數(shù)學初中競賽：梅涅勞斯定理和塞瓦定理訓練含答案

1、內(nèi)居臉圖與才建信舞屣3一整舞吟r的T1在回黝曲.3三重碎域融戰(zhàn)時期歸它禮的瞰£«堆厥珈01BCAB.M開.EF細1MAbmCFMhCDW；Kansas-abcf；e5-?og氏r。.eo、匚ow鴕交燈為及ef.bekedc-fb訓練與解析:1.如圖，在ABC,AB>AC內(nèi)切圓。I與邊BC切于點D,AD與OI的另一個交點為E,OI的切線EP與BC的延長線交于點P,CF/PE且與AD交于點F,直線BF與。I交于點MN,M在線段BF上，線段PM與OI交于另一點Q證明：/ENP=/ENQ證明：如圖，設。I與ACAB分別切于點ST,連接STAI、IT,設ST與AI交于點GC則I

2、ELPE,IDPD故I、E、P、D四點共圓,.AS2=AE?AD=AGAI,上/EA©/DAI,.AE凈AID, /AG號/AID, .E,GD,I四點共圓， I、GE、P、D五點共圓， ./IGP=/IEP=90,即IGPG P、ST三點共線，對直線PST截4ABC由梅涅勞斯定理知+'I.IF.LT二1)iLFD1A.AS=AT,CS=CDBT=BD,世迪T二，CD一'設BN的延長線與PE交于點H對直線BFH截PDE由梅涅勞斯定理知4,罌*坐LrUbr.CF/BEEFPC-一I'D一L'HECDBFPH=HEPri=hE=hmthnPHHN=.-1.

3、'PHNTMHP./HPIN=/HMP/NEQ./PEN=/EQN./ENP=/ENQ2.如圖，ABC勺垂心為H,ADLBC于D,點E在ABC勺外接圓上，且滿足黑關(guān)線ED交外接圓于點M求證：/AMH=90°證明：作高BRCQ連結(jié)MBMCMPMQPQBDDCSBMESACME-BE-sinZMBE丹CEd.n/MCE叫四CMAC翳骷甫憬由得:CMCP又/MBA=/MCA .MBQMCP 點MA、P、Q四點共圓，即點MA、P、QH五點共圓,又AH為直徑， /AMH90.3 .如圖，在四邊形ABCDK對角線AC平分/BAD在CD上取一點E,BE與ACt目交于F,延長DF交BC于G求

4、證：/GAC=/EAC證明：如圖，連接BD交AC于H,過點C作AB的平行線交AG的延長線于I,過點C作AD的平行線交AE的延長線于J.對BCD!塞瓦定理，可得CGBHDE，小方面下一L因為AH是/BAD勺角平分線,由角平分線定理知理望HD-AD代入式得4因為CI/AB,CJ/AD則式理望.ECCJ心Xe*曰CIABAD.代入式得前而百江從而CI=CJ.又由于ZACI=180-ZBAC=180°/DAC=/ACJ所以AC陷AACJ故/IAC=ZJAC即/GAC/EAC4 .如圖，四邊形ABF加，GE分別為BRDF上一點，且/BAC=/DAEBECD交于點G連接AG求證：/FAC=/GA

5、E1又因為/BAC/DAE所以/FAO/GAE5.梅涅勞斯定理是古希臘數(shù)學家梅涅勞斯首先證明的.它指出，如果一條直線與ABC的三條邊ARBCCA(或其延長線)分別交于F、DE,則有前即CE=1解答以下*DCPEA(1)如圖1所示，AB=AC=6,D為BC中點，點E在AC上，CE=2,點F在AB的延長線上，求FB的長.(2)如圖2所示，等腰直角三角形ABC,ZACB=90°,D是BC中點，E在AB上，AE=2EB連接ADCE求證：AD±CE解：（1）AC=6,CE=2,證明：根據(jù)三角形的面積公式知,BF-sinZFAEBC$a計AC*ginZCAB?GDS疝gAD*sinZD

6、AG所以=1.AD-sinZDAExAF-sinZFABxAC-ginZCAGAF-sinZFAEAC-sinZCABAD”in/DAG整理即可得至U-'injC_MuFAE本理即付到.£jnNDAGEn/FAB,兩個問題:AFnn/FAECGsaaccAC-sinZCAG又根據(jù)梅涅勞斯定理知,DEXFBXCGEFXBCXGDAE=AC-CE=4,點D是BC的中點,.BD=CD .AB=6一, .AF=ABFB,根據(jù)梅涅勞斯定理得，制bdCE=1,*DC*EA6+FBFB2X1X4=FB=6;（2，）如圖，過點B作BF±BC交CE的延長線于F, ./CBF=90,A

7、CB=90°,，/ACB/CBF=180,BF/AC ./ACE=/F,/CAE=/FBE.AC曰BFEAC_AEBF-BE-AC=2BF, 點D是BC的中點，.BC=2CD在等腰直角三角形ABC,ZACB=90°,.AC=BC.BF=CDMwb在ACcmCB葉MB=/CBF=90°,lCE=BF.AC挈CBF/CAD=/BCF.ZACEZCAD=ZACEZBCE=ZACB=90°,/AGC90°,ADLCE6.在梯形ABC珅，AB/CDACBD交于點E,ADBC的延長線交于點H,過點E作FG/AB交AD于點F,交BC于點G,求證：AGBF、E

