最新彈性力學(xué)與有限元分析試題答案DOC

1、最新彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題及其答案一、填空題1、彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。2、在彈性力學(xué)中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)，與正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)。3、在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與切應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)。4、物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力，它的集度稱為應(yīng)力。與物體的形變和材料強(qiáng)度直接有關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量，也就是正應(yīng)力和切應(yīng)力。應(yīng)力及其分量的量綱是L-1MT-2。5、彈性力學(xué)的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題

2、。7、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量b=100MPa，b=50MPa，t=10打0MPa，則主應(yīng)力xyxyb=150MPa，b=0MPa，a=3516。1218、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，b=200MPa,b=0MPa,t=-400MPa，則主應(yīng)力b=512Xyxy1MPa，b=-312MPa，a=-37°57'。219、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，b=-2000MPa，b=1000MPa，t=-400MPa，則主應(yīng)力xyxyb=152MPa，b=-2052MPa，a=-82°32'。10、在彈性力學(xué)里分析問題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。11、表

3、示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束,或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13、按應(yīng)力求解平面問題時(shí)常采用逆解法和半逆解法。14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)，然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法進(jìn)行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。15、每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點(diǎn)不相同的，即所謂變量應(yīng)變另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，是各點(diǎn)相同的，

4、即所謂常量應(yīng)變。17、為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變，還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。18、為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們在公共結(jié)點(diǎn)處具有相同的位移時(shí),也能在整個(gè)公共邊界上具有相同的位移。19、在有限單元法中，單元的形函數(shù)N在i結(jié)點(diǎn)N=1；在其他結(jié)點(diǎn)N=0及ENi=1o20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小,以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況；二是采用包含更高次項(xiàng)的位移模式，使位移和應(yīng)力的精度提高。二、判斷題（請?jiān)谡_命

5、題后的括號內(nèi)打“丿”，在錯(cuò)誤命題后的括號內(nèi)打“X”）1、連續(xù)性假定是指整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙（V）2、均勻性假定是指整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙（X）3、連續(xù)性假定是指整個(gè)物體是由同一材料組成的。（X）4、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的物理方程是完全相同的。（X）5、如果某一問題中，凱凱=0，只存在平面應(yīng)力分量b,a,t，且它們不沿zzzxzyxyxy方向變化，僅為x，y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)力問題。（V）6、如果某一問題中，e=0，只存在平面應(yīng)變分量£，£，丫，且它們不沿zzzxzyxyxy方向變化，僅為x，

6、y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)變問題。（V）7、表示應(yīng)力分量與面力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。（X）8、表示位移分量與應(yīng)力分量之間關(guān)系的方程為物理方程。（X）9、當(dāng)物體的形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。（V）10、當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。（V）11、按應(yīng)力求解平面問題時(shí)常米用位移法和應(yīng)力法。（X）12、按應(yīng)力求解平面問題，最后可以歸納為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)。（X）13、在有限單元法中，結(jié)點(diǎn)力是指單元對結(jié)點(diǎn)的作用力。（X）14、在有限單元法中，結(jié)點(diǎn)力是指結(jié)點(diǎn)對單元的作用力。（V）15、在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變。（V）三、簡答題1、簡述材

7、料力學(xué)和彈性力學(xué)在研究對象、研究方法方面的異同點(diǎn)。在研究對象方面，材料力學(xué)基本上只研究桿狀構(gòu)件，也就是長度遠(yuǎn)大于高度和寬度的構(gòu)件；而彈性力學(xué)除了對桿狀構(gòu)件作進(jìn)一步的、較精確的分析外，還對非桿狀結(jié)構(gòu)，例如板和殼，以及擋土墻、堤壩、地基等實(shí)體結(jié)構(gòu)加以研究。在研究方法方面，材料力學(xué)研究桿狀構(gòu)件，除了從靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)三方面進(jìn)行分析以外，大都引用了一些關(guān)于構(gòu)件的形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假定，這就大簡化了數(shù)學(xué)推演，但是，得出的解答往往是近似的。彈性力學(xué)研究桿狀構(gòu)件，一般都不必引用那些假定，因而得出的結(jié)果就比較精確，并且可以用來校核材料力學(xué)里得出的近似解答。2、簡述彈性力學(xué)的研究方法。答：在彈性體區(qū)域內(nèi)

8、部，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。即根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程；根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程。此外，在彈性體的邊界上還要建立邊界條件。在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上微分體的平衡條件，建立應(yīng)力邊界條件；在給定約束的邊界上，根據(jù)邊界上的約束條件建立位移邊界條件。求解彈性力學(xué)問題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。3、彈性力學(xué)中應(yīng)力如何表示？正負(fù)如何規(guī)定？答：彈性力學(xué)中正應(yīng)力用b表示，并加上一個(gè)下標(biāo)字母，表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面與作用方向；切應(yīng)力用

