第3章一元函數(shù)積分學(xué)412(特殊類型函數(shù)的積分(1))

1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A3.1.6 3.1.6 有理函數(shù)的分解有理函數(shù)的分解3.1.7 3.1.7 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分3.1.8 3.1.8 三角函數(shù)的有理式的積分三角函數(shù)的有理式的積分3.1 3.1 不定積分不定積分有理函數(shù)的定義有理函數(shù)的定義有理函數(shù)的分解有理函數(shù)的分解 有理函數(shù)的性質(zhì)有理函數(shù)的性質(zhì)3.1.6 有理函數(shù)的分解有理函數(shù)的分解 3.1.7 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分 有理函數(shù)的積分法有理函數(shù)的積分法 有理函數(shù)積分習(xí)例有理函數(shù)積分習(xí)例2-73.1.8 三角有理式的積分三角有理式的積分三角有理

2、式的積分法三角有理式的積分法三角有理式積分習(xí)例三角有理式積分習(xí)例8-10 幾類特殊函數(shù)的不定積分幾類特殊函數(shù)的不定積分1. 有理函數(shù)的定義有理函數(shù)的定義 ).,;,; 0, 0()()(00110110為為非非負負整整數(shù)數(shù)nmRbababxbxbaxaxaxQxPiimmmnnn .,時時稱稱為為真真分分式式當當時時稱稱為為假假分分式式當當mnmn 形如形如的多項式分式稱為有理函數(shù)。的多項式分式稱為有理函數(shù)。一、有理函數(shù)的分解一、有理函數(shù)的分解2. 有理函數(shù)的性質(zhì)有理函數(shù)的性質(zhì)(1) 任何有理假分式可化為多項式與有理真分式的和任何有理假分式可化為多項式與有理真分式的和.(2) 實系數(shù)多項式函數(shù)

3、實系數(shù)多項式函數(shù)Q(x)在實數(shù)范圍內(nèi)可分解為一次在實數(shù)范圍內(nèi)可分解為一次 因式與二次因式的乘積因式與二次因式的乘積. )()(,)( (3)的的簡簡單單部部分分分分式式之之和和可可化化為為下下列列四四種種類類型型有有理理真真分分式式分分解解后后xQxPxQ.)(IV. ;III. ;)(II. ;I.22kkqpxxNMxqpxxNMxaxAaxA ;)()(: ,)()(221kkkaxAaxAaxAkaxxQ 個部分分式之和個部分分式之和則分解后有下列則分解后有下列中含有中含有若若.)()(:,)()(222222112kkkkqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkqpxxxQ 個個

4、部部分分分分式式之之和和則則分分解解后后有有下下列列中中含含有有若若3223(1)2xxxx例例1 利用利用待定系數(shù)法待定系數(shù)法將下列有理函數(shù)分解為簡將下列有理函數(shù)分解為簡單部分分式之和單部分分式之和34(2).4dxxx331(3).(1)xdxx x3.有理函數(shù)的分有理函數(shù)的分解解3223(1)2xxxx解解,)2)(1(3223223 xxxxxxxx21)2)(1(32 xCxBxAxxxx設(shè)設(shè),)2)(1()1()2()2)(1( xxxxCxxBxxxA).1()2()2)(1(32 xCxxBxxxAx則則,23 , 0 Ax得得令令,35 , 1 Bx得得令令.61 , 2 C

5、x得得令令,)2(61)1(352323223 xxxxxxx).1()2()2)(1(32 xCxxBxxxAx則則34(2).4dxxx解解,)4(44423 xxxx4)4(4 22 xCBxxAxx設(shè)設(shè))4()()4(22 xxCBxxxA,)4(4)(22 xxACxxBA 4400 ACBA從而從而 011CBA,4)(4 2ACxxBA 得得,414423 xxxxx331(3).(1)xdxx x解解3233)1()1(1)1(1 xDxCxBxAxxx設(shè)設(shè),)1()1()1()1(323 xxDxxCxxBxxA,)1()1()1(1 233DxxCxxBxxAx 得得, 1

6、 , 0 Ax得得令令, 2 , 1 Dx得得令令 0231 CBABA 12CB,23的的系系數(shù)數(shù)得得與與再再比比較較xx332311212(1)1(1)(1)xx xxxxx 有理函數(shù)的積分可轉(zhuǎn)化為計算簡單有理分式的積分如下有理函數(shù)的積分可轉(zhuǎn)化為計算簡單有理分式的積分如下,lnCaxaxdx ),1( )(1(1)(1 kCaxkaxdxkkdxqpxxMNxMdxqpxxNMx 22222dxqpxxpMNpxM 2)2()2(2二、有理函數(shù)的積分二、有理函數(shù)的積分 1.有理函數(shù)的積分法有理函數(shù)的積分法 qpxxdxMpNqpxxqpxxdM222)2()(2 )4()2()2()2(l