8、H三線共點.證明：FG/AB.盟里世衛(wèi)FAEQ'GHHE'=1,同理：瞿若=1,點£為HAB勺賽瓦點,.型.歿型'DAQB&翳=1.QB1=1,.HFAQBG-PAQBGR=1,.AGBF、EH三線共點.7.如圖，在ABC中，AQ平分/BACQDLBC交BC于點D,在BC上取一點E,使彳導/BAD=ZCAE在AE上存在一點K,使彳導/KBC=2/BQD求證：Q辭分/BKC證明：如圖，作/CBK勺角平分線交QKFI,延長AQAE交BQCQ于MN連接于X,連接BN交AC的延長線于Y,BNCM于F,AQ交BC于G,設/MAQ：/NAQ=3,.AQ¥

9、分/BAC.包萼，ACCGC幟AB的延長線BAM=/CAN=a,./KBC=/2/BQa2ZCBI,.QDLBC/DBQ/BQ&90=/DBQ/CBI,.BUBQ由同角的內(nèi)、外角平分線互相垂直，得：BQ平分/XBC，型MBCMC'股Saabn研式門。'閱SAAjQjrAQsinP'由得,里國空MB.GC=1,由塞瓦定理的逆定理得，BNCMAQ交于一點F,點F對于ABC由塞瓦定理（延長線）得,星90XSGCA,AXABCY二'XBACYACY=XBACYAAX'AB.,姻W二也典二小皿0既MCS/UCM口卬+2內(nèi)），an(Cl+23)BN-YA我/

10、由二加式的BNSAABNABsin(a+25)sinClJN-ABsinCa+23=BN-YA由得,Xb,ACJWABbc,AX-BN-YAAX虹示廠|J由得，P，'YNmBNMMcyy由角平分線的逆定理得，CQ平分/BCY.Q>AKBCW旁心,.QKW/BKC8 .如圖，已知ABC43,M是BC的中點，AD平分/A,B在AD上的射影為E,EB交AMFN,求證：DN/AB.證明：延長BEAC交于點F,連接ME如圖:.AE平分/BACAEE!BE.BE=EF,.BM=CM.EM/AF,對于BD截線AMN由梅涅勞斯定理可得興坐嚕蟲,MUAeNi>DN/AB證畢.9 .如圖，在梯

11、形ABCD勺對角線AC的延長線上任取一點P,過點P與梯形兩條底邊的中點的連線分別交腰ABCD于點MN,求證：MN/AD/BCBK證明：又于ABCF口截線MKP由梅涅勞斯定理可得:AMBKCPMBKCPA.BK=CK.AMPA-,BMCF'對于ACDF口截線PNL由梅涅勞斯定理可得：務瞿二L=l,uPr®LA-.AL=LD,PAND.二一,MDN111'.MIN/AD/BC10 .如圖，RtABC中，ZC=90°,D點和E點在ACAB邊上，且DEJIBCP為線段DE上一點，使得/CPB=90°,CP的延長線交AB于點M延長AP交BC于點Q過Q作PB的

12、平行線交PCT點H,交AC于點ST為BC延長線上一點，且滿足朱普=也專，UiU1UiLH證明：如圖，連接DTET連接TS求證：TSLDQ.DE/BC*里,CFEB，理典.DPCCTPE二AP二DFBQ-AQCQ，迪旦里、KBTCHM由梅涅勞斯定理的逆定理可知E、HT三點共線,，區(qū)里10期PEPHBQFE'.CT=DP.CT/DP.TCPD1平行四邊形，DT/CP.QSPB,CPLPB,QShDT.DChTQ，5是4丁口廓勺垂心，.TS±DQ證完.11 .如圖，設P為？ABCDJ任意一點，過P作EF/ABGH/BCEF交A,BCT點E,F,GH證明：設ACEHf交于點K,迪ED

13、CKKACKAEDHBZ)對于CADW截線EHK由梅涅勞斯定理可得：.ABC匿平行四邊形，且EF/ABGH/BC里更少.FCHCGBAGBF1函而-L由梅涅勞斯定理的逆定理可知GF、K三點共線，.ACGFEH相交于一點.12 .如圖所示，已知D,E分別是ABC勺邊BCAB上的點，AQCE交F,BF,DE交于G,過G作BC的平行線MN交ABCEAC于MH,N,求證：GH=NH解：過點E作ES/BC交AC于點S,CS8E.=NM/BCFGFH.I，對于4ABF及截線EGD由梅捏勞斯定理可得:ADFGBE,DFGBEA'.悝但二二,DFHCSA1由梅捏勞斯定理可知：S、HD共線,.GHEGS

14、N即CDEDSCCD'.GH=HN13.在ABC,D,E分別為ABAC上一點，DE交AF于HHGLBC連接DGGE(1)證明：GHDGE勺一條平分線;對于直線CBKa得ADE由梅涅勞斯定理得:MN,證明：GH為MNG勺一條角平分線.1,abodkoec?BDKECA對于點F與4ADE由塞瓦定理得:1,ABODHOEC(BDHECh:得:DKDHKEHE，線段DE被點HK調(diào)和,由調(diào)和點列結(jié)論1得，GHF分/DGE即GHDGE勺一條平分線;(2)延長NgBC于S,連接AM延長，交BC于T,對于直線STCa得AMN由梅涅勞斯定理得:對于點尸與AME由塞瓦定理得:;得,MSJH-SNHN/KGH90,由調(diào)和點列結(jié)論1得，GH¥分/MGN即GWMNG勺一條角平分線.14 .定理3（梅涅勞斯（Menelaus）定理）：一條不經(jīng)過ABC任一頂點的直線和三角形三邊BCCAAB（或它們的延長線）分別交于P,QR證明:即0QAR,PCQARBL證明：如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有由xx，得A15 .由矩形ABCD勺外接圓上任意一點M向它的兩對邊引垂線MCWMP向另兩邊延長