《數(shù)學(xué)模型》淋雨模型

1、淋雨量模型淋雨量模型 要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快淋雨量越少。 將人體簡化成一個長方體，高a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m，設(shè)跑步的距離d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量=2cm/h，及跑步速度為v， 情形1、不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計跑完全程的總淋雨量;問題問題提出提出問題問題分析分析 情形2、雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖1.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨里最少。計算

2、=0，=30的總淋雨量. 情形3、雨從背面吹來，雨線方向跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖2.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最小。計算=30的總淋雨量. 淋雨量是指人在雨中行走時全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時間的乘積?？傻茫?淋雨量（V）=降雨量（）人體淋雨面積（S）淋浴時間（t） 時間（t）=跑步距離（d）人跑步速度（v） 由 得： 淋雨量（V）=Sd/v （1）、將人體簡化成一個長方體，高a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m.設(shè)跑步距離d=1000m，跑步最大

3、速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量=2cm/h，記跑步速度為v； （2）、假設(shè)降雨量到一定時間時，應(yīng)為定值； （3）、此人在雨中跑步應(yīng)為直線跑步； （4）、降雨地區(qū)是地面是平面且不考慮分的因素； （5）、降雨時，雨在空中是均勻分布的。模型模型假設(shè)假設(shè)情形1建立及求解： 設(shè)不考慮雨的方向，降雨淋遍全身，則淋雨面積： S2ab+2ac+bc 雨中奔跑所用時間為：t=d/v 總降雨量 VSd/v 2cm/h=210-2/3600 (m/s) 將相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型中，可解得： S2.2（） V0.00244446 (cm)=2.44446 (L)模型模型建立建立求解求解情形2建立及求解： 若雨

4、從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為.，則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和前部淋雨量. （如圖1）設(shè)雨從迎面吹來時與人體夾角為. ，且 090，建立a，b，c，d，u，之間的關(guān)系為：（1）、考慮前部淋雨量：（由圖可知）雨速的水平分量為 且方向與v相反，故人相對于雨的水平速度為： 則前部單位時間單位面積淋雨量為： 又因為前部的淋雨面積為： ，時間為： d/v 于是前部淋雨量V2為 ： 即： sinuvsinuu/vsinu）（bav/du/vsinuV2ba vu/vsinuaV2db （2）、考慮頂部淋雨量：（由圖可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且與v無關(guān)，所以頂部單位

5、時間單位面積淋雨量為 ，頂部面積為 ，淋雨時間為 ，于是頂部淋雨量為： 由可算得總淋雨量 : coscbv/dv/cosbV1dc vu/vsinuav/coscbVVV21dbd代入數(shù)據(jù)求得： 由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。v1800v875. 1sin5 . 7cosV對函數(shù)V（v）求導(dǎo)，得： 顯然： 0對式求導(dǎo)，易知 u sin時，且090，對式求導(dǎo)， 解得： ()、當(dāng)1.5sin0.2 cos0時，即 ：tan2/15,即V0時，即 ：tan2/15,即V0；從而推出，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而增加，所以，當(dāng)速度（v）取最小，即v=u sin 總淋雨量最小。 當(dāng)30，tan2/15 ，由模型分析的，當(dāng)v=u sin=41/2=2（m/s）總淋雨量最小，且V=0.0002405（m）=0.2405(L)2v180cos2 . 0sin5 . 1V）（ （1）在該模型中考慮到雨的方向問題，這個模型跟模型二相似，將模型二與模型三綜合起來跟實(shí)際的生活就差不多很相似了 。 由這三個模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。