9、T表示，并加上兩個(gè)下標(biāo)字母，前一個(gè)字母表明作用面垂直于哪一個(gè)坐標(biāo)軸，后一個(gè)字母表明作用方向沿著哪一個(gè)坐標(biāo)軸。并規(guī)定作用在正面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，作用在負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。4、簡述平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的區(qū)別。答：平面應(yīng)力問題是指很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面并且不沿厚度變化。對應(yīng)的應(yīng)力分量只有b，b，xyT。而平面應(yīng)變問題是指很長的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變xy化的面力，同時(shí)體力也平行于橫截面并且不沿長度變化，對應(yīng)的位移分量只有u和v5、簡述圣

10、維南原理。如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。6、簡述按應(yīng)力求解平面問題時(shí)的逆解法。答：所謂逆解法，就是先設(shè)定各種形式的、滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)；并由應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系求得應(yīng)力分量；然后再根據(jù)應(yīng)力邊界條件和彈性體的邊界形狀，看這些應(yīng)力分量對應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而可以得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決的問題。7、以三節(jié)點(diǎn)三角形單元為例，簡述有限單元法求解離散化結(jié)構(gòu)的具體步驟。（1）取三角形單元的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量。（2）應(yīng)用插值公式，由單元的結(jié)點(diǎn)位移求出

11、單元的位移函數(shù)。（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)求出單元的應(yīng)變。（4）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變求出單元的應(yīng)力。（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力出單元的結(jié)點(diǎn)力。（6）應(yīng)用虛功方程，將單元中的各種外力荷載向結(jié)點(diǎn)移置，求出單元的結(jié)點(diǎn)荷載。（7）列出各結(jié)點(diǎn)的平衡方程，組成整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組。8、為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應(yīng)滿足哪些條件？答：為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應(yīng)滿足下列條件：（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移；（2）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變；（3）位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。9、在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的剛體位移？每個(gè)

12、單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是本單元的形變無關(guān)的，即剛體位移，它是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。甚至在彈性體的某些部位，例如在靠近懸臂梁的自由端處，單元的形變很小，單元的位移主要是由于其他單元發(fā)生形變而引起的剛體位移。因此，為了正確反映單元的位移形態(tài)，位移模式必須能反映該單元的剛體位移。10、在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變？答：每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點(diǎn)不相同的，即所謂變量應(yīng)變；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，是各點(diǎn)相同的，即所謂常量應(yīng)變。而且，當(dāng)單元的尺寸較小時(shí)，單

13、元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，也就是單元的應(yīng)變趨于均勻，因而常量應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分。因此，為了正確反映單元的形變狀態(tài)，位移模式必須能反映該單元的常量應(yīng)變。11、在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元中，能否選取如下的位移模式并說明理由：(1)u(x,y)皿+ax2+ay,v(x,y)=a+ax+ay2123456v(x,y)=ax2+axy+ay2456(2)u(x,y)=ax2+axy+ay2,123答：（1）不能采用。因?yàn)槲灰颇Ｊ經(jīng)]有反映全部的剛體位移和常量應(yīng)變項(xiàng)；對坐標(biāo)x,y不對等；在單元邊界上的連續(xù)性條件也未能完全滿足。（2）不能采用。因?yàn)?位移模式?jīng)]有反映剛體位移和常量應(yīng)變項(xiàng)；在單元邊界上的連續(xù)性條

14、件也不滿足。四、分析計(jì)算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應(yīng)力分量存在的必要條件,并考慮下列平面問題的應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。（1）b=Ax+By，b=Cx+Dy，t=Ex+Fy；xyxy（2）b=A（x2+y2），b=B（x2+y2），t=Cxy；xyxy其中,A,B,C,D,E,F為常數(shù)。解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：（1）在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程dbQt+=0（、（、<V；（2）在區(qū)域內(nèi)的相容方程工+王+b丄0；（3）在邊界上的應(yīng)力CbCTQx2Qy2丿xy+=0v丿丿CyCx邊界條件lo+mixyx'mo+1tyxy)=fC)sx)=f(sysy4)

15、對于多連體的位移單值條件。(1) 此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F,D=-E。此外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。(2) 為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0；為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。2、已知應(yīng)力分量o=-Qxy2+Cx3，o=孑Cxy2，t=Cy3Cx2y，體力不計(jì)，Q為x1y22xy23常數(shù)。試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù)C1，C2，C3。解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程QoQtyx一0xQx丿*JQyQoQt+*=0dydx13Qy2+3Cx23Cy2Cx2=01233Cxy2Cxy=023)

