彈性力學試題參考答案

1、彈性力學試題參考答案（答題時間：100100 分鐘）、填空題（每小題 4 4 分）1 1 . .最小勢能原理等價于彈性力學基本方程中：平衡微分方程,應力邊界條件。2 2 . .一組可能的應力分量應滿足：平衡微分方程,相容方程（變形協(xié)調(diào)條件）。3 3 . .等截面直桿扭轉問題中，2JJD中dxdy=M的物理意義是桿端截面上剪應力對轉軸的矩等于桿截面內(nèi)的扭矩M M。4 4 . .平面問題的應力函數(shù)解法中，AiryAiry 應力函數(shù)中在邊界上值的物理意義為邊界上某一點（基準點）到任一點外力的矩。5 5 . .彈性力學平衡微分方程、幾何方程的張量表示為：1Z、5j,j+Xi=0，號j=2（u,j+山口

2、。、簡述題（每小題 6 6 分）1 1 . .試簡述力學中的圣維南原理，并說明它在彈性力學分析中的作用。圣維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢與主矩相同），則近處的應力分布將有顯著的改變，但遠處的應力所受影響可以忽略不計。作用：（1 1）將次要邊界上復雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2 2）將次要的位移邊界條件轉化為應力邊界條件處理。2 2 . .圖示兩楔形體，試分別用直角坐標和極坐標寫出其應力函數(shù)中的分離變量形式題二（2 2）圖/*(x,y)=ax2+bxy+cy2(a)(a), ,Y(r)=r2f(日)中(x,y)=ax3+bx2y

3、+cxy2+dy3(b)f(r9)=r3f(曾3.3.圖示矩形彈性薄板，沿對角線方向作用一對拉力P,P,板的幾何尺寸如圖，材料的彈性模量 E E、泊松比 N N 已知。試求薄板面積的改變量ASo題二（3 3）圖設當各邊界受均布壓力 q q 時，兩力作用點的相對位移為l=；a2b2設板在力P作用下的面積改變?yōu)锳S,由功的互等定理有:q.S二P將Al代入得：c1-22.S=Pa2b2E顯然，ASAS 與板的形狀無關，僅與 E E、N N、1 1 有關。4 4 .圖示曲桿，在r=b邊界上作用有均布拉應力 q,q,在自由端作用有水平集中力 P P。試寫出其邊界條件(除固定端外)(2)(2)b；;如-p

4、cosu,ydr=-Pcosa2b5 5 . .試簡述拉甫(Love)Love)位移函數(shù)法、伽遼金(GalerkinGalerkin) )位移函數(shù)法求解空間彈性力學問題的基本思想，并指出各自的適用性LoveLove、GalerkinGalerkin 位移函數(shù)法求解空間彈性力學問題的基本思想：(1)(1)變求多個位移函數(shù)u(x,y),v(x,y),w(x,y)或ur(r,),u日(r,日)為求一些特殊函數(shù)， 如調(diào)和函數(shù)、 重調(diào)和函數(shù)。(2)(2)變求多個函數(shù)為求單個函數(shù)(特殊函數(shù))。適用性：LoveLove 位移函數(shù)法適用于求解軸對稱的空間問題；GalerkinGalerkin 位移函數(shù)法適用于

5、求解非軸對稱的空間問題。三、計算題1.1.圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為 d d 的集中力作用，單位寬度上集中力的值為 P,P,設間距 d d 很小Al。由名=1(1吶得,(1)(1)r=b=q，川土=0;bdr=Psin二a-(3)(3)題二(4)4)圖試求其應力分量，并討論所求解的適用范圍。（提示：取應力函數(shù)為邛=Asin2日+Be）(13(13 分)解：:d很小，:M=Pd,可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M的情形。將應力函數(shù)中（r,e）代入，可求得應力分量:1:114+-AAAz-Asin2a；rrr22r2工(2Acos21B)r邊界條件：(1)(1)仃/日 2 2

6、0 0=0,Tr r0L0L0 0=0;仃4日5=0，d日5=0r-0r田rr-0代人應力分量式，有1(2A+B)=0或2A+B=0(1)(1)r由該脫離體的平衡，得n：二子&M-0-2將06代入并積分，有91.2.2-2(2Acos2B)rdM=0,一2rAsin20+B%+M=0得Bn+M=02聯(lián)立式（1 1）、（2 2）求得：B=-M=-Pd,A二四二二2-代入應力分量式，得R-一22cr（2 2）取一半徑為 r r 的半圓為脫離體，邊界上受有:仃r r, ,T Tr rg,g,和 M M= =PdPd題三（1 1）圖二r2結果的適用性：由于在原點附近應用了圣維南原理，故此結果在

