第三章 誤差的合成與分配

1、本章闡述了函數(shù)誤差、誤差合成與分配的基本方法，并討論了微小誤差的取舍、最佳測(cè)量方案的確定等問題 。通過本章的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)掌握函數(shù)系統(tǒng)誤差和函數(shù)隨機(jī)誤差的計(jì)算以及誤差的合成和分配。前面討論的主要是直接測(cè)量的誤差計(jì)算問題，但在有些情況下，由于被測(cè)對(duì)象的特點(diǎn)，不能進(jìn)行直接測(cè)量，或者直接測(cè)量難以保證測(cè)量精度，需要采用間接測(cè)量。n間接測(cè)量是通過直接測(cè)量與被測(cè)的量之間有一定函數(shù)關(guān)系的其他量，按照已知的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出被測(cè)的量。因此間接測(cè)量的量是直接測(cè)量所得到的各個(gè)測(cè)量值的函數(shù)，而間接測(cè)量誤差則是各個(gè)直接測(cè)得值誤差的函數(shù)，故稱這種誤差為函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差的內(nèi)容，實(shí)質(zhì)上就是研究誤差的傳遞問題，而對(duì)于這種具

2、有確定關(guān)系的誤差計(jì)算，也有稱之為誤差合成。間接測(cè)量間接測(cè)量 函數(shù)誤差函數(shù)誤差 間接測(cè)得的被測(cè)量誤差也應(yīng)是直接測(cè)得量及其誤差的函數(shù)，故稱這種間接測(cè)量的誤差為函數(shù)誤差函數(shù)誤差 通過直接測(cè)得的量與被測(cè)量之間的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出被測(cè)量 一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算一、函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算間接測(cè)量的數(shù)學(xué)模型 12( ,.,)nyf x xx 與被測(cè)量有函數(shù)關(guān)系的各個(gè)直接測(cè)量值 y 間接測(cè)量值12,nx xx求上述函數(shù) y 的全微分，其表達(dá)式為：nndxxfdxxfdxxfdy2211 和 的量綱或單位不相同，則 起到誤差單位換算的作用 和 的量綱或單位相同，則 起到誤差放大或縮小的作用由 y 的全微分，函數(shù)系統(tǒng)誤差 的

3、計(jì)算公式y(tǒng)1212.nnfffyxxxxxx 為各個(gè)輸入量在該測(cè)量點(diǎn) 處的誤差傳遞系數(shù) (1,2, )ifx in12( ,)nx xxixyifxixyifx幾種簡(jiǎn)單函數(shù)的系統(tǒng)誤差幾種簡(jiǎn)單函數(shù)的系統(tǒng)誤差 1、線性函數(shù)1 122.nnya xa xa x1122.nnyaxaxax 12.nyxxx 1ia 2、三角函數(shù)形式 12sin,.,nf x xx11cosniiifxx12cos,.,nf x xx11sinniiifxx系統(tǒng)誤差公式當(dāng) 當(dāng)函數(shù)為各測(cè)量值之和時(shí)，其函數(shù)系統(tǒng)誤差亦為各個(gè)測(cè)量值系統(tǒng)誤差之和 【例】 用弓高弦長(zhǎng)法間接測(cè)量大工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡尺量得弓高 h

4、= 50mm ，弦長(zhǎng)l = 500mm。已知，弓高的系統(tǒng)誤差 h = -0.1mm , 玄長(zhǎng)的系統(tǒng)誤差 l = 1mm 。試問車間工人測(cè)量該工件直徑的系統(tǒng)誤差，并求修正后的測(cè)量結(jié)果。 【解】建立間接測(cè)量大工件直徑的函數(shù)模型 24lDhhD2lh 不考慮測(cè)量值的系統(tǒng)誤差，可求出在 處的直徑測(cè)量值 50mmh 500mml 201300mm4lDhh車間工人測(cè)量弓高 h 、弦長(zhǎng) l 的系統(tǒng)誤差 5050.10.1mmh 5004991mml 直徑的系統(tǒng)誤差: 7.4mmffDlhlh 500522 50fllh2222500112444 50flhh 故修正后的測(cè)量結(jié)果: 013007.41292

