第三章 有限元法

1、 有限元法有限元法是結構分析的一種是結構分析的一種數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法。它在。它在20世紀世紀50年代初年代初期隨著計算機的發(fā)展應運而生。期隨著計算機的發(fā)展應運而生。這一方法這一方法的的理論基礎牢靠理論基礎牢靠，物理概念清晰物理概念清晰，解題效率高解題效率高，適應性適應性強強，目前已成為，目前已成為機械產(chǎn)品動機械產(chǎn)品動、靜靜、熱特性分析熱特性分析的重要手段，它的程序的重要手段，它的程序包是包是機械產(chǎn)品計算機輔助設計方法庫機械產(chǎn)品計算機輔助設計方法庫中不可缺少的內(nèi)容之一。中不可缺少的內(nèi)容之一。 本章本章介紹了介紹了如下內(nèi)容如下內(nèi)容: : 有限元法的概述有限元法的概述 平面剛架的有限元法平面剛

2、架的有限元法 彈性力學平面問題的有限元法彈性力學平面問題的有限元法3.1 概述概述 在在工程分析工程分析和和科學研究科學研究中，常常會遇到大量的由中，常常會遇到大量的由常微分方程常微分方程、偏偏微分方程微分方程及相應的及相應的邊界條件邊界條件描述的描述的場問題場問題，如位移場、應力場和溫度，如位移場、應力場和溫度場等問題。目前求解這類場等問題。目前求解這類場問題場問題的方法主要有的方法主要有兩種兩種： 用用解析法解析法求得精確解；求得精確解； 用用數(shù)值解法數(shù)值解法求其近似解。求其近似解。 其中，其中， 能用能用解析法解析法求出求出精確解精確解的只能是方程性質比較簡單且?guī)缀蔚闹荒苁欠匠绦再|比較簡

3、單且?guī)缀芜吔缦喈斠?guī)則的少數(shù)問題。邊界相當規(guī)則的少數(shù)問題。而對于絕大多數(shù)問題，則很少能得出而對于絕大多數(shù)問題，則很少能得出解析解解析解。這就需要研究它的。這就需要研究它的數(shù)值解法數(shù)值解法，以求出，以求出近似解近似解。 目前，工程中實用的目前，工程中實用的主要有主要有三種三種： 有限差分法有限差分法 有限元法有限元法 邊界元法邊界元法 其中，以其中，以有限元法有限元法通用性最好通用性最好，解題效率高解題效率高，工程應用最廣工程應用最廣。目前它已成為目前它已成為機械產(chǎn)品動機械產(chǎn)品動、靜靜、熱特性分析熱特性分析的重要手段，的重要手段，是是機械產(chǎn)品計算機輔助設計方法庫機械產(chǎn)品計算機輔助設計方法庫中不可缺

4、少的內(nèi)容之一。中不可缺少的內(nèi)容之一。“ ” 的的早在早在20世紀世紀40年代初期就有人提出，年代初期就有人提出，但但真正用于工程中則是真正用于工程中則是電子計算機電子計算機出現(xiàn)以后。出現(xiàn)以后。 “ ” 這一名稱是這一名稱是1960年美國的年美國的克拉夫克拉夫（Clough，R.W.）在一篇題為在一篇題為 “平面應力分析的有限元法平面應力分析的有限元法” 論文中首先使用。此后，論文中首先使用。此后，有有限元法限元法的應用得到蓬勃發(fā)展。的應用得到蓬勃發(fā)展。 到到20世紀世紀80年代初期國際上較大型的年代初期國際上較大型的結構分析結構分析有限元通用程序有限元通用程序多多達達幾百種幾百種，從而為，從而

5、為工程應用工程應用提供了方便條件。由于有限元通用程序提供了方便條件。由于有限元通用程序使用方便，計算精度高，其計算結果已成為使用方便，計算精度高，其計算結果已成為各類工業(yè)產(chǎn)品設計各類工業(yè)產(chǎn)品設計和和性性能分析能分析的可靠依據(jù)。的可靠依據(jù)。 3.1 概述3.1.2 桿系單元 定義 桿系結構中的桿件、梁、柱等稱為桿系單元。連接的點稱為節(jié)點。 桿系單元為一維單元。 結構離散 一般原則： 桿系的交叉點、邊界點、集中力作用點、桿件截面尺寸突變處等都應該設置節(jié)點，節(jié)點之間的桿件即構成單元。F節(jié)點1節(jié)點2單元節(jié)點3節(jié)點2單元可概括如下：可概括如下： 連續(xù)體離散化連續(xù)體離散化 單元分析單元分析 整體分析整體分