7、原點附近誤差較大，離原點較遠處可適用。2.2.圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應力x x 由材料力學公式給出，試由平衡微分方程求出并檢驗該應力分量能否滿足應力表示的相容方程。I：x其中，X=0,丫=0。將式（1 1）代入式（2 2）, ,有2Pdsin2-2Pdsin2-(12(12 分)解：（1 1）求橫截面上正應力任意截面的彎矩為Mq（）61（2 2） 由平衡微分方程求xy平衡微分方程:題三（2 2）3x,截面慣性矩為h312,由材料力學計算公式有My2q。1h3(1)(1)x；-yx:yX=0積分上式，得xy利用邊界條件:xyy母=0，有6q3q03x41h32h2f1(x)-

8、0-y3q01h31h3x2y2fi(x)fi(x)=3q041h32.2xhxy3q02/2MX”4h2)(4)(4)將式（4 4）代入式（3),3),有積分得理x(ylh3124h)=0二y二二y或fy6q0/23x(ylh3124h)-y粵Flh334h2y)f2(x)利用邊界條件:q0h=一丁x，y=-2ly=h=0得:L6q0/h31.3q0-px(W8h)f2(x)=1x-粵x(%1h3)+f2(x)=0lh32482由第二式，得將其代入第一式，得q0Tx自然成立。將f2（x）代入仃y的表達式，有6q（）lh33_/y1/、q。x(hy)-34)2lx(5)(5)所求應力分量的結果

9、:?xMy一I一2q。lh3xy3q02/2=”y4h2)(6)(6)lh31j2、q0hy)x4)2l校核梁端部的邊界條件：（1 1）梁左端的邊界（x x=0=0）: :hh作仃XxJy=0,fhTxydy=0代入后可見：自然滿足rx-fx-（2 2）梁右端的邊界（x=lx=l）: :可見，所有邊界條件均滿足。檢驗應力分量ix,Txy,cry是否滿足應力相容方程:常體力下的應力相容方程為-2_22（二x.二y）=（F,）（二x.0y）=0二x二y將應力分量 crcrx x, ,7 7y y, ,0 0y y式（6 6）代入應力相容方程，有（仃+CT）_12q0 xy-（仃+仃）_12q0-2

10、（-x-y）-I,3xy，-2（-x-y）.3xy:xlhtylh、2Gx二y）=（二二）（二x；y）魯xy=0二x二ylh顯然，應力分量x,7y,by不滿足應力相容方程，因而式（6 6）并不是該該問題的正確解。3.3.一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為 l,l,抗彎剛度 EIEI 為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為 koko 梁受有均勻分布載荷 q q 作用，如圖所示。試：（1 1）構造兩種形式（多項式、三角函數(shù)）的梁撓度試函數(shù)w（x）;（2 2）用最小勢能原理或 RitzRitz 法求其多項式形式的撓度近似解（取 1 1 項待定系數(shù)）。xdyh2q0 x34-lh3ydyxx/yh2h2

11、3qxlh3（yh2）dyx4qlTh2xydy=.hT2qOx3lh3x4dy一過3lh3h23yhFql2h此時有:,、2,.2、w(x)=x(A+A2x+Ajx+,)-2、2-一、w(x)=2x(Ai+A2x+A3x+)+x(A2+A3x+)nw(x)八Am(1-cosm4即滿足梁的端部邊界條件。梁的總勢能為取：w(x)=A1x2,有2dw22=2A1，w(l)=Aldx代人總勢能計算式，有1l一2l2122萬(EI(2A)2dx-qx2Adx+3k(Al2)22qA3=2EIlA；1l334EI1AlkA1l4AqA1_43(4EIlkl4)代入梁的撓度試函數(shù)表達式，得一次近似解為解：

12、兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為,、22、w(x);x(A,A2xA3x)多項式函數(shù)形式2m二xw(x)Am(1-cosm1l二角函數(shù)形式2m二x二0nw(x)=、Amm4l2m二x一sin2m二二0.0qw(x)dx；kWF1kA12l422dx-l0EIw(x)二ql33(4EIlkl4)4.4.已知受力物體內(nèi)某一點的應力分量為:仃x=0,仃y=2MPa,仃z=1MPa,xy=1MPa,Eyz=0,29=2.64MPa11彈性力學課程考試試卷、簡述題(4040 分)1.1.試敘述彈性力學兩類平面問題的幾何、受力、應力、應變特征，并指出兩類平面問題中彈性常數(shù)間的轉換關系。2.2.彈性力學問題按應