7、n2222pqpxpxdMpNqpxxMqpxxM 2ln2,42arctan41)2(22CpqpxpqMpN dxqpxxNMxk )(2 kkqpxxdxMpNqpxxqpxxdM)()2()()(222212)(1(12 kqpxxkM.)4()2()2()2(22 kpqpxpxdMpN這里的最后一項可用下面的遞推公式算出（上節(jié)課的例這里的最后一項可用下面的遞推公式算出（上節(jié)課的例18）11222)32()() 1(21nnnInaxxnaI2.有理函數(shù)的積分習(xí)例有理函數(shù)的積分習(xí)例有理函數(shù)積分的一般步驟：有理函數(shù)積分的一般步驟： 先把被積函數(shù)化為部分分式之和先把被積函數(shù)化為部分分式之

8、和(利用待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法),然后積分然后積分.dxxxxx23223計算例例2 2例例3 3例例6 6例例4 4例例7 7例例5 5dxxx443計算dxxxx33) 1(1計算dxxxx11332計算dxxx103) 1(計算dxxx )2(110計算解解 利用有理函數(shù)的分解，得利用有理函數(shù)的分解，得3223351,223(1)6(2)xxxxxxx dxxxxdxxxxx)2(61)1(352323223.2ln611ln35ln23Cxxx dxxxxx 23223計計算算例例2解解3241,44xxxxxdxxxxdxxx)41(4423 4)4(21122xxddxx.4ln

9、21ln2Cxx 例例3 3dxxx443計算解解332311212,(1)1(1)(1)xx xxxxx dxxxxxdxxxx )1(2)1(1121)1(13233.)1(1111ln2ln2Cxxxx 注意注意: 總之總之,有理函數(shù)的不定積分都已解決有理函數(shù)的不定積分都已解決,其原函數(shù)都是初其原函數(shù)都是初 等函數(shù)等函數(shù).(2) 并非所有有理函數(shù)的不定積分都用此方法，有時用并非所有有理函數(shù)的不定積分都用此方法，有時用 別的方法更方便別的方法更方便.例例4 4dxxxx 33)1(1計算計算解解 1)1(1133332xxxxddxxxx.1ln3Cxx 例例5 5dxxxx 11332計

10、算計算解解dtttdxxxtx 1031103)1()1(dttttt 1023133dttttt )33(10987Ctttt 987691837361.)1(91)1(83)1(73)1(6198761Cxxxxtx 例例6 6dxxx 103)1(計算計算解解dtttdxxxtx 10911021)2(11010211101dtt )21(2112011010tdt Ct 1021ln201.21ln201101Cxtx 例例7 7dxxx )2(110計計算算dxnxmxdxxxR cossin)cos,(sin (1)dxnxmx sinsin 或或dxnxmx coscos 或或方

11、法方法:用積化和差公式進行恒等變形后用積化和差公式進行恒等變形后,再湊微分再湊微分.dxxdxxxRm sin)cos,(sin (2)dxxm cos 或或方法方法: ;,1cossin,22再再湊湊微微分分變變形形后后用用為為奇奇數(shù)數(shù)時時當當 xxm.,再再湊湊微微分分用用倍倍角角公公式式降降冪冪后后為為偶偶數(shù)數(shù)時時當當m三、三、三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分1.三角函數(shù)有理式的積分法三角函數(shù)有理式的積分法xdxxdxxxRnmcossin)cos,(sin (3) 方法方法: ;,1cossin,22的積分的積分再湊微分化為有理函數(shù)再湊微分化為有理函數(shù)變形后變形后用用中有一個為

12、奇數(shù)時中有一個為奇數(shù)時當當 xxnm.,再再湊湊微微分分用用倍倍角角公公式式降降冪冪后后都都是是偶偶數(shù)數(shù)時時當當nmdxxxR )cos,(sin (4),2tan12tan2sin2xxx ,2tan12tan1cos22xxx ,arctan2 ,2tan uxxu 得得令令.122ududx 22221211cos12sinududxuuxuux萬能代換萬能代換.方法方法: .12)11,12()cos,(sin22222tanduuuuuuRdxxxRxu dxxxR cos)(sin (5)xusin 令令dxxxR sin)(cosxucos 令令dxxxRdxxR )cos,(s

13、in)(tan (6)22或或xutan 令令2.三角有理式的積分習(xí)例三角有理式的積分習(xí)例例例8 8例例9 9例例1010解解xdxxdxxxcoscossincossin6667 xdxxcoscos)cos1(632 xdxxxxcoscos)coscos3cos31(6642 xdxxxxcos)coscos3cos3cos(121086 .cos131cos113cos93cos71131197Cxxxx 例例8 8解解dxxxdxxx )sin1(sincossin2424dxxdxx 64sinsindxxdxx 32)22cos1()22cos1(dxxx )2cos2cos21(412dxxxx )2cos2co