6、析 確定約束條件確定約束條件 有限元方程求解有限元方程求解 結果分析與討論結果分析與討論1. 連續(xù)體離散化連續(xù)體離散化連續(xù)體連續(xù)體：是指所：是指所求解的對象求解的對象（如物體或結構）。（如物體或結構）。離散化離散化（劃分網(wǎng)格或網(wǎng)絡化劃分網(wǎng)格或網(wǎng)絡化）：是將所求解的對象）：是將所求解的對象劃分劃分為有限為有限個具有規(guī)則形狀的個具有規(guī)則形狀的微小塊體微小塊體，把每個微小塊體稱為，把每個微小塊體稱為單元單元，相鄰兩個，相鄰兩個單元單元之間只通過之間只通過若干點若干點互相連接，每個連接點稱為互相連接，每個連接點稱為節(jié)點節(jié)點。相鄰相鄰單元單元只在只在節(jié)點處節(jié)點處連接，連接，載荷載荷也只通過也只通過節(jié)點節(jié)

7、點在在各單元各單元之間傳之間傳遞，這些遞，這些有限個單元有限個單元的的集合體，集合體，即原來的即原來的連續(xù)體連續(xù)體。 單元單元劃分后，給每個劃分后，給每個單元單元及及節(jié)點節(jié)點進行編號；進行編號； 選定坐標系，計算各個選定坐標系，計算各個節(jié)點坐標節(jié)點坐標； 確定各個確定各個單元單元的的形態(tài)和性態(tài)參數(shù)形態(tài)和性態(tài)參數(shù)以及以及邊界條件邊界條件等。等。 圖圖3-1 所示為將一所示為將一建立建立的例子。的例子。 圖中將該圖中將該懸臂梁懸臂梁劃分為許多劃分為許多三角形單元三角形單元； 三角形單元三角形單元的的三個頂點三個頂點都是都是節(jié)點節(jié)點。圖圖3-1 懸臂梁及其有限元模型懸臂梁及其有限元模型 2. 單元分

8、析單元分析 連續(xù)體離散化連續(xù)體離散化后，即可對后，即可對單元體單元體進行特性分析，簡稱為進行特性分析，簡稱為單元分析單元分析。單元分析工作單元分析工作主要有主要有兩項兩項：(1)(1)選擇單元位移模式選擇單元位移模式( (位移函數(shù)位移函數(shù)) ) 用用節(jié)點位移節(jié)點位移來表示來表示的的位移位移、應變應變和和應力應力，就需，就需搞清搞清各單元各單元中的中的位移分布位移分布。 一般是假定一般是假定單元位移單元位移是坐標的是坐標的某種簡單函數(shù)某種簡單函數(shù)，用其模擬內(nèi)位移，用其模擬內(nèi)位移的分布規(guī)律，的分布規(guī)律，這種函數(shù)這種函數(shù)就稱為就稱為位移模式位移模式或或位移函數(shù)位移函數(shù)。通常。通常采用的函數(shù)采用的函數(shù)

9、形式形式多為多為多項式多項式。 根據(jù)所選定的根據(jù)所選定的位移模式位移模式，就可以導出用，就可以導出用來表示單元體來表示單元體內(nèi)內(nèi)任一點位移的關系式任一點位移的關系式。 進行進行單元力學特性分析單元力學特性分析，將作用在，將作用在單元上單元上的的所有力所有力（表面（表面力、體積力、集中力）等效地移置為力、體積力、集中力）等效地移置為節(jié)點載荷節(jié)點載荷； 采用有關的采用有關的力學原理力學原理建立建立，求得單元內(nèi)，求得單元內(nèi)節(jié)節(jié)點位移點位移與與節(jié)點力節(jié)點力之間的之間的關系矩陣關系矩陣 單元剛度矩陣單元剛度矩陣。 (2) 分析單元的特性分析單元的特性，建立單元剛度矩陣建立單元剛度矩陣 3. 整體分析整體