5、.6mmDDD計(jì)算結(jié)果：計(jì)算結(jié)果：誤差傳遞系數(shù)為: 例例: 用雙圓球法檢定高精度內(nèi)錐角用雙圓球法檢定高精度內(nèi)錐角，如圖如圖,已知已知:測(cè)得尺寸及系統(tǒng)誤差為:求檢定結(jié)果。解：根據(jù)圖所示的測(cè)量方法，可得函數(shù)關(guān)系式若不考慮測(cè)得值的系統(tǒng)誤差，則計(jì)算出的角度值0為角度的系統(tǒng)誤差為式中各個(gè)誤差傳遞函數(shù)為將已知各誤差值及誤差傳遞系數(shù)代人角度的系統(tǒng)誤差式，得 將所求得的角度系統(tǒng)誤差修正后，則得被檢內(nèi)錐角的實(shí)際值為 隨機(jī)誤差是用表征其取值分散程度的標(biāo)準(zhǔn)差來評(píng)定的，對(duì)隨機(jī)誤差是用表征其取值分散程度的標(biāo)準(zhǔn)差來評(píng)定的，對(duì)于函數(shù)的隨機(jī)誤差，也是用函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來進(jìn)行評(píng)定。于函數(shù)的隨機(jī)誤差，也是用函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來進(jìn)行評(píng)定。

6、因此，因此，函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算，函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算， 就是研究函數(shù)就是研究函數(shù)y y的標(biāo)準(zhǔn)差與各測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差與各測(cè)量值x1，x2，xn 的標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系。但在式的標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系。但在式(3-1)(3-1)中，若以各測(cè)中，若以各測(cè)量值的隨機(jī)誤差量值的隨機(jī)誤差x1，x2，xn 代替各微分量代替各微分量dx1，dx2，dxn，只能得到函數(shù)的隨機(jī)誤差只能得到函數(shù)的隨機(jī)誤差y，而得不到函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，而得不到函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差y。因此，必須進(jìn)行運(yùn)算處理，以求得函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，必須進(jìn)行運(yùn)算處理，以求得函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。二、函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算二、函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 12( ,.,)nyf x xx變量

7、中只有隨機(jī)誤差泰勒展開，并取其一階項(xiàng)作為近似值函數(shù)的一般形式 1122(,)nnyyf xx xxxx121212(,.,)nnnfffyyf x xxxxxxxx得到 1212nnfffyxxxxxx即：可得：2222222121122nyxxxnijijnijfffffDxxxxx 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算 或 第i個(gè)直接測(cè)得量 的標(biāo)準(zhǔn)差 xiix 第i個(gè)測(cè)量值和第j個(gè)測(cè)量值之間的相關(guān)系數(shù) ij 第i個(gè)測(cè)量值和第j個(gè)測(cè)量值之間的協(xié)方差 ijijxixjD 第i個(gè)直接測(cè)得量 對(duì)間接量 在該測(cè)量點(diǎn) 處的誤差傳

8、遞系數(shù) ifxixy12( ,)nx xx22222221212yxxxnnfffxxx2222221212yxxxnnfffxxx或0ijijD相互獨(dú)立的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算相互獨(dú)立的函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算若各測(cè)量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，相關(guān)項(xiàng) iifax令2222221122yxxnxnaaa則 當(dāng)各個(gè)測(cè)量值的隨機(jī)誤差都為正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差用極限誤差代替，可得函數(shù)的極限誤差公式 2222221122yxxnxnaaa 第i個(gè)直接測(cè)得量 的極限誤差 xiix三角形式的函數(shù)隨機(jī)誤差公式三角形式的函數(shù)隨機(jī)誤差公式2222222121cos1xnnxxxfxfxf1） 正弦函數(shù)形式為: 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為：

9、nxxxf,sin212） 余弦函數(shù)形式為: 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： nxxxf,cos21三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算3） 正切函數(shù)形式為: 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： nxxxf,tan2122222221212cosxnnxxxfxfxf4） 余切函數(shù)形式為: 函數(shù)隨機(jī)誤差公式為： nxxxf,cot2122222221212sinxnnxxxfxfxf2222222121sin1xnnxxxfxfxf【解】【解】【例】【例】 用弓高弦長(zhǎng)法間接測(cè)量大工件直徑。如圖所示，車間工人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦長(zhǎng)l = 500mm。已知，弓高的系統(tǒng)誤差 h = -0.1mm ,

