導(dǎo)與練普通班2017屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十三篇幾何證明選講第2節(jié)直線與圓的位置關(guān)系課件理

1、第第2 2節(jié)直線與圓的位置關(guān)系節(jié)直線與圓的位置關(guān)系知識鏈條完善知識鏈條完善考點專項突破考點專項突破解題規(guī)范夯實解題規(guī)范夯實知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來知識梳理知識梳理 1.1.圓周角定理、圓心角定理、弦切角定理圓周角定理、圓心角定理、弦切角定理(1)(1)圓周角定理圓周角定理圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的 的一半的一半. .(2)(2)圓心角定理圓心角定理圓心角的度數(shù)等于它所對弧的圓心角的度數(shù)等于它所對弧的 . .推論推論1:1:同弧或等弧所對的同弧或等弧所對的 相等相等; ;同圓或等圓中同圓或等圓中, ,相等的相等的 所

2、對所對的弧也相等的弧也相等. .推論推論2:2:半圓半圓( (或直徑或直徑) )所對的圓周角是所對的圓周角是 ;90;90的圓周角所對的弦是的圓周角所對的弦是 . .(3)(3)弦切角定理弦切角定理弦切角等于它所夾的弧所對的弦切角等于它所夾的弧所對的 . .圓心角圓心角度數(shù)度數(shù)圓周角圓周角圓周角圓周角直角直角直徑直徑圓周角圓周角2.2.圓內(nèi)接四邊形的判定定理和性質(zhì)定理圓內(nèi)接四邊形的判定定理和性質(zhì)定理定理定理( (或推論或推論) )內(nèi)容內(nèi)容判定定理判定定理如果一個四邊形的對角如果一個四邊形的對角 , ,那么這個四邊形的四個頂那么這個四邊形的四個頂點共圓點共圓判定定理判定定理的推論的推論如果四邊形

3、的一個外角等于它的如果四邊形的一個外角等于它的 , ,那么這個那么這個四邊形的四個頂點共圓四邊形的四個頂點共圓性質(zhì)定理性質(zhì)定理圓的內(nèi)接四邊形的對角圓的內(nèi)接四邊形的對角 . .圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的 . .互補互補內(nèi)角的對角內(nèi)角的對角對角對角互補互補3.3.圓的切線圓的切線定義、定理定義、定理及推論及推論內(nèi)容內(nèi)容定義定義如果一條直線與一個圓有唯一公共點如果一條直線與一個圓有唯一公共點, ,則這條直線叫做這則這條直線叫做這個圓的切線個圓的切線, ,公共點叫做切點公共點叫做切點判定定理判定定理經(jīng)過半徑的經(jīng)過半徑的 并且并且 這條半徑的直線是圓的切線這條半徑的

4、直線是圓的切線性質(zhì)定理性質(zhì)定理圓的切線圓的切線 經(jīng)過切點的半徑經(jīng)過切點的半徑性質(zhì)定理性質(zhì)定理的推論的推論經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過 . .經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過 . .外端外端垂直于垂直于垂直于垂直于切點切點圓心圓心4.4.與圓有關(guān)的比例線段與圓有關(guān)的比例線段定理定理內(nèi)容內(nèi)容切割線定理切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線從圓外一點引圓的切線和割線, ,切線長是這點到割線與圓切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的交點的兩條線段長的 . .相交弦定理相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦圓內(nèi)的兩條相交弦, ,被交點分成的兩條線

5、段長的被交點分成的兩條線段長的 相等相等割線定理割線定理從圓外一點引圓的兩條割線從圓外一點引圓的兩條割線, ,這一點到每條割線與圓的交這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的點的兩條線段長的 相等相等切線長定理切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線從圓外一點引圓的兩條切線, ,它們的它們的 相等相等, ,圓心圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角和這一點的連線平分兩條切線的夾角比例中項比例中項積積積積切線長切線長夯基自測夯基自測1.1.給出下列命題給出下列命題: :圓心角等于圓周角的圓心角等于圓周角的2 2倍倍; ;相等的圓周角所對的弧也相等相等的圓周角所對的弧也相等; ;等腰梯形一定有外接圓等腰梯

