第6章 FIR數(shù)字濾波器設(shè)計

1、1-140-120-100-80-60-40-200202內(nèi)容提要內(nèi)容提要6.1 引言引言6.2 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點6.3 利用窗函數(shù)法設(shè)計利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器濾波器6.4 利用頻率采樣法設(shè)計利用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器濾波器6.5 FIR濾波器和濾波器和IIR濾波器的比較濾波器的比較本章學(xué)習(xí)要點本章學(xué)習(xí)要點p了解兩類了解兩類線性相位線性相位的概念，掌握的概念，掌握FIR數(shù)字濾波器線性相位數(shù)字濾波器線性相位條件條件的推導(dǎo)與證明；的推導(dǎo)與證明；p掌握相位條件掌握相位條件FIR濾波器的濾波器的幅度特點和

2、零點特性幅度特點和零點特性；p掌握掌握窗函數(shù)法窗函數(shù)法和和頻率采樣法頻率采樣法設(shè)計設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器的基數(shù)字低通濾波器的基本原理、步驟和實現(xiàn)；本原理、步驟和實現(xiàn)；p了解等波紋逼近法、簡單整系數(shù)法設(shè)計了解等波紋逼近法、簡單整系數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器的方法；方法；p掌握掌握IIR及及FIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器的比較。的比較。346.1 引言引言一、一、IIR濾波器的優(yōu)缺點濾波器的優(yōu)缺點 優(yōu)點優(yōu)點： 可以利用模擬濾波器設(shè)計的結(jié)果可以利用模擬濾波器設(shè)計的結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計，而模擬濾波器的設(shè)計有大量圖表可查，有大量圖表可查，方便簡單方便簡單。 精度高。精度高。 缺點缺點： 相位

3、的非線性相位的非線性，若須線性相位，則要采用，若須線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)全通網(wǎng)絡(luò)進行進行相位校正，使濾波器設(shè)計變得復(fù)雜。相位校正，使濾波器設(shè)計變得復(fù)雜。5信號通過信號通過3種系統(tǒng)后的輸出種系統(tǒng)后的輸出不發(fā)生相位失真的條件不發(fā)生相位失真的條件 群時延群時延 （常數(shù)）（常數(shù)）c d)(d幅度失真幅度失真相位失真相位失真無失真?zhèn)鬏敓o失真?zhèn)鬏?二、二、FIR DF 優(yōu)點優(yōu)點 在滿足幅度特性的同時，很容易做到線性相位特性。在滿足幅度特性的同時，很容易做到線性相位特性。 10z )()z(NnnnhH設(shè)設(shè)FIR濾波器單位沖激響應(yīng)濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)長度為長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為

4、：為： 穩(wěn)定穩(wěn)定和和線性相位線性相位是是FIR濾波器突出的優(yōu)點。濾波器突出的優(yōu)點。收斂域包含單位圓，因此，收斂域包含單位圓，因此，H(z)永遠穩(wěn)定。永遠穩(wěn)定。7三、為何要設(shè)計三、為何要設(shè)計FIR濾波器濾波器 （1）語音處理、圖像處理以及數(shù)據(jù)傳輸要求線性相位，）語音處理、圖像處理以及數(shù)據(jù)傳輸要求線性相位，任意幅度（信道具有線性相位特性），而任意幅度（信道具有線性相位特性），而FIR數(shù)字濾波器能數(shù)字濾波器能夠很容易地實現(xiàn)線性相位夠很容易地實現(xiàn)線性相位。 （2）FIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)是有限長的，因而濾的單位脈沖響應(yīng)是有限長的，因而濾波器波器一定是穩(wěn)定一定是穩(wěn)定的。的。 （3）FIR

5、數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器可以用可以用FFT算法算法來實現(xiàn)過濾信號。來實現(xiàn)過濾信號。 四、本章討論的主要內(nèi)容四、本章討論的主要內(nèi)容 （1）線性相位）線性相位FIR濾波器的條件和特點濾波器的條件和特點 （2）線性相位）線性相位FIR濾波器的設(shè)計方法濾波器的設(shè)計方法 窗函數(shù)法窗函數(shù)法和和頻率采樣法頻率采樣法86.2.1 FIR DF具有線性相位的條件具有線性相位的條件 對于長度為對于長度為N的的h(n)，傳輸函數(shù)為：，傳輸函數(shù)為： )()(10)(| )(|)()( jjjNnnjjeHeeHenheH 6.2 線性相位線性相位FIR濾波器的條件和特點濾波器的條件和特點| )(|)( jeHH )( H

