數(shù)學(xué)建模五步法案例上課講義

1、數(shù)學(xué)建模五步法案例數(shù)學(xué)建模五步法小論文問題再現(xiàn)：一個汽車制造商售出某品牌的汽車可獲利1500美元，估計每100美元的折扣可以使銷售額提高15%。(1)多大的折扣可以使利潤最高？利用五步方法及單變量最優(yōu)化模型。對你所得的結(jié)果，求關(guān)于所做的15%假設(shè)的靈敏性。分別考慮折扣量和相應(yīng)的收益。假設(shè)實際每100美元的折扣僅可以使銷售額提高10%,對結(jié)果會有什么影響？如果每100美元的折扣的提高量為10%15%之間的某個值，結(jié)果以如何。什么情況下折扣會導(dǎo)致利潤的降低？問題一：一、問題的提出1 .具體問題(1)多大的折扣可以使利潤最高？利用五步方法及單變量最優(yōu)化模型。(2)對你所得的結(jié)果，求關(guān)于所做的15%&

2、#167;設(shè)的靈敏性。分別考慮折扣量和相應(yīng)的收益。(3)假設(shè)實際每100美元的折扣僅可以使銷售量提高10%對結(jié)果會有什么影響？如果每100美元的折扣的提高量為10%15%J句的某個值,結(jié)果以如(4)什么情況下折扣會導(dǎo)致利潤的降低。2 .符號的說明(1)每輛汽車的成本C;(2)折扣前的銷量n;(3)折扣后的銷量n'(4)折扣前每輛車的價格P;(5)折扣后每輛車的價格P'(6)折扣前的銷售額R;(7)折扣后的銷售額R'(8)折扣前的利潤L;(9)折扣后的利潤L'由題意：折扣前的利潤Ln(PC)1500,設(shè)折扣為x時，可使利潤最高。此時假設(shè)活動一次性完成，即廠家一次性

3、降低100x美元，銷售額提高15%x可使利潤最高。二、選擇建模方法則由題中已知條件可得方程組P'P100XPC1500n'n(10.15x)L'n'(P'C)三、推導(dǎo)模型公式由各關(guān)系式可推出折扣后的利潤函數(shù)為：L'n(10.15x)(P100xC)n(10.15x)(1500100x)四、求解模型已知廠商折扣后的利潤函數(shù)為：L'n(10.15x)(P100xC)n(10.15x)(1500100x)為使廠商利潤最大，令dL'33n(1500100x)100n(1-x)0dx2020解得：6五、回答問題一般情況下，無論n值取多少，廠

4、商為了使得利益最大，都會選擇降價420美元左問題二：靈敏性分析題中估計每折扣100美元銷售量提高15%現(xiàn)在假設(shè)其實際值是不同的，對幾個不同的值13%14%16%17%重復(fù)問題一中的求解過程，以此來分析銷售量提高率的敏感程度。同理，還是對廠商利潤函數(shù)L求導(dǎo)，使之等于0解得不同提高率下的降價金額如表1所示：表1不同提高率下的降價金額銷售量提降價金額(美高率元)13%365.414%392.915%42016%437.517%455.9利用表2中數(shù)據(jù)在matlab中畫圖，輸入命令：x=0.130.140.150.160.17;y=365.4392.9420437.5455.9;plot(x,y,&#

5、39;*')得圖2:4604504404304204104003903803703600.130,1350.140,1450.150,1550.160,1650.170.175圖2由圖可以看到廠商需降價的金額對銷量的提高率是很敏感的。問題三：若實際每100美元的折扣僅可以使銷售額提高10%同樣我們可以通過對利潤函數(shù)求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)等于0,求得相應(yīng)的x值是2.5,即廠商欲獲利最大，需將價格下降250美元；假設(shè)銷量提高率在10唯415%：間的某一個數(shù)，我們設(shè)為r,則r(0.10,0.15),通過對利潤函數(shù)求導(dǎo)使之等于0得到：15r11x2；O,75,r(0.10,0.15)當r(0.10,0.15)時，每個r都對應(yīng)著一個應(yīng)降價的金額，利用matlab做其函數(shù)關(guān)系如圖3輸入命令：x=0,100.110.120.130.140.15;y=7.5-1./(2*x)plot(x,y,'*')得圖3:4