6、形一定有外接圓; ;弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦切角的度數(shù)弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦切角的度數(shù); ;在圓內(nèi)接四邊形在圓內(nèi)接四邊形ABCDABCD中中,ABCD=mnpq,ABCD=mnpq, ,則有則有m+p=n+qm+p=n+q. .其中錯誤的是其中錯誤的是( ( ) )(A)(A)(B)(B)(C)(C) (D)(D)B B解析解析: :錯誤錯誤, ,若弧不一樣若弧不一樣, ,則圓心角與圓周角的關(guān)系不確定則圓心角與圓周角的關(guān)系不確定; ;錯誤錯誤, ,只有在只有在同圓或等圓中同圓或等圓中, ,相等的圓周角所對的弧才相等相等的圓周角所對的弧才相等; ;正確正確, ,可以推出等腰梯形的可以推出等腰梯

7、形的對角互補對角互補, ,所以有外接圓所以有外接圓; ;錯誤錯誤, ,弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角, ,所所夾的弧的度數(shù)等于該弧所對圓心角的度數(shù)夾的弧的度數(shù)等于該弧所對圓心角的度數(shù), ,所以弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦所以弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦切角度數(shù)的切角度數(shù)的2 2倍倍; ;正確正確, ,圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形ABCDABCD的對角互補的對角互補. .A AC C4.(20154.(2015高考重慶卷高考重慶卷) )如圖如圖, ,圓圓O O的弦的弦AB,CDAB,CD相交于點相交于點E,E,過點過點A A作圓作圓O O的切線的切線與與DCDC的延長線交于

8、點的延長線交于點P,P,若若PA=6,AE=9,PC=3,CEED=21,PA=6,AE=9,PC=3,CEED=21,則則BE=BE=. .答案答案: :2 25.(20155.(2015高考廣東卷高考廣東卷) )如圖如圖, ,已知已知ABAB是圓是圓O O的直徑的直徑, ,AB=4,ECAB=4,EC是圓是圓O O的切線的切線, ,切點為切點為C,BC=1.C,BC=1.過圓心過圓心O O作作BCBC的平行線的平行線, ,分別交分別交ECEC和和ACAC于點于點D D和點和點P,P,則則ODOD= =. .答案答案: :8 8考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一

9、考點一 圓周角、圓心角、弦切角和圓的切線問題圓周角、圓心角、弦切角和圓的切線問題【例【例1 1】 (2015(2015高考新課標(biāo)全國卷高考新課標(biāo)全國卷)如圖如圖,AB,AB是是O O的直徑的直徑,AC,AC是是O O的的切線切線,BC,BC交交O O于點于點E.E.(1)(1)若若D D為為ACAC的中點的中點, ,證明證明:DE:DE是是O O的切線的切線; ;反思歸納反思歸納 (1)(1)證明直線是圓的切線可運用切線的判定定理證明直線是圓的切線可運用切線的判定定理. .(2)(2)涉及圓的切線問題時常常利用弦切角定理實現(xiàn)弦切角與圓周角的相互涉及圓的切線問題時常常利用弦切角定理實現(xiàn)弦切角與圓

10、周角的相互轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化, ,利用圓周角、圓心角定理及其推論實現(xiàn)圓周角、圓心角及所對弧的利用圓周角、圓心角定理及其推論實現(xiàn)圓周角、圓心角及所對弧的度數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化度數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化. .【即時訓(xùn)練】【即時訓(xùn)練】 如圖如圖, ,直線直線ABAB為圓的切線為圓的切線, ,切點為切點為B,B,點點C C在圓上在圓上,ABC,ABC的角的角平分線平分線BEBE交圓于點交圓于點E,DBE,DB垂直垂直BEBE交圓于點交圓于點D.D.(1)(1)證明證明:DB=DC;:DB=DC;(1)(1)證明證明: :連接連接DE,DE,交交BCBC于點于點G.G.由弦切角定理得由弦切角定理得ABE=BCE.ABE=BC