6、其中，其中， 幅度特性幅度特性，純實數(shù)，可正可負，即，純實數(shù)，可正可負，即)( 相位特性相位特性 注意：注意：幅度特性幅度特性幅頻特性幅頻特性9例如：例如： 34sin)(jjeeH )( 3 2形式形式用用)()( jeH)( 2/ 2/ 形式形式用用)()( jjeeH1000.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.5100.51-3-2-1000.51-1-0.500.51)(3|4sin|4sin)( jjjeeeH 形式形式用用)()( jeH形式形式用用)()( jjeeH111H(ej)線性相位概念線性相位概念 H(ej)線性相位是指線性相位是指 是是的線性函數(shù)，

7、即群時延的線性函數(shù)，即群時延c d)(d)( )( 0)( 0000 )( 0000 ,)( 為常數(shù)為常數(shù)第一類第一類線性相位線性相位00,)( 為起始相位為起始相位第二類第二類線性相位線性相位122FIR濾波器具有線性相位的條件濾波器具有線性相位的條件h(n)是實序列，且滿足偶對稱或奇對稱是實序列，且滿足偶對稱或奇對稱，即，即21 Nnh(n)=h(N-1-n)或或h(n)=-h(N-1-n)，對稱軸，對稱軸13)cos(n)2/1cos(nN為奇數(shù)為奇數(shù)N為偶數(shù)為偶數(shù)143線性相位條件的證明線性相位條件的證明（1）h(n)偶對稱的情況偶對稱的情況)z(HnNnnh z )(10nNnnNh

8、 z )1(10)1(10zz )( NmNmmh由此可得由此可得)z(z)z(21)z(1)1( HHHN 10)1(zzz)(21NnnNnnh令令m=N-1-n因此因此 10)21()21(212zz)(zNnNnNnNnh)21(cos)()(10)21( nNnheeHNnNjj )()( jeH jez 21)( N第一類第一類線性相位線性相位 15 （2）h(n)奇對稱的情況奇對稱的情況因此因此 10)1(zz)z(21)z(NnnNnnhH 10)21()21(212zz)(zNnNnNnNnh2)()(10)21()21()21( NnNnjNnjNjjjeenhjeeH )

9、()( jeH )21(sin)()21(sin)(10)21(10)21(nNnhjeNnnhjeNnNjNnNj 221)( N第二類第二類線性相位線性相位 16)sin(nN為奇數(shù)為奇數(shù))2/1sin(nN為偶數(shù)為偶數(shù)21 N21 Nn將和式中偶對稱的項兩兩合并。由于將和式中偶對稱的項兩兩合并。由于N是奇數(shù)，故余下中間是奇數(shù)，故余下中間一項（一項（ ），其余組合后共有），其余組合后共有 項，得項，得176.2.2 線性相位線性相位FIR濾波器幅度特性的特點濾波器幅度特性的特點 （1）h(n)=h(N-1-n)，N為奇數(shù)為奇數(shù)1型型均對均對(N-1)/2 呈偶對稱呈偶對稱)21(cos)(

10、)(10 nNnhHNn )21(cos)(2)21()(12/ )1(0 NnnhNhHNn mmNhNhNm 2/ )1(1cos)21(2)21(令令m=(N-1)/2-nnnaHNn cos)()(2/ )1(0 2/)1(2, 1,212)(21)0(NnnNhnaNha 由于由于cosn對對=0、2這些點偶對稱，因此這些點偶對稱，因此H ()關(guān)于關(guān)于=0、2偶對稱。偶對稱。18 （2）h(n)=h(N-1-n)，N為偶數(shù)為偶數(shù)2型型 由于由于N是偶數(shù)，故是偶數(shù)，故 無單獨項。合并后可得無單獨項。合并后可得)21(cos)()(10 nNnhHNn )( H 12/0)21(cos)