10、分析 把把各個單元各個單元的的剛度矩陣剛度矩陣集成為集成為總體剛度矩陣總體剛度矩陣，以及將，以及將各單各單元元的的節(jié)點力向量節(jié)點力向量集成集成總的力向量總的力向量，求得，求得整體平衡方程整體平衡方程。 集成過程所依據(jù)的原理是集成過程所依據(jù)的原理是節(jié)點變形協(xié)調條件節(jié)點變形協(xié)調條件和和平衡條件平衡條件。 4. 確定約束條件確定約束條件由上述所形成的由上述所形成的是是一組線性代數(shù)方程一組線性代數(shù)方程，在求解，在求解之前，必修根據(jù)具體情況分析，確定之前，必修根據(jù)具體情況分析，確定的的邊界約束條邊界約束條件件，并對，并對這些方程這些方程進行適當修正。進行適當修正。5. 有限元方程求解有限元方程求解通過通

11、過求解求解整體平衡方程整體平衡方程，即可求得，即可求得各節(jié)點各節(jié)點的的位移位移， 進而根據(jù)進而根據(jù)位移位移可計算可計算單元單元的的應力應力及及應變應變。 6. 結果分析與討論結果分析與討論F節(jié)點2節(jié)點1單元 21 22 21 22 11節(jié)點1節(jié)點2單元 11 12 12節(jié)點節(jié)點2 ef2)(1e)(2e el eA eE節(jié)點節(jié)點1 ef1x節(jié)點節(jié)點1 ef1x節(jié)點節(jié)點2 ef2)(1e)(2e el eA eE節(jié)點節(jié)點1 ef1 eeeeeeeeeeeelAEflAEf212211 eeeeelAEff21211111 eeekf 1111eeeelAEk eekkkkk22211211 網(wǎng)架

12、桿件網(wǎng)架桿件節(jié)點位移節(jié)點位移單元剛度矩陣單元剛度矩陣總剛度矩陣總剛度矩陣總剛度方程總剛度方程節(jié)點位移值節(jié)點位移值桿件內(nèi)力桿件內(nèi)力單元內(nèi)力與節(jié)點位移間關系單元內(nèi)力與節(jié)點位移間關系引入邊界條件引入邊界條件節(jié)點平衡及變形協(xié)調條件節(jié)點平衡及變形協(xié)調條件基本單元基本未知量總總疊加疊加cA疊加疊加3.2 平面剛架的有限元法桿系單元 分類 桁架單元：桁架中的桿件 剛架單元：剛架中的桿件 區(qū)別： 桁架節(jié)點：鉸節(jié)點 傳遞力！ 剛架節(jié)點：剛節(jié)點 傳遞力和力矩！ 桿系單元的有限元分析與平面問題和空間問題比較， 基本流程完全相同； 具體計算細節(jié)需要按照桿系單元的特性來進行。剛架的有限元分析平面剛架兩個坐標系： 局部坐

13、標系 整體坐標系 梁在梁在（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下產(chǎn)（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下產(chǎn)生生彎曲變形彎曲變形，在，在作用下產(chǎn)生作用下產(chǎn)生線位移線位移。 對于對于該平面簡支梁該平面簡支梁問題：問題：梁上任一點梁上任一點受有受有三個力三個力的作用：的作用： 水平力水平力Fx， 剪切力剪切力Fy ， 和彎矩和彎矩Mz。相應的位移相應的位移為：為： 水平線位移水平線位移u， 撓度撓度v ， 和轉角和轉角 z 。 由由上圖上圖可見：可見： 水平線位移水平線位移和和水平力水平力向右為正，向右為正， 撓度撓度和和剪剪切力切力向上為正，向上為正， 轉角轉角和和彎矩彎矩逆時針方向為正。逆時針方

14、向為正。 通常規(guī)定：通常規(guī)定：11m22mxfu11xfu22yfv11yfv2212 水平線位移水平線位移和和水平力水平力向右為正，向右為正， 撓度撓度和和剪剪切力切力向上為正，向上為正， 轉角轉角和和彎矩彎矩逆時針方向為正。逆時針方向為正。為使為使問題簡化問題簡化，可把，可把圖示的梁圖示的梁看作是一個看作是一個梁單元梁單元。如如圖圖所示，當令所示，當令左支承點左支承點為為節(jié)點節(jié)點 1 ，右支承點右支承點為為節(jié)點節(jié)點2 時，時，則則該單元該單元的的節(jié)點位移節(jié)點位移和和節(jié)點力節(jié)點力可以分別表示為：可以分別表示為：111222111222, ,xyxyuvuvffmffm ( )111222,

