第四章抽樣與參數(shù)估計(jì)_抽樣分布_01

1、第四章 抽樣與參數(shù)估計(jì)第 一節(jié) 抽樣與抽樣分布學(xué)習(xí)目標(biāo)區(qū)分總體分布、樣本分布、抽樣分布區(qū)分總體分布、樣本分布、抽樣分布掌握隨機(jī)抽樣方式掌握隨機(jī)抽樣方式理解抽樣分布與總體分布的關(guān)系理解抽樣分布與總體分布的關(guān)系掌握單總體參數(shù)推斷時(shí)樣本統(tǒng)計(jì)量的分布掌握單總體參數(shù)推斷時(shí)樣本統(tǒng)計(jì)量的分布掌握雙總體參數(shù)推斷時(shí)樣本統(tǒng)計(jì)量的分布掌握雙總體參數(shù)推斷時(shí)樣本統(tǒng)計(jì)量的分布掌握抽樣誤差的測(cè)度及其影響因素掌握抽樣誤差的測(cè)度及其影響因素4.1.1 三種不同性質(zhì)的分布總體分布總體分布樣本分布樣本分布抽樣分布抽樣分布總體中各元素的觀察值所形成的分布總體中各元素的觀察值所形成的分布 分布通常是未知的分布通常是未知的可以假定它服從

2、某種分布可以假定它服從某種分布 總體分布(population distribution)一個(gè)樣本中各觀察值的分布一個(gè)樣本中各觀察值的分布 也稱經(jīng)驗(yàn)分布也稱經(jīng)驗(yàn)分布 當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量n逐漸增大時(shí)，樣本分布逐漸逐漸增大時(shí)，樣本分布逐漸接近總體的分布接近總體的分布 樣本分布(sample distribution)樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布是一種理論概率分布是一種理論概率分布隨機(jī)變量是隨機(jī)變量是 樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本均值, 樣本比例，樣本方差等樣本比例，樣本方差等結(jié)果來(lái)自結(jié)果來(lái)自容量相同容量相同的的所有所有可能樣本可能樣本樣本統(tǒng)計(jì)量提供的信息，是進(jìn)行推斷的理論基樣本統(tǒng)

3、計(jì)量提供的信息，是進(jìn)行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù)礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù) 抽樣分布 (sampling distribution)抽樣分布 (sampling distribution)4.1.2 樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布 (一個(gè)總體參數(shù)推斷時(shí))樣本均值的抽樣分布樣本均值的抽樣分布樣本比例的抽樣分布樣本比例的抽樣分布抽樣方差的抽樣分布抽樣方差的抽樣分布樣本均值的抽樣分布容量相同的所有可能樣本的樣本均值的概容量相同的所有可能樣本的樣本均值的概率分布率分布一種理論概率分布一種理論概率分布進(jìn)行推斷總體總體均值進(jìn)行推斷總體總體均值 的理論基礎(chǔ)的理論基礎(chǔ)樣本均值的抽樣分布樣本均值的

4、抽樣分布(例題分析)（重復(fù)抽樣）5 .21NxNii25. 1)(122NxNii樣本均值的抽樣分布 (例題分析)（重復(fù)抽樣）所有可能的所有可能的n = 2 的樣本（共的樣本（共16個(gè)）個(gè)）第一個(gè)第一個(gè)觀察值觀察值第二個(gè)觀察值第二個(gè)觀察值123411,11,21,31,422,12,22,32,433,13,23,33,444,14,24,34,4樣本均值的抽樣分布 (例題分析)（重復(fù)抽樣）16個(gè)樣本的均值（個(gè)樣本的均值（x）第一個(gè)第一個(gè)觀察值觀察值第二個(gè)觀察值第二個(gè)觀察值123411.01.52.02.521.52.02.53.032.02.53.03.542.53.03.54.0均值均值X

5、的取值的取值1.01.52.02.53.03.54.0均值均值X的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)1234321取值的概率取值的概率P（X ）1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16樣本均值的分布與總體分布的比較 (例題分析)（重復(fù)抽樣）5 . 2X21.250.6252X樣本均值的抽樣分布 (例題分析)（不重復(fù)抽樣）所有可能的所有可能的n = 2 的樣本（共的樣本（共12個(gè)）個(gè)）第一個(gè)第一個(gè)觀察值觀察值第二個(gè)觀察值第二個(gè)觀察值123411,21,31,422,12,32,433,13,23,444,14,24,3樣本均值的抽樣分布 (例題分析)（不重復(fù)抽樣）16個(gè)樣本的均值（個(gè)樣本的均

6、值（x）第一個(gè)第一個(gè)觀察值觀察值第二個(gè)觀察值第二個(gè)觀察值123411.52.02.521.52.53.032.02.53.542.53.03.5均值均值X的取值的取值1.52.02.53.03.5均值均值X的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)22422取值的概率取值的概率P（X ）2/12 2/12 4/12 2/12 2/12樣本均值的抽樣分布 (例題分析)（不重復(fù)抽樣）5 . 2X21.2542524 112X樣本均值的抽樣分布與中心極限定理X5x50 x5 . 2x中心極限定理(central limit theorem) xn x 中心極限定理 (central limit theorem)X抽樣分布與總體分