10、玄長(zhǎng)的系統(tǒng)誤差 l = 1mm 。試求測(cè)量該工件直徑的標(biāo)準(zhǔn)差，并求修正后的測(cè)量結(jié)果。已知： ，0.005mmh0.01mml2222222224()()50.01240.005169 10 mmDlhfflh0.13mmD有修正后的測(cè)量結(jié)果 01292.6mmDDD0.13mmD若用直徑的極限誤差表示測(cè)量結(jié)果，則若用直徑的極限誤差表示測(cè)量結(jié)果，則 所求直徑的最后結(jié)果為所求直徑的最后結(jié)果為已知：已知： 相關(guān)系數(shù)對(duì)函數(shù)誤差的影響相關(guān)系數(shù)對(duì)函數(shù)誤差的影響 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 反映了各隨機(jī)誤差分量相互間的線性關(guān)聯(lián)對(duì)函數(shù)總誤差的影響 2222

11、221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa0ij1ij 函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與各隨機(jī)誤差分量標(biāo)準(zhǔn)差之間具有線性的傳播關(guān)系 函數(shù)隨機(jī)誤差公式ij當(dāng)相關(guān)系數(shù) 時(shí)當(dāng)相關(guān)系數(shù) 時(shí)2 2、 相關(guān)系數(shù)估計(jì)相關(guān)系數(shù)估計(jì)相關(guān)系數(shù)的確定相關(guān)系數(shù)的確定可判斷 的情形 0ij 斷定 與 兩分量之間沒有相互依賴關(guān)系的影響 ixjx 當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量呈正負(fù)交替變化，反之亦然 與 屬于完全不相干的兩類體系分量，如人員操作引起的誤差分量與環(huán)境濕度引起的誤差分量 ixjx 與 雖相互有影響，但其影響甚微，視為可忽略不計(jì)的弱相關(guān) ixjx可判斷 或 的情形 斷定 與 兩分量間近似呈現(xiàn)正的線性關(guān)系或負(fù)的線

12、性關(guān)系 ixjx當(dāng)一個(gè)分量依次增大時(shí)，引起另一個(gè)分量依次增大或減小，反之亦然 與 屬于同一體系的分量，如用1m基準(zhǔn)尺測(cè)2m尺，則各米分量間完全正相關(guān) ixjx1ij 1ij 用多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值(i，i)作圖，將它與標(biāo)準(zhǔn)圖形相比，看它與哪一圖形相近，從而確定相關(guān)系數(shù)的近似值。nnn31cos其中，4321nnnnnn2n3n4n10 根據(jù) 的多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值 ，按如下統(tǒng)計(jì)公式計(jì)算相關(guān)系數(shù) ( ,)ijx x,ikjkxx將多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值將多組測(cè)量的對(duì)應(yīng)值(i，i)在平面坐標(biāo)上作圖，如圖在平面坐標(biāo)上作圖，如圖3-4所示，所示，然后作平行于縱軸的直線然后作平行于縱軸的直線A將點(diǎn)陣左右均分，再作平行

13、于橫軸將點(diǎn)陣左右均分，再作平行于橫軸的直線的直線B將點(diǎn)陣上下均分，并盡量使將點(diǎn)陣上下均分，并盡量使A、B線上無點(diǎn)，于是將點(diǎn)線上無點(diǎn)，于是將點(diǎn)陣分為四部分，設(shè)各部分的點(diǎn)數(shù)分別為陣分為四部分，設(shè)各部分的點(diǎn)數(shù)分別為n1、n2、n3、n4，則可以，則可以證明相關(guān)系數(shù)為證明相關(guān)系數(shù)為22()()( ,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxx xxxxx 、 分別為 、 的算術(shù)平均值 ixjxikxjkx 有些誤差間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)概率論和最小二乘法直接求出。 如果求得兩個(gè)誤差與間為線性相關(guān)，即= a+b，則相關(guān)系數(shù)為 任何測(cè)量結(jié)果都包含有一定的測(cè)量誤差，這是測(cè)量過程中各個(gè)環(huán)節(jié)一系列誤差因