11、E.而而ABE=CBE,ABE=CBE,故故CBE=BCE,CBE=BCE,所以所以BE=CE.BE=CE.又又DBBE,DBBE,所以所以DEDE為直徑為直徑, ,則則DCE=90DCE=90, ,由勾股定理可得由勾股定理可得DB=DC.DB=DC.考點二考點二四點共圓問題四點共圓問題【例【例2 2】 如如圖圖,CD,CD為為ABCABC外接圓的切線外接圓的切線,AB,AB的延長線交直線的延長線交直線CDCD于點于點D,ED,E、F F分別為弦分別為弦ABAB與弦與弦ACAC上的點上的點, ,且且BCAE=DCAF,BBCAE=DCAF,B、E E、F F、C C四點共圓四點共圓. . (1

12、)(1)證明證明:CA:CA是是ABCABC外接圓的直徑外接圓的直徑; ;(2)(2)若若DB=BE=EA,DB=BE=EA,求過求過B B、E E、F F、C C四點的圓的面積與四點的圓的面積與ABCABC外接圓面積的比值外接圓面積的比值. .反思歸納反思歸納 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是圓中探求角的相等或互補關(guān)系的圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是圓中探求角的相等或互補關(guān)系的常用定理常用定理, ,使用時要注意觀察圖形使用時要注意觀察圖形, ,要弄清四邊形的外角和它的內(nèi)對角的要弄清四邊形的外角和它的內(nèi)對角的位置位置, ,其性質(zhì)定理是溝通角的相等關(guān)系的重要依據(jù)其性質(zhì)定理是溝通角的相等關(guān)系的重要依據(jù), ,解題

13、時要注意相關(guān)角解題時要注意相關(guān)角的定理的靈活應(yīng)用的定理的靈活應(yīng)用. .【即時訓(xùn)練】【即時訓(xùn)練】 (2015(2015高考湖南卷高考湖南卷) )如圖如圖, ,在在O O中中, ,相交于點相交于點E E的兩弦的兩弦AB,CDAB,CD的中點分別是的中點分別是M,N,M,N,直線直線MOMO與直線與直線CDCD相交于點相交于點F.F.證明證明: : (1)MEN+NOM=180(1)MEN+NOM=180; ;證明證明: :(1)(1)因為因為M,NM,N分別是弦分別是弦AB,CDAB,CD的中點的中點, ,所以所以O(shè)MAB,ONCD,OMAB,ONCD,即即OME=90OME=90,ENO=90,

14、ENO=90, ,因此因此OME+ENO=180OME+ENO=180. .又四邊形的內(nèi)角和等于又四邊形的內(nèi)角和等于360360, ,故故MEN+NOM=180MEN+NOM=180. .(2)FEFN=FMFO.(2)FEFN=FMFO.證明證明: :(2)(2)由由(1)(1)知知O,M,E,NO,M,E,N四點共圓四點共圓, ,故由割線定理即得故由割線定理即得FEFEFN=FMFN=FMFO.FO.與圓有關(guān)的比例線段與圓有關(guān)的比例線段考點三考點三 【例【例3 3】 (2014(2014高考新課標(biāo)全國卷高考新課標(biāo)全國卷)如圖如圖,P,P是是O O外一點外一點,PA,PA是切線是切線,A,A

15、為為切點切點, ,割線割線PBCPBC與與O O相交于點相交于點B,C,PC=2PA,DB,C,PC=2PA,D為為PCPC的中點的中點,AD,AD的延長線交的延長線交O O于點于點E.E.證明證明: :(1)BE=EC;(1)BE=EC;(2)AD(2)ADDE=2PBDE=2PB2 2. . 證明證明: :(2)(2)由切割線定理得由切割線定理得PAPA2 2=PB=PBPC,PC,因為因為PA=PD=DC,PA=PD=DC,所以所以DC=2PB,BD=PB,DC=2PB,BD=PB,由相交弦定理得由相交弦定理得ADADDE=BDDE=BDDC,DC,所以所以ADADDE=2PBDE=2P