13、力和位移求解，分別應滿足什么方程?3.3.寫出直角坐標下彈性力學平面問題的基本方程和邊界條件?題號一二三四五總分得分考試時間：120120 分鐘考試方式： 開卷任課教師：楊靜日期： 20072007年 4 4 月 2828 日姓名:建筑與土木工程學號:工程領域:zx=2MPax3yz=1(12(12 分)解：由平面方程x：3y：z =1,得其法線方向單位矢量的方向余弦為,1232121113m二,123212,1232121,11210=LT-0111210。1M11343，11I1,4.4.寫出彈性力學按應力求解空間問題的相容方程。5.5.求解彈性力學問題時，為什么需要利用圣維南原理?6.6

14、.試敘述位移變分方程和最小勢能原理，并指出他們與彈性力學基本方程的等價性7.7.試判斷下列應變場是否為可能的應變場？(需寫出判斷過程)%=C(x+y),%Cy,xy=2Cxy8.8.試寫出應力邊界條件:(1)(1)(a)(a)圖用極坐標形式寫出;hP:Ox（a a）圖、計算題（1515 分）已知受力物體中某點的應力分量為：jx=,cry=2a,crz=a,Txy=a,7yz=，Tzx=2a。試求作用在過此點的平面x+3y+z=1上的沿坐標軸方向的應力分量，以及該平面上的正應力和切應力。三、計算題（1515 分）圖示矩形截面懸臂梁，長為l,高為h,在左端面受力P作用。不計體力，試求梁的應力分量。

15、（試取應力函數(shù)邛=Axy3+Bxy)五、計算題（1515 分）如圖所示的懸臂梁，其跨度為1?？箯潉偠葹镋I,在自由端受集中力二x、（設梁的撓度曲線w=A（1-cos）21(b)(b)圖四、計算題（1515 分）圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d d 的集中力作用，單位寬度上集中力的值為 P,P,設間距 d d 很小。試求其應力分量，并討論所求解的適用范圍。（試取應力函數(shù)AAAsin20+B0）P作用。試用最小勢能原理求最大撓度。（2）（b）圖用直角坐標形式寫出1010彈性力學試題(答題時間：120120 分鐘)班級姓名學號題號一二三總分(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(

16、4)得分、填空題(每小題 4 4 分)1 1 . .用最小勢能原理求解時所假設的位移試函數(shù)應滿足：。2 2 . .彈性多連體問題的應力分量應滿足,。3 3 . .拉甫(Love)(Love)位移函數(shù)法適用空間問題；伽遼金(Galerkin)(Galerkin)位移函數(shù)法適用于4 4 . .圣維南原理的基本要點有,。5 5 . .有限差分法的基本思想為：,。、簡述題(每小題 5 5 分)1 1 . .試比較兩類平面問題的特點，并給出由平面應力到平面應變問題的轉換關系。2 2 . .試就下列公式說明下列問題：(1)(1)單連體問題的應力分量與材料的彈性常數(shù)無關；(2)(2)多連體彈性力學問題中應力

17、分量與彈性常數(shù)無關的條件。,x+Qy=2，(z)+W(z)=4ReQ(z)仃y-3+2iixy=2&W(z)+W(z)1Nm，-cp1(z)=-L(Xk+iYk)ln(z-zk)+(z)8n3m-I(Z)-3(Xk-iYk)ln(z-zk)-1.(z)8二一式中：叫仁工(z)均為解析函數(shù)；Q*(z),中仔(z)均為單值解析函數(shù)。3.3.試列寫圖示半無限平面問題的邊界條件空間問題。題二（3 3）圖4 4 . .圖示彈性薄板，作用一對拉力 PoPo 試由功的互等定理證明：薄板的面積改變量 ASAS 與板的形狀無關，僅與材料的彈性模量 E E、泊松比 R R、兩力 P P 作用點間的距離 l

18、 l 有關。題二（4 4）圖5 5 . .下面給出平面問題（單連通域）的一組應變分量，試判斷它們是否可能,=C(x2y2),=Cy2,xy=2Cxy6 6 . .等截面直桿扭轉問題的應力函數(shù)解法中，應力函數(shù)中（x,y）應滿足:式中：G G 為剪切彈性模量；K K 為桿件單位長度扭轉角。試說明該方程的物理意義、計算題1.1.圖示無限大薄板，在夾角為 9090。的凹口邊界上作用有均勻分布剪應力=r2(Acos2iB)不計體力，試求其應力分量。2.2.圖示矩形截面桿，長為 l,l,截面高為 h,h,寬為單位 1,1,受偏心拉力 N,N,偏心距為 e,e,不計桿的體力。試用應力函數(shù)平=Ay3+By2求桿的應力分量，并與材料力學結果比較（1212 分）q q。已知其應力函數(shù)為:(13(13 分)1111題三（1 1）圖題三（2 2）圖3 3 . .圖示簡支梁，其跨度為 1,1,抗彎剛度 EIEI 為常數(shù)，受有線性分布載荷 q q 作用。