14、素作用的結(jié)果。誤差合成就是在正確地分析和綜合這些誤差因素的基礎(chǔ)上，正確地表述這些誤差的綜合影響。 標(biāo)準(zhǔn)差合成 極限誤差合成解決隨機(jī)誤差的合成問題一般基于標(biāo)準(zhǔn)差方和根合成的方法，其中還要考慮到誤差傳遞系數(shù)以及各個(gè)誤差之間的相關(guān)性影響 隨機(jī)誤差的合成形式包括：一、標(biāo)準(zhǔn)差合成一、標(biāo)準(zhǔn)差合成合成標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)式合成標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)式: : 211()2qqiiijijijiijaa a q個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，標(biāo)準(zhǔn)差 12,q 誤差傳播系數(shù) 12,qa aav 由間接測(cè)量的顯函數(shù)模型求得 v 根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)給出 v 知道影響測(cè)量結(jié)果的誤差因素 而不知道每個(gè) 和 iiiyaiaiiiafx 當(dāng)誤差傳播系數(shù) 、且各相關(guān)系數(shù)

15、均可視為0的情形 若各個(gè)誤差互不相關(guān)，即相關(guān)系數(shù) 21()qiiia21qii0ij1ia 則合成標(biāo)準(zhǔn)差 用標(biāo)準(zhǔn)差合成有明顯的優(yōu)點(diǎn)，不僅簡(jiǎn)單方便，而且無論各單項(xiàng)隨機(jī)誤差的概率分布如何，只要給出各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，均可計(jì)算出總的標(biāo)準(zhǔn)差 視各個(gè)誤差分量的量綱與總誤差量的量綱都一致，或者說各個(gè)誤差分量已經(jīng)折算為影響函數(shù)誤差相同量綱的分量 二、極限誤差合成二、極限誤差合成 單項(xiàng)極限誤差單項(xiàng)極限誤差: : 1,2,.,iiikiq 單項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差 單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù) 合成極限誤差合成極限誤差: : kiik 合成標(biāo)準(zhǔn)差 合成極限誤差的置信系數(shù) k合成極限誤差計(jì)算公式合成極限誤差計(jì)算公式211()2qq

16、jiiiijijiijiijaka akk k 根據(jù)已知的各單項(xiàng)極限誤差和所選取的各個(gè)置信系數(shù)，即可進(jìn)行極限誤差的合成 各個(gè)置信系數(shù) 、 不僅與置信概率有關(guān)，而且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān) ikk 對(duì)于相同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)相同 對(duì)于不同分布的誤差，選定相同的置信概率，其相應(yīng)的各個(gè)置信系數(shù)也不相同 ij 為第i個(gè)和第j個(gè)誤差項(xiàng)之間的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)前一節(jié)的方法確定。應(yīng)用極限誤差合成公式時(shí)，應(yīng)注意：應(yīng)用極限誤差合成公式時(shí)，應(yīng)注意：211()2qqiiijijijiijaa a 21qii0ij1ia 當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時(shí)，各單項(xiàng)誤差的數(shù)目q較多、各項(xiàng)誤差

17、大小相近和獨(dú)立時(shí)，此時(shí)合成的總誤差接近于正態(tài)分布12qkkkk合成極限誤差：合成極限誤差： 若和各單項(xiàng)誤差大多服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布，而且他們之間常是線性無關(guān)或近似線性無關(guān)，是較為廣泛使用的極限誤差合成公式 時(shí)：此時(shí)一、已定系統(tǒng)誤差的合成一、已定系統(tǒng)誤差的合成系統(tǒng)誤差的分類：系統(tǒng)誤差的分類： 1） 已定系統(tǒng)誤差2） 未定系統(tǒng)誤差定義定義：誤差大小和方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差表示符號(hào)：表示符號(hào)：合成方法合成方法：按照代數(shù)和法進(jìn)行合成按照代數(shù)和法進(jìn)行合成riiiai 為第i個(gè)系統(tǒng)誤差，ai為其傳遞系數(shù) 系統(tǒng)誤差可以在測(cè)量過程中消除，也可在合成后在測(cè)量結(jié)果中消除二、未定系統(tǒng)誤差的合成二、未

