平為1- 的置，均已知下信區(qū)間為2

8、212/212XYznn17作為樞軸量122122(2)22 ，均值差 的置，但未知信水平為1- 的置信區(qū)間 根據(jù)第六章定理，得根據(jù)第六章定理，得121212() (2)11XYt nnSnn 181212()11取 作為樞軸量XYSnn22121222，但未知 從而可得，在 ，均值差的置信水平為1- 的置信區(qū)間/2121211(2)XYtnnSnn2222112212(1)(1),2nSnSSSSnn其中 19112122223nxsnxs為提高某一化學(xué)生產(chǎn)過程的得率，試圖采用一種新的催化劑.為慎重起見，在實驗工廠先進行試驗.設(shè)采用原來的催化劑進行了次試驗，得到得率的平均值樣本方差;又采用新

9、的催化劑進行了次試驗例 =8=91.73,=3.89=8=93.，得到得率的平均值,樣本方75=4差.02.2012假設(shè)兩總體都可認(rèn)為服從正態(tài)分布，且，兩樣本獨立.試求兩總體均值差的置信水平為0.95的置方差相等信區(qū)間.21將具體值解：代入可得222112212(1)(1)3.96,3.962nsnsSSnn所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為120.02511(14) 3.962.022.1388xxt 4.15即為 ，0.1122 由于所得置信區(qū)間包含由于所得置信區(qū)間包含0，實際中，實際中，認(rèn)為采用這兩種催化劑所得的得率的認(rèn)為采用這兩種催化劑所得的得率的均值沒有差別均值沒有差別.4.15所求區(qū)間為

10、 ，0.11232/2212 兩個總體方差比的置信區(qū)間12均值 ，未僅討論情形知的由第六章定理，得由第六章定理，得2212122212(1,1)SSF nn 12(1,1)F nn 并且不依賴于任何未知參數(shù)， 由此得2422122212取 作 為樞軸量SS22121/212/2122212(1,1)(1,1)1 SSP FnnFnn2221112222/212221/21211(1,1)(1,1)1即 SSPS FnnS Fnn252221112222/212221/21211(1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn/2212于是，兩個總體方差比的置信水平為1- 的置信區(qū)間為2621224

11、ss22例 =0.34(mm研究由機)；器A和機器B生產(chǎn)的鋼管的 內(nèi)徑，隨機抽取機器A生產(chǎn)的管子18只， 測得樣本方差為 抽取機器B生產(chǎn)的管子13只， 測得樣本方=0.29(為mm差).27221122221122(,)(,),NN 假設(shè)兩樣本相互獨立，且設(shè)由機器A,機器B生產(chǎn)的管子的內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布，這里，均未知./0.92212試求方差比的置信水平為的置信區(qū)間.28221122/2120.05120.9510.05218,0.34,13,0.29,0.10,(1,1)(17,12)2.59,11(1,1)(17,12)(12,17)2.38nsnsFnnFFnnFF：這里解因此所求置信區(qū)間為因此所求置信區(qū)間為0.3410.34,2.380.45,2.790.292.59 0.29290.45所求區(qū)間為 ，2.7922122212/1由于的置信區(qū)間包含，實際中，認(rèn)為和沒有顯著差別.3031總體個數(shù)待估參數(shù)條件樞軸量及其分布置信區(qū)間二個1221222212, 已 知 12221122/0,1XYnnN221212221212/2