15、,e Teu vu v稱為稱為單元的節(jié)點位移列陣單元的節(jié)點位移列陣。 ( )111222,Texyxyfffmffm稱為稱為；若若 f 為為，則稱為，則稱為載荷列陣載荷列陣。 （5-1）（5-2）寫成寫成矩陣形式矩陣形式為為顯然，顯然，和和是有聯(lián)系的。在是有聯(lián)系的。在內(nèi)，內(nèi)，這種關系這種關系是是，可用，可用下式下式表示表示 11112131415161212223242526313233343536141424344454622515253545556616263642 exyxyfkkkkkkfkkkkkkkkkkkkmkkkkkkffkkkkkkkkkkm 1112226566 eeuvu

16、vkk ( )( )( )eeefk或或上上式式稱為稱為，或稱為，或稱為單元剛度方程單元剛度方程，它代表了，它代表了與與之間（或之間（或）的聯(lián)系；）的聯(lián)系；式中，式中，K(e)稱為稱為單元剛度矩陣單元剛度矩陣，它是，它是。 對于所示的對于所示的平面梁單元問題平面梁單元問題，利用材料力學中的桿件受力與變形，利用材料力學中的桿件受力與變形間的關系及疊加原理，可以直接計算出間的關系及疊加原理，可以直接計算出單元剛度矩陣單元剛度矩陣K(e)中的中的各系數(shù)各系數(shù) kst( s, t = i, j ) 的數(shù)值，的數(shù)值，具體方法具體方法如下：如下： (1) 假設假設 u1=，其余位移分量其余位移分量均為零，

17、即均為零，即 v1= 1=u2=v2= 2=0，此時此時梁單元如梁單元如圖圖 (a)所示，由所示，由梁的變形公式梁的變形公式得得 圖圖 (a)111 xf luEA321110 32yf lmlvEIEI211102yf lmlEIEI 由由上述三式上述三式可以解得可以解得 111, f0, m0 xyEAfl根據(jù)根據(jù)靜力平衡條件靜力平衡條件 21212, f0, m0 xxyyEAfffl 解得解得 111212311412512612, 0, 0, 0, 0 xyxyEAkfkfkmlEAkfkfkml (2) 同理，同理，設設v1=，其余位移分量其余位移分量均為零，即均為零，即u1= 1

18、=u2=v2= 2= 0, 此時梁單元如此時梁單元如圖圖 (b)所示，由所示，由梁的變形公式梁的變形公式得得110 xfluEA321111 32yf lmlvEIEI211102yf lmlEIEI 圖圖 (b)111321260, f, mxyEIEIfll由由上述三式上述三式可以解得可以解得利用利用2121211321260, f, mxxyyyEIEIffff lmll 解得解得 12122132132422522622321260, , 1260, , xyxyEIEIkfkfkmllEIEIkfkfkmll (3)同理，同理，設設 ，其余位移分量其余位移分量均為零，即均為零，即此時

19、梁單元如此時梁單元如圖圖(c)所示，由所示，由梁的變形公式梁的變形公式得得 11112220u v uv 110 xf luEA321110 32yf lmlvEIEI211112yf lm lEIEI 由由上述三式上述三式可以可以解得解得1112640, f, mxyEIEIfll圖圖(c)利用利用靜力平衡條件靜力平衡條件，可得，可得 21212112620, f, mxxyyyEIEIffff lmll 13123133124325326322640, , 620, , xyxyEIEIkfkfkmllEIEIkfkfkmll 解得解得 ，仿此可推出。最后可以得到，仿此可推出。最后可以得到

20、平面彎曲梁元平面彎曲梁元的的單元單元剛度矩陣剛度矩陣為為 這樣，便求得這樣，便求得單元剛度矩陣單元剛度矩陣中前三列中前三列剛度系數(shù)剛度系數(shù)。 323222( ) 0 0 0 0126126 0 0 6462 0 0 0 eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllkEAl323222 0 0 0126126 0 0 6264 0 0 EAlEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll可以看出，可以看出， k(e)為為 。66XYyxuvUVcossinsincosVUvVUu整體坐標系整體坐標系OXY 局部坐標系局部坐標系 Oxy ejjjiiieeVUVUvuvu100

21、0000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos222111坐標轉換坐標轉換從整體坐標到局部坐標的坐標變換矩陣T eeeT eeeeTkTKTu單元剛度矩陣具有下列特點：單元剛度矩陣具有下列特點：矩陣具有矩陣具有對稱性對稱性矩陣具有矩陣具有奇異性奇異性矩陣具有分塊性矩陣具有分塊性u總剛矩陣具有下列特點：總剛矩陣具有下列特點：矩陣具有矩陣具有對稱性對稱性，計算時不必將所有元素列計算時不必將所有元素列出，只列出上三角或下三角即可。出，只列出上三角或下三角即可。矩陣具有矩陣具有奇異性奇異性矩陣具有稀疏性矩陣具有稀疏性。XYO1234(1)(2)(3)