18、定系統(tǒng)誤差的合成（一）（一） 未定系統(tǒng)誤差的特征及其評(píng)定未定系統(tǒng)誤差的特征及其評(píng)定定義定義：誤差大小和方向未能確切掌握，或者不須花費(fèi)過多精力去掌握，而只能或者只需估計(jì)出其不致超過某一范圍 e 的系統(tǒng)誤差特征特征：1） 在測(cè)量條件不變時(shí)為一恒定值，多次重復(fù)測(cè)量時(shí)其值固定不變，因而單項(xiàng)系統(tǒng)誤差在重復(fù)測(cè)量中不具有低償性2） 隨機(jī)性。當(dāng)測(cè)量條件改變時(shí)，未定系統(tǒng)誤差的取值在某極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，且服從一定的概論分布，具有隨機(jī)誤差的特性。表示符號(hào)：表示符號(hào)： 極限誤差：極限誤差：e 標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差：u1、標(biāo)準(zhǔn)差合成、標(biāo)準(zhǔn)差合成（二）（二） 未定系統(tǒng)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差的合成 未定系統(tǒng)誤差的取值具有一定

19、的隨機(jī)性，服從一定的概率分布，因而若干項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差綜合作用時(shí)，他們之間就具有一定的抵償作用。這種抵償作用與隨機(jī)誤差的抵償作用相似，因而未定系統(tǒng)誤差的合成，完全可以采用隨機(jī)誤差的合成公式，這就給測(cè)量結(jié)果的處理帶來很大方便。 同隨機(jī)誤差的合成一樣，未定系統(tǒng)誤差合成時(shí)即可以按照標(biāo)準(zhǔn)差合成，也可以按照極限誤差的形式合成。 若測(cè)量過程中有 s 個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 u1，u2，us ， 其相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為a1，a2，as ，則合成后未定系統(tǒng)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)差 u 為:則由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：式中，ij 為第 i 個(gè)和第 j 個(gè)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)sj

20、ijijiijsiiiuuaauau1122siiiuau12iiiute當(dāng) ij=0 時(shí)2、極限誤差的合成、極限誤差的合成 因?yàn)楦鱾€(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為:si,2, 1tueisjijijiijsiiiuuaauate1122 若總的未定系統(tǒng)誤差極限誤差表示為：則有：則由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為：式中，ij 為第 i 個(gè)和第 j 個(gè)誤差項(xiàng)的相關(guān)系數(shù)sjijijiijsiiiuuaauau1122siiiuau12iiiute當(dāng) ij=0 時(shí)2、極限誤差的合成、極限誤差的合成 因?yàn)楦鱾€(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為:si,2, 1tuesjijijiijs

21、iiiuuaauate1122 若總的未定系統(tǒng)誤差極限誤差表示為：則有：sjijjiijiijsiiiitutuaatuate1122siiieatu12或者，由各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差極限誤差得到的合成未定系統(tǒng)誤差極限誤差為： 當(dāng)各個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且相互間獨(dú)立無關(guān)，即 ，則上式可簡(jiǎn)化為：0ij一、按極限誤差合成一、按極限誤差合成 誤差的合成可按照兩種形式合成：按極限誤差誤差形式合成、按標(biāo)準(zhǔn)差形式合成。 測(cè)量過程中，假定有 r 個(gè)單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，s 個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q 個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差。它們的誤差值或極限誤差分別為：qsreee,2121211、單次測(cè)量情況、單次測(cè)量情況 若各