16、B2 2. .反思歸納反思歸納 證明與圓有關(guān)的比例線段證明與圓有關(guān)的比例線段, ,常用到三角形相似、相交弦定理、常用到三角形相似、相交弦定理、割線定理以及切割線定理等割線定理以及切割線定理等, ,同時要注意圓的有關(guān)性質(zhì)同時要注意圓的有關(guān)性質(zhì), ,直角三角形中的直角三角形中的射影定理、角平分線的性質(zhì)的靈活運用射影定理、角平分線的性質(zhì)的靈活運用. .【即時訓(xùn)練】【即時訓(xùn)練】 (2016(2016貴陽一測貴陽一測) )ABAB是是O O的一條切線的一條切線, ,切點為切點為B,B,過過O O外一點外一點C C作直線作直線CECE交交O O于于G,E,G,E,連接連接AEAE交交O O于于D,D,連接

17、連接CDCD交交O O于于F,F,連連接接AC,FG,AC,FG,已知已知AC=AB.AC=AB.(1)(1)證明證明:ADAE=AC:ADAE=AC2 2; ;證明證明: :(1)(1)因為因為ABAB是是O O的一條切線的一條切線,AE,AE為割線為割線, ,所以所以ABAB2 2=AD=ADAE,AE,又因為又因為AB=AC,AB=AC,所以所以ACAC2 2=AD=ADAE.AE.(2)(2)證明證明:FGAC. :FGAC. 備選例題備選例題 【例【例1 1】 (2016(2016赤峰模擬赤峰模擬) )如圖所示如圖所示, ,圓圓O O的直徑為的直徑為BD,BD,過圓上一點過圓上一點A

18、 A作圓作圓O O的切線的切線AE,AE,過點過點D D作作DEAEDEAE于點于點E,E,延長延長EDED與圓與圓O O交于點交于點C.C.(1)(1)證明證明:DA:DA平分平分BDE;BDE;(1)(1)證明證明: :因為因為AEAE是是O O的切線的切線, ,所以所以DAE=ABD,DAE=ABD,因為因為BDBD是是O O的直徑的直徑, ,所以所以BAD=90BAD=90, ,所以所以ABD+ADB=90ABD+ADB=90, ,又又ADE+DAE=90ADE+DAE=90, ,所以所以ADB=ADE.ADB=ADE.所以所以DADA平分平分BDE.BDE.(2)(2)若若AB=4,

19、AE=2,AB=4,AE=2,求求CDCD的長的長. . (2)(2)求證求證:BF=FG. :BF=FG. 【例【例3 3】 (2016(2016烏魯木齊一診烏魯木齊一診) )過以過以ABAB為直徑的圓上為直徑的圓上C C點作直線交圓于點作直線交圓于E E點點, ,交交ABAB延長線于延長線于D D點點, ,過過C C點作圓的切線交點作圓的切線交ADAD于于F F點點, ,交交AEAE延長線于延長線于G G點點, ,且且GA=GF.GA=GF.(1)(1)求證求證CA=CD;CA=CD;證明證明: :(1)(1)因為因為GFGF是圓的切線是圓的切線, ,所以所以GCE=GAC,GCE=GAC,又因為又因為GCE=DCF,GCE=DCF,所以所以DCF=GAC.DCF=GAC.因為因為GA=GF,GA=GF,所以所以GAF=AFG.GAF=AFG.又又GAF=GAC+CAF,AFG=D+DCF,GAF=GAC+CAF,AFG=D+DCF,所以所以CAF=D.CAF=D.所以所以CA=CD.CA=CD.(2)(2)設(shè)設(shè)