11、(2)(NnnNnhH 21cos222/1mmNhNm 令令m=(N-1)/2-n 21cos)()(2/1nnbHNn 2/2 , 1,22)(NnnNhnb 濾波器。濾波器。）不能設(shè)計高通、帶阻）不能設(shè)計高通、帶阻（為呈偶對稱；為呈偶對稱；，為偶對稱，幅度函數(shù)對為偶對稱，幅度函數(shù)對，）余弦項對）余弦項對（呈奇對稱；呈奇對稱；對對是奇對稱，所以是奇對稱，所以對對且由于且由于處，必然有一個零點。處，必然有一個零點。在在即即，時，時，）當(dāng)）當(dāng)（320202)()21(cos1z)z(, 0)(0)21(cos1 HnHHn19 （3）h(n)=-h(N-1-n)，N為奇數(shù)為奇數(shù)3型型 2/ )

12、1(1)sin()()(NnmncH 2/ )1(2 , 1,212)( NnnNhnc高通和帶阻濾波器。高通和帶阻濾波器。）不能用于設(shè)計低通、）不能用于設(shè)計低通、（呈奇對稱。呈奇對稱。對對處都為零。處都為零。在在處必為零。也即處必為零。也即，在在即即處都為零，處都為零，在在）由于）由于（22 , 0)(1Z)z(2, 0)(2 , 0)sin(1 HHHn)21(sin)()(10 nNnhHNn 由由 ，同理得到，同理得到20 （4）h(n)=-h(N-1-n)，N為偶數(shù)為偶數(shù)4型型低通、帶阻濾波器。低通、帶阻濾波器。）此類型不能用于設(shè)計）此類型不能用于設(shè)計（呈偶對稱。呈偶對稱。處呈奇對稱

13、，對處呈奇對稱，對，對對處有一零點。處有一零點。在在處為零。即處為零。即在在即即，處為處為，在在）由于）由于（由此看出：由此看出：其中：其中：220)(1z)z(2 , 0)(020)21(sin12, 3 , 2 , 1)2(2)()21(sin)()(2/1 HHHnNnnNhndnndHNn表表6-1a 四種線性相位四種線性相位FIR濾波器的特性濾波器的特性 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 21)( N221)( N)( )( H22實際使用時，一般來說，實際使用時，一般來說，1型型適合構(gòu)成低通、高通、帶通、帶阻濾波器；適合構(gòu)成低通、高通、帶通、帶阻濾波器；2型型適合構(gòu)成

14、低通、帶通濾波器；適合構(gòu)成低通、帶通濾波器；3型型適合構(gòu)成帶通濾波器；適合構(gòu)成帶通濾波器；4型型適合構(gòu)成高通、帶通濾波器。適合構(gòu)成高通、帶通濾波器。 23表表6-1b 四種線性相位濾波器四種線性相位濾波器1型型2型型3型型4型型24256.2.3 線性相位線性相位FIR濾波器零點分布特點濾波器零點分布特點由式（由式（6-9）和（）和（6-16）得到：）得到： 如果如果H(zi)=0，則，則H(zi-1)=0。0)z(z)z(i1i1i HHN)z(z)z(-1)1(HHN *zzi 1i*)(zz 此外，因此外，因h(n)是實數(shù)，是實數(shù)，H(z)的零點必成共軛對出現(xiàn)，的零點必成共軛對出現(xiàn)，所以

15、所以 及及 也一定是也一定是H(z)的零點的零點。所以，所以，零點必是零點必是互為倒數(shù)的共軛對互為倒數(shù)的共軛對或者說共軛鏡像或者說共軛鏡像。 26圖圖 6-5 線性相位線性相位FIR濾波器的零點位置圖濾波器的零點位置圖27296.3 窗函數(shù)法窗函數(shù)法設(shè)計設(shè)計FIR濾波器（濾波器（Fourier 級數(shù)法級數(shù)法）一、設(shè)計思路與方法一、設(shè)計思路與方法 1.由理想的頻率響應(yīng)由理想的頻率響應(yīng) 得到理想的得到理想的 ； 2.將無限長的將無限長的hd(n) 加窗截斷加窗截斷 為有限長的為有限長的h(n)； h(n)=hd(n)w(n)例如，例如， 。 3.由由h(n) 所設(shè)計濾波器的頻率響應(yīng)所設(shè)計濾波器的頻