16、3C-C+21C1C(3(32-(Q+3C)y2=0=0由x，y的任意性，得3C-C=013<Q+3C=023C+2C=023由此解得，Ci=f，C2=-f3、已知應(yīng)力分量o=-q，o=-q，t=0，判斷該應(yīng)力分量是否滿足平衡微分方程和xyxy相容方程。解：將已知應(yīng)力分量o=-q，o=-q，t=0，代入平衡微分方程xyxyQoQtx-+y+X=0QxQyQoQt+Y=0QyQx可知，已知應(yīng)力分量b=-q,b=-q,t=0般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略xyxy不計(jì)時(shí)才滿足。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題的相容方程：Q2Q202TQTb)+(bTb)=2(1H)xy0y2xy0x2yx0x0y將

17、已知應(yīng)力分量b=q,b=q,t=0代入上式，可知滿足相容方程。xyxy按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題的相容方程：02V02V202T(bb)+(bb)=xy0y2x1Vy0x2y1Vx1V0x0y將已知應(yīng)力分量b=q，b=q，T=0代入上式，可知滿足相容方程。xyxy(1)£=Axy，x4、試寫出平面問題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在。£=By3，丫=CDy2；yxy(2)£=Ay2，£=Bx2y，y=Cxy；xyxy3)£=0，£=0，y=Cxy；xyxy其中，A，B，C，D為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要

18、條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即02£02£02yXIyx70y20x20x0y將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知：(1)相容。(2)2A+2By=C(1分)；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：B=0，2A=C。(3)0=C；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：C=0,則£=0，£=0，y=0(1分)。xyxy5、證明應(yīng)力函數(shù)p=by2能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題(體力不計(jì)，b丸)。nJh/2XJJh/21/21/2ry解：將應(yīng)力函數(shù)甲二by2代入相容方程dx4dx2dy2可知，所給應(yīng)力函數(shù)=by2能滿足相容方程。由于不計(jì)體力

19、，對應(yīng)的應(yīng)力分量為d20“b=2b，bxd2對于圖示的矩形板和坐標(biāo)系個(gè)邊上的面力分別為：A。，Tydx2=4=0xydxdy當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四上邊，y=-，l=0，m=-1,2f=-(T)xxyhy=-2=0，f=Q)=0；yhy=-2下邊，y=-，l=0，m=1，f=(t)2=0，xxyhy=2f=(b)yy=0；左邊，m=0，f=(b)=-2b，右邊，x=-，l=B可見，xx丄x=-2f=-(t)xy=0；丄x=-2m=0，f=（b）=2b，xxlx=2上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此,f=(T)z=0。2yxyx=應(yīng)力函數(shù)Q=

20、by2能解決矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布壓力（bv0）的問題。6、證明應(yīng)力函數(shù)0=axy能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)，a丸）。OJh/2xh/2一l/2l/2解：將應(yīng)力函數(shù)0=axy代入相容方程可知，所給應(yīng)力函數(shù)=axy能滿足相容方程。dx4dx2dy2由于不計(jì)體力，對應(yīng)的應(yīng)力分量為Q2®Q2®b=0，t=ayQx2xyQxQybQ2P0b=0，xQy2對于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，個(gè)邊上的面力分別為：上邊，y=，1=0，m=1,2f=(T)=a，xxyhy=2T=-Q)=0；yhy=2下邊，y=-，1=0，m=1

21、，了=(t)=a，xxyhy=2f=(b)=0；yy左邊，X=-2，1im=0,f=(b)=0，右邊，x=2，1=1?可見,xx1x=2)=a；xyLx=2m=0,f=(b)=0,f=(t)=a。xxLx=2在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a,而在上下兩邊分別受有向右yxy和向左的均布面力a。因此，應(yīng)力函數(shù)®=axy能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅(jiān)柱，密度為p,在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。x解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓即設(shè)b=0。由此可知xxQy2將上式對y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式®(x,y)=f(

22、x)y+f(x)12將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得dx4卜d4厶(x)=0dx4這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解(全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它)，可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即d4f(x)dx4=0,dx4當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四這兩個(gè)方程要求f(x)=Ax3+Bx2+Cx+1,f(x)=Dx3+Ex2+Jx+K1代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，2并略去對應(yīng)力分量無影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便得申=y(Ax3+Bx2+Cx)+Dx3+Ex2對應(yīng)應(yīng)力分量為b°2P0b=0x6y2d20b=y(6Ax+2B)+6Dx+2EpgyyOx2t=-=-3Ax

23、22BxCxydxdy以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊,x=0,l=1,m=0，沿y方向無面力，所以有-(t)=C=0xyx=0右邊，x=b,l=1,m=0，沿y方向的面力為q,所以有(t)=3Ab22Bb=qxyx=b上邊，y=0,l=0,m=1，沒有水平面力，這就要求t在這部分邊界上合成的主xy矢量和主矩均為零即Jb(T)dx=00xyy=0將T的表達(dá)式代入，并考慮到C=0，則有xyb=Ab3Bb2=00Jb(-3Ax22Bx)dx=Ax3Bx210而Jb(T)0dx=0自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求b在這部0xyy=0y分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即0yy=