7、布的關(guān)系正態(tài)分布正態(tài)分布非正態(tài)分布非正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布非正態(tài)分布非正態(tài)分布樣本均值的數(shù)學(xué)期望樣本均值的數(shù)學(xué)期望樣本均值的方差樣本均值的方差重復(fù)抽樣重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣樣本均值的抽樣分布(數(shù)學(xué)期望與方差)(XEnX22122NnNnX樣本均值的抽樣分布(數(shù)學(xué)期望與方差)為樣本數(shù)目MnMXnixiX222122625. 016)5 . 20 . 4()5 . 20 . 1 ()(5 . 2160 . 45 . 10 . 11MXniiX均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差所有可能的樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差，測(cè)度所有樣本所有可能的樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差，測(cè)度所有樣本均值的離散程度，又稱為抽樣平均誤差均值

8、的離散程度，又稱為抽樣平均誤差小于總體標(biāo)準(zhǔn)差小于總體標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式為計(jì)算公式為nX1XNnNn樣本比例的抽樣分布總體總體(或樣本或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比位總數(shù)之比不同性別的人與全部人數(shù)之比不同性別的人與全部人數(shù)之比合格品合格品(或不合格品或不合格品) 與全部產(chǎn)品總數(shù)之比與全部產(chǎn)品總數(shù)之比總體比例可表示為總體比例可表示為樣本比例可表示為樣本比例可表示為比例(proportion)NNNN101或nnPnnP101或容量相同的所有可能樣本的樣本比例的概率分布當(dāng)樣本容量很大時(shí)，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似 一種理論概率分布推斷總體總體比例的理論

9、基礎(chǔ)樣本比例的抽樣分布樣本比例的抽樣分布 (例題分析)（重復(fù)抽樣）【例】設(shè)某機(jī)床5臺(tái)中有2臺(tái)優(yōu)、3臺(tái)良，即總體單位數(shù)N=5。5 個(gè)個(gè)體分別為優(yōu)品A1、A2，良品B1、B2、B3 。若抽到優(yōu)品，記x1；若抽到良品，記x0。當(dāng)n2時(shí)，樣本比例抽樣分布如下表所有可能的所有可能的n = 2 的樣本（共的樣本（共25個(gè)）個(gè)）樣本樣本比率比率樣樣 本本頻率頻率P(p)1(A1,A1)(A1,A2)(A2,A1)(A2,A2)4/250.5(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(B1,A1)(B1,A2)(B2,A1)(B2,A2)(B3,A1)(B3,A2)1

10、2/250(B1,B1)(B1,B2)(B1,B3)(B2,B1)(B2,B2)(B2,B3)(B3,B1)(B3,B2)(B3,B3)9/25樣本比例的抽樣分布 (例題分析)（重復(fù)抽樣）0.4210.24 0.40pE p 220.12pEpE pP p樣本比例的抽樣分布 (例題分析)（不重復(fù)抽樣）【例例】仍用上例，采用不重復(fù)隨即抽樣時(shí)，機(jī)床優(yōu)質(zhì)品比率仍用上例，采用不重復(fù)隨即抽樣時(shí)，機(jī)床優(yōu)質(zhì)品比率p的抽樣分布如下表的抽樣分布如下表所有可能的所有可能的n = 2 的樣本（共的樣本（共20個(gè)）個(gè)）樣本樣本比率比率樣樣 本本頻率頻率P(p)1(A1,A2)(A2,A1)2/200.5(A1,B1)

11、(A1,B2)(A1,B3)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(B1,A1)(B1,A2)(B2,A1)(B2,A2)(B3,A1)(B3,A2)12/200(B1,B2)(B1,B3)(B2,B1)(B2,B3)(B3,B1)(B3,B2)6/20樣本比例的抽樣分布 (例題分析)（不重復(fù)抽樣）0.4210.24 0.40pE p220.24520.09251pEpEpPp樣本比例的數(shù)學(xué)期望樣本比例的數(shù)學(xué)期望樣本比例的方差樣本比例的方差重復(fù)抽樣重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣樣本比例的抽樣分布(數(shù)學(xué)期望與方差)(PEnP)1 (21)1 (2NnNnP樣本方差的抽樣分布樣本方差的分布) 1

