第七節(jié)無窮小的比較

1、第一章 第七節(jié)1第七節(jié)第七節(jié) 無窮小的比較無窮小的比較 教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 1 無窮小的比較無窮小的比較 2 等價無窮小的替換等價無窮小的替換教學(xué)重點教學(xué)重點 等價無窮小的代換定理求極限等價無窮小的代換定理求極限本節(jié)要求本節(jié)要求 理解無窮小的概念，會應(yīng)用等價無窮小代換定理理解無窮小的概念，會應(yīng)用等價無窮小代換定理求極限，掌握無窮小的比較方法。求極限，掌握無窮小的比較方法。第一章 第七節(jié)2一、無窮小的比較一、無窮小的比較例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當(dāng)當(dāng)xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零

2、的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在觀察各極限觀察各極限型）型）（00第一章 第七節(jié)3定義定義: :. 0, 且且窮窮小小是是同同一一過過程程中中的的兩兩個個無無設(shè)設(shè)(1)lim0,( )o如果，就說是比高階的無記窮小作；( )lim 如果，就低階的說是比無窮小(3)lim0,;C如果就說與同階的無窮小是lim1,;等價的無窮小， 如果則稱與是記作特殊地等價無窮小的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)：等價無窮小的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)：自反性；對稱性；傳遞性。自反性；對

3、稱性；傳遞性。第一章 第七節(jié)4，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx;302高高階階的的無無窮窮小小是是比比時時，當(dāng)當(dāng)xxx ).0()3(2 xxox即即是是等等價價無無窮窮小小與與時時，當(dāng)當(dāng)xxxsin0).0(sinxxx即即例如例如，(4)lim00,.,kCkk如果就說是階的無窮小的第一章 第七節(jié)51 011nxxxn 例 證明當(dāng)時，0011111limlim111. 1nnnxxnnxxxxxnn1111nxxn0lim11,(1,2,.1)mnxxmnn第一章 第七節(jié)6的的主主要要部部分分是是稱稱為為必必要要條條件件是是等等價價無無窮窮小小的的的的充充分分與與定定理理

4、 ).(1o證證必要性必要性，設(shè)設(shè) 1limlim ，0 ，即即)()( oo充分性充分性設(shè)設(shè))( o )(limlimo）（ )(limo，1 二二 兩個關(guān)于等價無窮小的定理兩個關(guān)于等價無窮小的定理第一章 第七節(jié)7注記注記：該定理表明兩個等價無窮小的差比它們中任何：該定理表明兩個等價無窮小的差比它們中任何一個都是高階無窮小，或者說一個無窮小與它的高一個都是高階無窮小，或者說一個無窮小與它的高階無窮小之和仍與原無窮小等價。階無窮小之和仍與原無窮小等價。o( )即：若 為無窮小，則有232 02,sinxxxxxxxxxxx例 當(dāng)時，意義意義：用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式：用等價無窮小可給

5、出函數(shù)的近似表達式,0時時當(dāng)當(dāng) x.21cos1,sin2xxxx ),(sinxoxx ).(21cos122xoxx 第一章 第七節(jié)8定理定理( (等價無窮小代換定理等價無窮小代換定理) ).limlim,lim, 則則存存在在且且設(shè)設(shè)證證 lim)lim( limlimlim.lim 00該定理表明兩個無窮小之比的極限，可由它們的等價無窮小之比的極限代替，這給 的極限形式帶來計注：算上的方便。第一章 第七節(jié)9問題：兩個無窮小的和差與它們的等價無窮小的和差等價嗎？乘積呢？ 即：若，有下列式子成立嗎，-，0,sinxtgxxxx當(dāng)時 有成立，而33001cos-sin1limlim2xxtg

6、xxtgxxxx31-sin2tgxxx220sinlim1sinxtgxxtgxxxx 第一章 第七節(jié)10三三 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 2:0sin, ,11 cos,21,11,ln 1xaxxxtgxxxxexxaxxx 一些常用的等價無窮小 當(dāng)時第一章 第七節(jié)11222334002001ln 1011sin 1 lim,2)limsin213sincos1sin13)lim,4)lim1 cos15)lim cosxxxxxxxxxtgxxxxxxxxxxxx xex例題）tan0?xxnxeexn設(shè)時，與 是同階無窮小，則第一章 第七節(jié)12三、小結(jié)三、小結(jié)1、無窮小的比較、無窮小的比較反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度兩無窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比較但并不是所有的無窮小都