22、個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取 1，則測(cè)量結(jié)果總的極限誤差為：Rttetqiiisiiirii12121總式中，R 為各個(gè)誤差之間的協(xié)方差之和。 當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，測(cè)量結(jié)果總的極限誤差可簡(jiǎn)化為：qiisiiriie12121總 一般情況下，已定系統(tǒng)誤差經(jīng)修正后，測(cè)量結(jié)果總的極限誤差就是總的未定系統(tǒng)誤差與總的隨機(jī)誤差的均方根值，即：qiisiie1212總2、n 次重復(fù)測(cè)量情況次重復(fù)測(cè)量情況 當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行 n 次重復(fù)測(cè)量時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù) n 。qiisiine12121總

23、總極限誤差變?yōu)椋憾礃?biāo)準(zhǔn)差合成二、按標(biāo)準(zhǔn)差合成 測(cè)量過程中，假定有 s 個(gè)單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，q 個(gè)單項(xiàng)隨機(jī)誤差，它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：qsuuu,21211、單次測(cè)量情況、單次測(cè)量情況 若各個(gè)誤差的傳遞系數(shù)取 1，則測(cè)量結(jié)果總的極限誤差為：式中，R 為各個(gè)誤差之間的協(xié)方差之和。 若用標(biāo)準(zhǔn)差來表示系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的合成公式，則只考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成。Ruqiisii1212 當(dāng)各個(gè)誤差均服從正態(tài)分布，且各個(gè)誤差間互不相關(guān)時(shí)，測(cè)量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差為：qiisiiu12122、n 次重復(fù)測(cè)量情況次重復(fù)測(cè)量情況 當(dāng)每項(xiàng)誤差都進(jìn)行 n 次重復(fù)測(cè)量時(shí)，由于隨機(jī)誤差間具有低償性、系統(tǒng)誤差（包括未定

24、系統(tǒng)誤差）不存在低償性，總誤差合成公式中的隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)除以重復(fù)測(cè)量次數(shù) n 。qiisiinu12121總極限誤差變?yōu)椋骸纠俊纠?在萬能工具顯微鏡上用影像法測(cè)量某一平面工件的長(zhǎng)度共兩次，測(cè)得結(jié)果分別為 ， ，已知工件的和高度為 ，求測(cè)量結(jié)果及其極限誤差。150.026mml 250.025mml 80mmH 序號(hào)123456誤差因素極限誤差/m隨機(jī)誤差 未定系統(tǒng)誤差備注阿貝誤差光學(xué)刻尺刻度誤差溫度誤差讀數(shù)誤差瞄準(zhǔn)誤差光學(xué)刻尺檢定誤差0.810.50.351.251未修正時(shí)計(jì)入總誤差修正時(shí)計(jì)入總誤差根據(jù)工具顯微鏡的工作原理和結(jié)構(gòu)可知，測(cè)量過程中主要的誤差見表?！窘狻俊窘狻?jī)纱螠y(cè)量結(jié)果的平均值

25、為:01211()(50.02650.025)mm50.0255mm22Lll 根據(jù)萬能工具顯光學(xué)刻線尺的刻度誤差表，查得在 50mm 范圍內(nèi)的誤差 =-0.0008mm ，此項(xiàng)誤差為已定系統(tǒng)誤差，應(yīng)予修正。則測(cè)量結(jié)果為：050.0255mm0.0008mm50.0247mmLL 在萬工顯上用影像法測(cè)量平面工件尺寸時(shí)，其主要誤差分析如下：1、隨機(jī)誤差 由讀數(shù)誤差和工件瞄準(zhǔn)引起，其極限誤差分別為 1）讀數(shù)誤差： 2）瞄準(zhǔn)誤差：m8 . 01m0 . 122、未定系統(tǒng)誤差 由阿貝誤差等引起，其極限誤差分別為 1）阿貝誤差： 2）瞄準(zhǔn)誤差：mmHLe0 . 14000508040001mmme25.