16、率響應(yīng) 。)e (d jH)(dnh非因果，無限長非因果，無限長)()(NnRnw 要注意要注意線性相位的約束條件！線性相位的約束條件！)e ( jH 10)()e (NnnjjenhH 30例：例：設(shè)計一個設(shè)計一個線性相位線性相位FIR數(shù)字低通濾波器。數(shù)字低通濾波器。 理想低通濾波器的頻率響應(yīng)理想低通濾波器的頻率響應(yīng) 無限長無限長 偶對稱偶對稱 截短截短 保留保留 |, 0|,1)(ccdajjeeH)()(sin21)(cdccanandeenhnjaj 31 在一定意義上來看，窗函數(shù)在一定意義上來看，窗函數(shù)決定了我們能夠決定了我們能夠“看到看到”多少個多少個原來的單位脈沖響應(yīng)，原來的單位

17、脈沖響應(yīng)，“窗窗”這這個用詞的含義也就在此。個用詞的含義也就在此。)()()(NdnRnhnh 32ajdajeHdWHe )()()(21R二、加窗對濾波器頻率特性的影響二、加窗對濾波器頻率特性的影響)()()()()(nRnhnwnhnhNdd deWeHeWeHeHjjjjj)()(21)(*)(21)()(RdRd |, 0|,1)()(ccddajjjeeHeHajNjNnnjjeWNeenReW )()2/sin()2/sin()()(R)21(10NR deWeHeHajajj)(Rd)()(21)()(*)(21)()(21)(RR WHdWHHdd 圖圖6-9 矩形窗矩形窗對

18、理想低通幅度特性的影響對理想低通幅度特性的影響34吉布斯（吉布斯（Gibbs）效應(yīng)）效應(yīng) 由于對由于對hd(n) 截短，導(dǎo)致了所設(shè)計濾波器幅頻特性的起截短，導(dǎo)致了所設(shè)計濾波器幅頻特性的起伏波動，波動的幅度伏波動，波動的幅度強弱完全取決于窗函數(shù)的類型強弱完全取決于窗函數(shù)的類型，而，而與窗與窗的寬度的寬度N無關(guān)無關(guān)。這種現(xiàn)象稱為。這種現(xiàn)象稱為吉布斯（吉布斯（Gibbs）效應(yīng)）效應(yīng)。-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51N=7N=21N=51N=1

19、01361.加矩形窗對濾波器頻響產(chǎn)生的影響加矩形窗對濾波器頻響產(chǎn)生的影響 （1）出現(xiàn)出現(xiàn)過渡帶過渡帶，寬度等于，寬度等于WR()的主瓣寬度（對于的主瓣寬度（對于矩形窗矩形窗 ）；）； （2）通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生波動通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生波動，其其振蕩幅度取決于旁瓣振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度的相對幅度。 2.對窗函數(shù)的要求對窗函數(shù)的要求p主瓣寬度小主瓣寬度小，以獲得較陡的過渡帶；，以獲得較陡的過渡帶；p與主瓣的幅度相比，旁瓣應(yīng)盡可能小，與主瓣的幅度相比，旁瓣應(yīng)盡可能小，把能量盡量集中在把能量盡量集中在主瓣中主瓣中，以減小通帶和阻帶中的波紋幅度。，以減小通帶和阻帶中的波紋幅度。N/4 37三、常用窗函數(shù)三

20、、常用窗函數(shù) （1）矩形窗）矩形窗 )1(21)2/sin()2/sin()()()( NjjRjRNReNeWeWnRnW（主瓣寬度：主瓣寬度： N438 （2）升余弦窗（）升余弦窗（漢漢寧窗寧窗Hanning Window）10)()12cos(121)()2()2(25. 0)(5 . 0)12()12(25. 0)(5 . 0)( NnnRNnnwNWNWWNWNWWWNRRRRRR 轉(zhuǎn)換成時域為：轉(zhuǎn)換成時域為：主瓣寬度：主瓣寬度： N839 （3）改進的升余弦窗（）改進的升余弦窗（漢漢明明Hamming窗）窗）10)()12cos(46. 054. 0)(%99.963)2()2(2