24、0dx=0，Jb9)0yxdx=0y=0將b的表達(dá)式代入，則有yJb(6Dx+2E)dx=3Dx2+2Ex|0b=3Db2+2Eb=00由此可得Jb0(6Dx+2E)xdx=2Dx3+Ex2b=2Db3+Eb2=0A=，B=，C=0，D=0，E=0b2b應(yīng)力分量為b=2qb1-3bpgy,yb=q-3-2xybIb雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。xavdx8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為'=-，其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示為,yay+V，bax2xyaxa

25、y，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。證明：在體力為有勢力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時(shí)，應(yīng)力分量b，b，Txyxy應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方程Vbstav+SxSySx<SbStav+SySxSy=0=01分)還應(yīng)滿足相容方程上+工X+bLn+心+坐'、Sx2Sy2丿xy(SxSy丿對于平面應(yīng)力問題）竺+工X+b1-丄乞+監(jiān)（對于平面應(yīng)變問題）、Sx2Sy2丿xy1一卩（SxSy丿并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（1分）。對于多連體，有時(shí)還必須考慮位移單值條件首先考察平衡微分方程。將其改寫為（b-V=0SxxSy<S（）St一匕-V+=0SyySx這是一個(gè)齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第

26、一個(gè)方程改寫為l（b-VLMt）SxxSyyx根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A（x,y），使得SASAb-V=，-T=-xSyyxSx同樣，將第二個(gè)方程改寫為x2CVE(t)(1分)dyydxyx可見也一定存在某一函數(shù)B(x,y),使得ydx_dByxdyl2由此得dA6B因而又一定存在某一函數(shù)申(x,y)，使得A=d，B=dydx代入以上各式，得應(yīng)力分量一竺+V，a巨+V，txdy2ydx2xyd2®dxdy為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程，應(yīng)力函數(shù)申G,y)必須滿足一定的方程,將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問題的相容方程，得d2Q)+V+Vdy2dx2丿=(1+卩d2d2&#

27、39;+dx2dy2丿簡寫為'd2d2''d2®d2®'=2'd2d2、+(dx2dy2丿(dy2dx2丿(dx2dy2丿八V+(1+/工+皂'(dx2dy2丿V4Q=(1p)V2V將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問題的相容方程，得'd2d2)(d2®*1'd2d2'丄丿1一卩1(dx2dy2丿VV+空+Vdy2dx2d2+d2d2®+°2®'dy2dx2丿+(dx2dy2丿(=2'd2d2'+(dx2dy2丿d2d2'+2丿V+1y(d

28、x2dy簡寫為V4申=12,2V1一卩9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為p,試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為申=ax3+bx2y+cxy2+dy3相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為=-黑=2bx-2cyd2pd2申Txyg=xf=2cx+6dy,g=-yf=6ax+2by-pgy,xdy2xydx2y這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù)是否能滿足應(yīng)力邊界條件。上邊，y=0,l=0,m=-l，沒有水平面力，所以有-(T)=2bx=0xyy=0對上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見b=0同時(shí)，該邊界上沒有豎直面力，所以有-(g)=6ax=0yy=0

29、對上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見a=0因此，應(yīng)力分量可以簡化為g=2cx+6dy，g=-pgy，T=-2cyxyxy斜面，y=xtana，l=cos+aI=sina,m=cosCa)=cosa，沒有面力，所以有yx=0=xtana=0yxyy=xtana由第一個(gè)方程，得對斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求4c6dtana=0由第二個(gè)方程，得2cxtanasina一pgxtanacosa=2cxtanasina一pgxsina=0對斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求2ctana-pg=01分）17由此解得c=2pgcota（1分）,d=-3pgcot2a從而應(yīng)力分量為a=pgxcota-2pgyco

30、t2a,ax=-pgy,T=-pgycotayxy設(shè)三角形懸臂梁的長為l,高為h則tana=-。根據(jù)力的平衡，固定端對梁的約束l反力沿x方向的分量為0,沿y方向的分量為-pglh。因此，所求a在這部分邊界上2x合成的主矢應(yīng)為零，工應(yīng)當(dāng)合成為反力-pglh。xy2Jh（a）dy=J£gicota-2pgycot2aly=pglhcota-pgh2cot2a=00xx=l0JhC）dyrnCpgycotabyr-丄pgh2cota=-丄pglh0xyx=l022可見，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件。10、設(shè)有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角a,下端作為無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為P,液體的密度為P,試求應(yīng)力分量。aPigvO12x解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