26、 1)200501 ()20011 (2 3）溫度誤差：mmmLe35. 070050770073 4）光學(xué)刻度尺的檢定誤差：me5 . 043、計(jì)算測(cè)量值及其誤差 計(jì)算測(cè)量值的誤差時(shí)有兩種方法：方法1當(dāng)未修正光學(xué)刻尺刻度誤差時(shí)23221122222121(10.8 )(11.250.35 )21.870.0019mmijije m測(cè)量結(jié)果可表示為： 050.0255mm0.0019mmL 方法2當(dāng)已修正光學(xué)刻尺刻度誤差時(shí) 23221122222121(10.8 )(10.50.35 )21.480.0015mmijije m50.0247mm0.0015mmL 【例例】 用TC328B型天平

27、，配用三等標(biāo)準(zhǔn)砝碼稱一不銹鋼球質(zhì)量，一次稱量得鋼球質(zhì)量 ，求測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。14.004gM (1)隨機(jī)誤差: 天平示值變動(dòng)性所引起的誤差為隨機(jī)誤差。多次重復(fù)稱量同一球的質(zhì)量的天平標(biāo)準(zhǔn)差為 10.05mg(2)未定系統(tǒng)誤差: 標(biāo)準(zhǔn)砝碼誤差和天平示值誤差，在給定條件下為確定值，但又不知道具體誤差數(shù)值，而只知道誤差范圍（或標(biāo)準(zhǔn)差），故這兩項(xiàng)誤差均屬未定系統(tǒng)誤差。砝碼誤差: 天平稱量時(shí)所用的標(biāo)準(zhǔn)砝碼有三個(gè)，即的一個(gè)， 的兩個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)差分別為:10g20g故三個(gè)砝碼組合使用時(shí)，質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為 根據(jù)TC328B型天平的稱重方法，其測(cè)量結(jié)果的主要誤差如下：mgumgu2 . 0,4 . 01211mmuu

28、u5 . 02 . 024 . 02222122111 天平示值誤差 該項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差為:mgu03. 02 三項(xiàng)誤差互不相關(guān)，且各個(gè)誤差傳播系數(shù)均為1，因此誤差合成后可得到測(cè)量結(jié)果的總標(biāo)準(zhǔn)差為 最后測(cè)量結(jié)果應(yīng)表示為（倍標(biāo)準(zhǔn)差）： 14.004g0.0005gM 222121uu 22203. 05 . 005. 0)(5 . 0mg誤差分配誤差分配 給定測(cè)量結(jié)果允許的總誤差，合理確定各個(gè)單項(xiàng)誤差。 在誤差分配時(shí)，隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差同等看待。 假設(shè)各誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)，有：y22212yyyny 若已經(jīng)給定 ，如何確定 Di 或相應(yīng)的 i ,使其滿足22221nyDDD式中， 稱為

29、部分誤差，或局部誤差iiiiiaxfD一、按等影響原則分配誤差一、按等影響原則分配誤差 等影響原則等影響原則： 各分項(xiàng)誤差對(duì)函數(shù)誤差的影響相等，即 12yyyynn由此可得： 11/yyiiifxann或用極限誤差表示： 11/iiifxann 函數(shù)的總極限誤差 各單項(xiàng)誤差的極限誤差 i 進(jìn)行誤差分配時(shí)，一般應(yīng)按照下述步驟：二、按可能性調(diào)整誤差二、按可能性調(diào)整誤差 (1) 對(duì)各分項(xiàng)誤差平均分配的結(jié)果，會(huì)造成對(duì)部分測(cè)量誤差的需求實(shí)現(xiàn)頗感容易，而對(duì)令一些測(cè)量誤差的要求難以達(dá)到。這樣，勢(shì)必需要用昂貴的高準(zhǔn)確度等級(jí)的儀器，或者以增加測(cè)量次數(shù)及測(cè)量成本為代價(jià)。按等影響原則分配誤差的不合理性按等影響原則分

30、配誤差的不合理性 (2) 當(dāng)各個(gè)部分誤差一定時(shí)，則相應(yīng)測(cè)量值的誤差與其傳播系數(shù)成反比。所以各個(gè)部分誤差相等，相應(yīng)測(cè)量值的誤差并不相等，有時(shí)可能相差較大。 在等影響原則分配誤差的基礎(chǔ)上，根據(jù)具體情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。對(duì)難以實(shí)現(xiàn)測(cè)量的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大，對(duì)容易實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)盡可能縮小，其余誤差項(xiàng)不予調(diào)整。 測(cè)量一圓柱體的體積時(shí)，可間接測(cè)量圓柱直徑 D 及高度 h，根據(jù)函數(shù)式 三、驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差三、驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差 誤差按等影響原理確定后，應(yīng)按照誤差合成公式計(jì)算實(shí)際總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項(xiàng)再進(jìn)行縮小。若實(shí)際總誤差較小，可適當(dāng)擴(kuò)大難以實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)的誤差，合成后與要求的總誤差