21、3. 0)(54. 0)12()12(23. 0)(54. 0)( NnnRNnnwNWNWWNWNWWWNRRRRRR 轉(zhuǎn)換成時域為：轉(zhuǎn)換成時域為：瓣內(nèi)。瓣內(nèi)。的能量集中在窗譜的主的能量集中在窗譜的主可將可將主瓣寬度：主瓣寬度： N840 （4）二階升余弦窗（布萊克曼）二階升余弦窗（布萊克曼Blackman窗）窗）10)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)()14()14(04. 0)12()12(25. 0)(42. 0)( NnnRNnNnnwNWNWNWNWWWNRRRRR 轉(zhuǎn)換成時域為：轉(zhuǎn)換成時域為：主瓣寬度：主瓣寬度： N12410510152025303

22、540455000.81HammingBlackman圖圖6-10 常用窗函數(shù)的時域波形常用窗函數(shù)的時域波形00.81-120-100-80-60-40-20000.81-120-100-80-60-40-20000.81-120-100-80-60-40-20000.81-120-100-80-60-40-200圖圖6-11 常用窗函數(shù)的頻譜常用窗函數(shù)的頻譜HammingBlackmanRectangleHanning圖圖6-12 理想低通加窗后的幅度響應(yīng)（理想低通加窗后的幅度響應(yīng)（N=51）00.20

23、.40.60.81-120-100-80-60-40-20000.81-120-100-80-60-40-20000.81-120-100-80-60-40-20000.81-120-100-80-60-40-200HammingBlackmanRectangleHanning44 （5）凱塞窗（）凱塞窗（Kaiser Window） 這是一種適應(yīng)性較強的窗，其窗函數(shù)的表示式為這是一種適應(yīng)性較強的窗，其窗函數(shù)的表示式為 式中，式中，I0(x)是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)，是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)， 是一個可是一個可自由選擇的參數(shù)。自由選擇的

24、參數(shù)。 凱塞窗可以在凱塞窗可以在主瓣寬度主瓣寬度和和旁瓣衰減旁瓣衰減之間自由選擇。之間自由選擇。 10)()1/(211()(020 NnINnInw 45表表6-2 凱塞窗的性能凱塞窗的性能 46表表6-3 幾種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較幾種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較 865. 7 要求：要求：熟悉各種熟悉各種窗函數(shù)的技術(shù)指標(biāo)窗函數(shù)的技術(shù)指標(biāo)和和加窗后對濾波特性加窗后對濾波特性的影響的影響，能根據(jù)設(shè)計指標(biāo)正確選擇窗函數(shù)類型及其長度，能根據(jù)設(shè)計指標(biāo)正確選擇窗函數(shù)類型及其長度N。四、窗函數(shù)法設(shè)計線性相位四、窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR濾波器的一般步驟濾波器的一般步驟 為了準(zhǔn)確控制濾為了準(zhǔn)確控制濾波器通帶邊緣，

25、常需波器通帶邊緣，常需進行多次設(shè)計。進行多次設(shè)計。 若若Hd(ej )不能用簡不能用簡單函數(shù)表示，則可用單函數(shù)表示，則可用求求和和運算代替運算代替積分積分運算。運算。48例例 題題 例例6-4 用矩形窗設(shè)計一個線性相位帶通濾波器（1）設(shè)計）設(shè)計N為奇數(shù)時的為奇數(shù)時的h(n)。 （2）設(shè)計）設(shè)計N為偶數(shù)時的為偶數(shù)時的h(n)。 （3）若改用海明窗設(shè)計，求以上兩種形式的）若改用海明窗設(shè)計，求以上兩種形式的h(n)表達式。表達式。其他, 0|,)(00dccajjeeH49 解：解：h(n)=hd(n)R(n) 注意：注意：N取奇、偶，雖然兩個表達式形式完全一樣，但取奇、偶，雖然兩個表達式形式完全一

26、樣，但在在 0nN-1 上的取值上完全不同。上的取值上完全不同。)(cos2)()(sin)(21)(212121)(21)(0)()(00000000 nnnnjenjedeedeedeeHnhcnjnjnjajnjajnjjddcccccccc50 例例 6-5 根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR低通濾波器。低通濾波器。 通帶截止頻率通帶截止頻率 p=0.2 ，通帶允許波動，通帶允許波動Ap=0.25dB； 阻帶截止頻率阻帶截止頻率 s=0.3 ，阻帶衰減，阻帶衰減As=50dB。 解：解：查表查表6-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于可知，海明窗和布拉克曼窗均