12、() 1(222nsn22) 1(sn 卡方(2)分布(2 distribution)2分布分布:設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是來(lái)自總體是來(lái)自總體N(0,1)的樣本，則統(tǒng)的樣本，則統(tǒng)計(jì)量計(jì)量 服從自由度為服從自由度為n的的2分布，記為分布，記為2 2（n）。設(shè)設(shè) ，則，則令令 ，則，則 Y 服從自由度為服從自由度為1的的 2分布，即分布，即 當(dāng)總體當(dāng)總體 ，從中抽取容量為，從中抽取容量為n的樣本，則的樣本，則222212nXXX),(2NX) 1 , 0( NXZ2ZY ) 1 (2Y),(2NX222122()1(1)niiXXnSn分布的變量值始終為正分布的變量值始終為正 分布的形狀取決于其自由度

13、分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不的大小，通常為不對(duì)稱的右偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對(duì)稱的右偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對(duì)稱對(duì)稱 期望為：期望為：E( 2)=n，方差為：，方差為：D( 2)=2n ( (n為自由度為自由度) ) 可加性：若可加性：若U和和V為兩個(gè)獨(dú)立的為兩個(gè)獨(dú)立的 2分布隨機(jī)變量，分布隨機(jī)變量，U 2(n1)， V 2(n2),則則U+V 這一隨機(jī)變量服從這一隨機(jī)變量服從自由度為自由度為n1+n2的的 2分布分布 2分布(性質(zhì)和特點(diǎn))2分布(圖示) 選擇容量為選擇容量為n 的的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本計(jì)算樣本方差計(jì)算樣本方差S2計(jì)算卡方值計(jì)算卡方值 2

14、= (n-1)S2/2計(jì)算出所有的計(jì)算出所有的 2值值總體總體4.1.3 樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布 (兩個(gè)總體參數(shù)推斷時(shí))兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布兩個(gè)樣本比例之差的抽樣分布兩個(gè)樣本比例之差的抽樣分布兩個(gè)樣本方差比的抽樣分布兩個(gè)樣本方差比的抽樣分布兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布兩個(gè)總體都為正態(tài)分布，即兩個(gè)總體都為正態(tài)分布，即 ， 兩個(gè)樣本均值之差兩個(gè)樣本均值之差 的抽樣分布服從正態(tài)的抽樣分布服從正態(tài)分布，其分布的數(shù)學(xué)期望為兩個(gè)總體均值之差分布，其分布的數(shù)學(xué)期望為兩個(gè)總體均值之差方差為各自的方差之和方差為各自的方差之和 兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布),(2111NX),(2222

15、NX21XX 2121)( XXE222121221nnXX兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布 總體總體1 總體總體2抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣樣本容量樣本容量 n1計(jì)算計(jì)算X1抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣樣本容量樣本容量 n2計(jì)算計(jì)算X2計(jì)算每一對(duì)樣本計(jì)算每一對(duì)樣本的的X1-X2所有可能樣本所有可能樣本的的X1-X2 1 1 2 2兩個(gè)樣本比例之差的抽樣分布兩個(gè)總體都服從二項(xiàng)分布兩個(gè)總體都服從二項(xiàng)分布分別從兩個(gè)總體中抽取容量為分別從兩個(gè)總體中抽取容量為n1和和n2的獨(dú)立樣本，的獨(dú)立樣本，當(dāng)兩個(gè)樣本都為大樣本時(shí)，兩個(gè)樣本比例之差的抽當(dāng)兩個(gè)樣本都為大樣本時(shí)，兩個(gè)樣本比例之差的抽樣分布可用正態(tài)分布來(lái)近似

16、樣分布可用正態(tài)分布來(lái)近似分布的數(shù)學(xué)期望為分布的數(shù)學(xué)期望為方差為各自的方差之和方差為各自的方差之和 兩個(gè)樣本比例之差的抽樣分布2121)( PPE2221112)1 ()1 (21nnPP兩個(gè)樣本方差比的抽樣分布兩個(gè)樣本方差比的抽樣分布 兩兩個(gè)總體都為正態(tài)分布，個(gè)總體都為正態(tài)分布，即即X1N(1,12)的一個(gè)的一個(gè)樣本，樣本， Y1，Y2， ，Yn 2是來(lái)自正態(tài)總體是來(lái)自正態(tài)總體X2N(2,22 )從兩從兩個(gè)總體中分別抽取容量為個(gè)總體中分別抽取容量為n1和和n2的獨(dú)立樣本的獨(dú)立樣本兩兩個(gè)樣本方差比的抽樣分布，服從分子自由度個(gè)樣本方差比的抽樣分布，服從分子自由度為為(n1-1)，分母自由度為，分母自由度為(n2-1) 的的F分布，即分布，即 2211122222(1,1)SF nnS由統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)舍由統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)舍(R.A.Fisher) 提出的，以其提出的，以其姓氏的第一個(gè)字母來(lái)命名則姓氏的第一個(gè)字母來(lái)命名則設(shè)若設(shè)若U為服從自由度為為服從自由度為n1的的 2分布，即分布，即U 2(n1)，V為服從自由度為為服從自由度為n2的的 2分布，即分布，即V 2(n2),且且U和和V相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 稱稱F為服從自由度為服從自由度n1和和n2的的F分