31、進(jìn)行比較，直到滿足要求為止。 【例】【例】24DVh求得體積 V ，若要求測(cè)量體積的相對(duì)誤差為1，已知直徑和高度的公稱值分別為 ， 試確定直徑 D 及高度 h 的準(zhǔn)確度。 020mmD 050mmh 一、按等影響分配原則分配誤差一、按等影響分配原則分配誤差得到測(cè)量直徑 D 與高度 h 的極限誤差: 120.071mmVVDVDhnnD2140.351mmVVhVDnnh【解】【解】 計(jì)算體積 0V2230003.1416 205015708mm44DVh體積的絕對(duì)誤差: 3301%15708mm1%157.08mmVV 用這兩種量具測(cè)量的體積極限誤差為 222278.54VDhVVmmDh因?yàn)?/p>

32、 3378.54157.08Vmmmm 查資料，可用分度值為0.1mm的游標(biāo)卡尺測(cè)高 ，在50mm測(cè)量范圍內(nèi)的極限誤差為，用0.02mm的游標(biāo)卡尺測(cè)直徑，在20mm范圍內(nèi)的極限誤差為 。 20mmD 50mmh 0.150mm0.04mm二、調(diào)整后的測(cè)量極限誤差二、調(diào)整后的測(cè)量極限誤差 顯然采用的量具準(zhǔn)確度偏高，選得不合理，應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整。若改用分度值為0.05mm的游標(biāo)卡尺來測(cè)量直徑和高度，在50mm測(cè)量范圍內(nèi)的極限誤差為 。此時(shí)測(cè)量直徑的極限誤差雖超出按等作用原則分配所得的允許誤差，但可從測(cè)量高度允許的多余部分得到補(bǔ)償。 0.08mm調(diào)整后的實(shí)際測(cè)量極限誤差為 22222128.1524VD

33、hDhDmm因?yàn)?33128.15157.08Vmmmm 因此調(diào)整后用一把游標(biāo)卡尺測(cè)量直徑和高度即能保證測(cè)量準(zhǔn)確度。 微小誤差微小誤差 測(cè)量過程包含有多種誤差時(shí)，當(dāng)某個(gè)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果總誤差的影響，可以忽略不計(jì)的誤差。已知測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差： 若將其中的部分誤差取出后，則得 如果 ，yy則稱為微小誤差 2212212221nkkkyDDDDDDkDkD221212221nkkyDDDDD根據(jù)有效數(shù)字運(yùn)算準(zhǔn)根據(jù)有效數(shù)字運(yùn)算準(zhǔn)則則， ，對(duì)對(duì)一般精度的一般精度的測(cè)測(cè)量，量，測(cè)測(cè)量量誤誤差的有差的有效數(shù)字取一位。在此情況下，若將某效數(shù)字取一位。在此情況下，若將某項(xiàng)項(xiàng)部分部分誤誤差舍去后，差舍去后，滿滿足足則對(duì)測(cè)則對(duì)測(cè)量量結(jié)結(jié)果的果的誤誤差差計(jì)計(jì)算沒有影響。算沒有影響。換換算算為測(cè)為測(cè)量量誤誤差有差有一般可取一般可取 對(duì)對(duì)一般精度的一般精度的測(cè)測(cè)量量對(duì)對(duì)于比于比較較精密的精密的測(cè)測(cè)量，量，誤誤差的有效數(shù)字可取二位，差的有效數(shù)字可取二位，則則有有換換算算為測(cè)為測(cè)量量誤誤差有差有 一般可取一般可取 最佳測(cè)量方案的確定：最佳測(cè)量方案的確定： 當(dāng)測(cè)量結(jié)果與多個(gè)測(cè)量因素有關(guān)時(shí)，采用什么方法確定各個(gè)因素，才能使測(cè)量結(jié)果的誤差最小。