27、可提供大于50dB的衰減。的衰減。但海明窗具有較小的過渡帶從而具有較小的長但海明窗具有較小的過渡帶從而具有較小的長度度N。 根據(jù)題意，所要設(shè)計的濾波器的過渡帶為根據(jù)題意，所要設(shè)計的濾波器的過渡帶為 由表由表6-3可知，利用海明窗設(shè)計的濾波器的過渡帶寬可知，利用海明窗設(shè)計的濾波器的過渡帶寬 =8 /N，所以低通濾波器單位脈沖響應(yīng)的長度為，所以低通濾波器單位脈沖響應(yīng)的長度為 1 . 02 . 03 . 0ps 801 . 088 N513 dB通帶截止頻率為通帶截止頻率為 由式（由式（6-29）可知，理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為）可知，理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為海明窗為則所設(shè)計的濾波器的單位

28、脈沖響應(yīng)為 25. 02psc )()(sin)(cd nnnh21 N )(12cos46. 054. 0)(NnRNnnw )(12cos46. 054. 0)()(sin)(NcnRNnnnnh 80 N52例例6-6 用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計FIR低通濾波器低通濾波器設(shè)設(shè)N=11， c=0.2 rad。解：解：Matlab程序如下程序如下%漢寧窗漢寧窗N=11; n=0:1:N-1;Wc=0.2*pi;hd=ideal_lp(Wc,N);w_han=(hanning(N);h=hd.*w_han;db,mag,pha,grd,w=freqz_m(

29、h,1);plot(w/pi,db);%矩形窗矩形窗w_han=(boxcar(N);%布萊克曼窗布萊克曼窗w_han=(blackman(N);53仿真曲線仿真曲線01-140-120-100-80-60-40-20020 Hanning windowrectangle windowblackman window546.4 利用利用頻率采樣法頻率采樣法設(shè)計設(shè)計FIR濾波器濾波器一、一、設(shè)計方法設(shè)計方法 （1）對待設(shè)計的濾波器頻響）對待設(shè)計的濾波器頻響 在在 之間之間等間隔采樣等間隔采樣N點，得到點，得到 （2）將此）將此Hd(k)作為所設(shè)

30、計濾波器頻響的采樣值，即令作為所設(shè)計濾波器頻響的采樣值，即令H(k)= Hd(k)，k=0,1,N-1 （3）對對N點點H(k)求求IDFT，得到，得到h(n)。將。將h(n)代入代入z變換變換或或DTFT公式，可得所設(shè)計濾波器的公式，可得所設(shè)計濾波器的H(z)或或H(ej )。 也可以根據(jù)也可以根據(jù)H(z)或或H(ej )的內(nèi)插公式，的內(nèi)插公式，由由H(k)內(nèi)插恢復(fù)內(nèi)插恢復(fù)出出H(z)及及H(ej ) 。)(d jeH 20 10| )()(2dd NkeHkHkNj 要注意要注意線性相位的約束條件！線性相位的約束條件！55與與窗函數(shù)法窗函數(shù)法比較：比較：（1）1型線性相位型線性相位FIR濾

31、波器濾波器（h(n)=h(N-1-n)，N為奇數(shù)）為奇數(shù)） ，令令 由于由于Hd( )關(guān)于關(guān)于 = 偶對稱偶對稱，Hd( ) =Hd(2 - )，因此，因此Hk也滿足偶對稱也滿足偶對稱的要求。的要求。 相位相位kk)2(d2d)2(| )()( jkNjkNjeHekNHeHkH 二、設(shè)計線性相位濾波器的條件二、設(shè)計線性相位濾波器的條件)(dd)()( jjeHeH 21)( N?k H)11(|212kNkNkN 57（2）其他類型線性相位其他類型線性相位FIR濾波器濾波器 )11(kNk 2)11(k Nk 頻率采樣法設(shè)計比較簡單，所得的系統(tǒng)頻率響應(yīng)頻率采樣法設(shè)計比較簡單，所得的系統(tǒng)頻率響

32、應(yīng)在每個在每個頻率采樣點上嚴格與理想特性一致頻率采樣點上嚴格與理想特性一致，各采樣點之間的頻響則，各采樣點之間的頻響則是由是由各采樣點的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加各采樣點的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。而成。58三、逼近誤差三、逼近誤差 從從時域方面時域方面分析分析 根據(jù)頻域采樣定理，根據(jù)頻域采樣定理，h(n)和和hd(n)的關(guān)系為：的關(guān)系為：由于時域混疊，引起由于時域混疊，引起h(n)和和hd(n)有偏差，可增大有偏差，可增大N來減小。來減小。 從從頻域方面頻域方面分析分析 采樣點處采樣點處H(ej )與理想特性一致，采樣點之間的頻響則與理想特性一致，采樣點之間的頻響則是由各采樣點的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。是由

33、各采樣點的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。逼近誤差和逼近誤差和Hd(ej )的平滑程度有關(guān)。的平滑程度有關(guān)。 rnRrNnhnh)()()(Nd 10)2()()(NkjkNkHeH 內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)59圖 6-17 內(nèi)插后矩形理想特性與梯形特性頻率采樣的響應(yīng) 由圖可見：由圖可見： 誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀。誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀。 理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插（采樣）值越接理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插（采樣）值越接近理想值，逼近誤差越小。近理想值，逼近誤差越小。60四、過渡帶采樣的最優(yōu)設(shè)計四、過渡帶采樣的最優(yōu)設(shè)計 為了提高逼近質(zhì)量，為了提高逼近質(zhì)量，在理想特性不連續(xù)點

34、處人為加入過在理想特性不連續(xù)點處人為加入過渡采樣點（渡采樣點（13個）個），雖然加寬了過渡帶，但，雖然加寬了過渡帶，但緩和了邊緣上緩和了邊緣上兩采樣點之間的突變兩采樣點之間的突變，將有效的減少起伏振蕩，提高阻帶衰將有效的減少起伏振蕩，提高阻帶衰減。減。 過渡點的值，可由計算機通過線性最優(yōu)化技術(shù)來確定。過渡點的值，可由計算機通過線性最優(yōu)化技術(shù)來確定。 例例6-8 利用頻率采樣法設(shè)計一個線性相位利用頻率采樣法設(shè)計一個線性相位FIR低通濾波低通濾波器，已知器，已知 （1）采樣點數(shù)）采樣點數(shù)N=33， c= /2； （2）采樣點數(shù)）采樣點數(shù)N=34， c= /2 ，設(shè)置兩個過渡點，設(shè)置兩個過渡點|H1

35、(k)|=0.5925， |H2(k)|=0.1099。 解：解：（1）首先選擇濾波器的種類。由于要設(shè)計的是低首先選擇濾波器的種類。由于要設(shè)計的是低通，且通，且N為奇數(shù)，故選擇為奇數(shù)，故選擇1型濾波器，于是有型濾波器，于是有由由 ，確定通帶內(nèi)的采樣點數(shù)，確定通帶內(nèi)的采樣點數(shù) 取整數(shù)取整數(shù)k=8，應(yīng)在通帶內(nèi)設(shè)置，應(yīng)在通帶內(nèi)設(shè)置9個采樣點（個采樣點（k=08），第），第10個采樣點已在通帶截止頻率個采樣點已在通帶截止頻率之外，處于阻帶內(nèi)。之外，處于阻帶內(nèi)。kN 2c k3322 433 k)320,1(k,3332)11(k kNk62 根據(jù)根據(jù)Hk=HN-k，可得，可得Hk為為因此因此 將將H(

36、k)代入代入 內(nèi)插公式即得所設(shè)計濾波器的頻率響內(nèi)插公式即得所設(shè)計濾波器的頻率響應(yīng)。應(yīng)。 249, 03225, 80, 1kkkkH 249, 03225, 80,)(3332kkkekHkj )( jeH （2）選擇濾波器的種類。由于要設(shè)計的是低通，）選擇濾波器的種類。由于要設(shè)計的是低通，且且N為為偶數(shù)，故選擇第偶數(shù)，故選擇第2類濾波器類濾波器，于是有，于是有由由 ，確定通帶內(nèi)的采樣點數(shù)，確定通帶內(nèi)的采樣點數(shù) 取整數(shù)取整數(shù)k=8，應(yīng)在通帶內(nèi)設(shè)置，應(yīng)在通帶內(nèi)設(shè)置9個采樣點（個采樣點（k=08），第），第10個采樣點已在通帶截止頻率個采樣點已在通帶截止頻率之外，可之外，可將將第第10、11點設(shè)為

37、過點設(shè)為過渡點渡點。 根據(jù)根據(jù)Hk=-HN-k，可得，可得Hk為為 Hk=1(k=08)，0.5925(k=9)，0.1099(k=10), -0.1099(k=24), -0.5925(k=25)，-1(k=2633)，0(其它其它)kN 2c k3422 434 k)330,1(k,3433)11(k kNk6465因此因此 將將H(k)代入代入 內(nèi)插公式即得所設(shè)計濾波器的頻率響內(nèi)插公式即得所設(shè)計濾波器的頻率響應(yīng)。應(yīng)。 其他其他,03326,e-25,5925e. 0-24,99e01 . 0-10,e0991 . 09,e5925. 080,e)(k3433jk3433jk3433jk3

38、433jk3433jk3433jkkkkkkkH )( jeH66 例例6-9 要求編程實現(xiàn)例題要求編程實現(xiàn)例題6-8中所要求的內(nèi)容。中所要求的內(nèi)容。 解：解：Matlab主要程序主要程序%過渡帶不設(shè)置采樣點過渡帶不設(shè)置采樣點N=33;alpha=(N-1)/2;k=0:N-1;wk=(2*pi/N)*k;Hk=ones(1,9),zeros(1,16),ones(1,8);Hd=1,1,0,0;wd=0,0.5,0.5,1;angH=-alpha*(2*pi)/N*k;H=Hk.*exp(i*angH);h=real(ifft(H,N);db,mag,pha,grd,w=freqz_m(h,

39、1);Hr,ww,a,L=Hr_Type1(h);subplot(2,2,1);plot(ww/pi,Hr,wk(1:17)/pi,Hk(1:17),o,wd,Hd);axis(0,1,-0.5,1.2);subplot(2,2,2);plot(w/pi,db);axis(0,1,-100,10);grid仿真曲線仿真曲線00.81-0.500.50.81-100-80-60-40-20000.81-0.500.50.81-100-80-60-40-200686.5 FIR濾波器和濾波器和IIR濾波器的比較濾波器的

40、比較 前面討論了前面討論了IIR和和FIR兩種濾波器傳輸函數(shù)的設(shè)計方法。兩種濾波器傳輸函數(shù)的設(shè)計方法。這兩種濾波器究竟各自有什么特點？在實際運用時應(yīng)該怎樣這兩種濾波器究竟各自有什么特點？在實際運用時應(yīng)該怎樣去選擇它們呢？去選擇它們呢？ 為此對這兩種濾波器作一簡單的比較。為此對這兩種濾波器作一簡單的比較。 1.從性能上比較從性能上比較 2.從結(jié)構(gòu)上比較從結(jié)構(gòu)上比較 3.從設(shè)計工具上比較從設(shè)計工具上比較691.1.從性能上進行比較從性能上進行比較pIIR濾波器濾波器 傳輸函數(shù)的極點可位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此傳輸函數(shù)的極點可位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可用可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯

41、單元少，所以經(jīng)濟較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，所以經(jīng)濟而效率高而效率高。但是這個高效率是以相位的非線性為代價的。選。但是這個高效率是以相位的非線性為代價的。選擇性越好，則擇性越好，則相位非線性越嚴重相位非線性越嚴重。pFIR濾波器濾波器 可以得到可以得到嚴格的線性相位嚴格的線性相位，然而由于，然而由于FIR濾波器傳輸函濾波器傳輸函數(shù)的極點固定在原點，所以只能數(shù)的極點固定在原點，所以只能用較高的階數(shù)達到高的選擇用較高的階數(shù)達到高的選擇性性；對于同樣的濾波器設(shè)計指標(biāo)，；對于同樣的濾波器設(shè)計指標(biāo)，F(xiàn)IR濾波器所要求的階數(shù)濾波器所要求的階數(shù)可以比可以比IIR濾波器高濾波器高5-10倍倍，結(jié)果，成本較高，信號延時也，結(jié)果，成本較高，信號延時也較大。較大。702.2.從結(jié)構(gòu)上進行比較從結(jié)構(gòu)上進行比較pIIR濾波器濾波器 必須采用必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點位置必須在單位圓內(nèi)，否則系遞歸結(jié)構(gòu)，極