22、(4)總剛矩陣中邊界條件的處理方法總剛矩陣中邊界條件的處理方法 未引入邊界條件前，總剛矩陣未引入邊界條件前，總剛矩陣KK是奇異的，是奇異的，不能進行求解。引入結構邊界條件消除剛體不能進行求解。引入結構邊界條件消除剛體位移后，總剛矩陣為正定矩陣。位移后，總剛矩陣為正定矩陣。 位移為零位移為零 彈性約束彈性約束 指定位移指定位移 處理方法處理方法約束條件的處理約束條件的處理 位移分量的值為零：位移分量的值為零：置置1賦賦0法法 位移分量等于一個已知的非零值：位移分量等于一個已知的非零值：置置 大數(shù)法大數(shù)法非節(jié)點載荷的處理非節(jié)點載荷的處理（1）載荷移置原理）載荷移置原理（2）固定端反力和反力矩的計算

23、）固定端反力和反力矩的計算平面桁架的有限元分析 在整體坐標系下的單元剛度矩陣為： n個個 節(jié)節(jié)點類點類型型局部局部坐標坐標系下系下的單的單元剛元剛度矩度矩陣陣k(e)整體整體坐標坐標系下系下的單的單元剛元剛度矩度矩陣陣K(e)坐標坐標轉換轉換矩陣矩陣T(e)總體總體剛度剛度矩陣矩陣K剛架剛架6* *66* *66* *63n* *3n桁架桁架2* *24* *42* *42n* *2n【例】【例】平面桁架結構中，某單元局部編碼依次對應平面桁架結構中，某單元局部編碼依次對應的總體編碼為的總體編碼為8，6，則單元剛度矩陣中的元素，則單元剛度矩陣中的元素k34應放入總體剛度矩陣應放入總體剛度矩陣K中

24、的中的 行行 列列20032004 3211012200001031211011010020201011011aK 31320211041101302010500010110000020200010110100233232223222122121112111aKKKKKKKKK33322231211013011220200011041111013002010500000VUVUaF200520062007 2222TkTKT 246026061206120001001260460612061200010012100000001000010000000100000001000010TA40620

25、60100106012601220640601001060126012210020000100001000000010000000100001046026000100161206120260460001001612061202AA90度時，度時，-BAC-EDF先看行后看列先看行后看列 401601200040006120000012062608010612061360120016013200233231122121213112211111AKKKKKKKKK22211146026061206120001001260866612061300016013201000000VUVUA2008200

26、92010l結構離散化結構離散化l位移函數(shù)位移函數(shù)l單元剛度矩陣單元剛度矩陣l載荷移植載荷移植l結構總體剛度方程結構總體剛度方程l位移邊界條件的處理位移邊界條件的處理l應力計算應力計算l公式推廣公式推廣3.3 3.3 平面問題的有限單元法平面問題的有限單元法彈性力學平面問題的有限元位移法 有限元位移法求解彈性力學平面問題：有限元位移法求解彈性力學平面問題： 離散研究對象，對它進行編號，然后建立線性代數(shù)離散研究對象，對它進行編號，然后建立線性代數(shù)方程組方程組K=PK=P 需要建立剛度矩陣需要建立剛度矩陣KK，建立載荷列陣，建立載荷列陣PP，引入約，引入約束邊界條件，才能解方程得出位移束邊界條件，

27、才能解方程得出位移,求得應力求得應力。 彈性力學平面問題的有限元位移法求解過程與平面彈性力學平面問題的有限元位移法求解過程與平面桿件系統(tǒng)的求解過程相似，實際上平面桿件系統(tǒng)的求解過桿件系統(tǒng)的求解過程相似，實際上平面桿件系統(tǒng)的求解過程運用了材料力學中桿件和梁的己知變形關系，但彈性力程運用了材料力學中桿件和梁的己知變形關系，但彈性力學平面問題形狀復雜，受力情況多變，沒有可利用的己知學平面問題形狀復雜，受力情況多變，沒有可利用的己知變形關系，在建立剛度矩陣時必須對離散結構物所用的單變形關系，在建立剛度矩陣時必須對離散結構物所用的單元位移元位移( (變形變形) )進行假設，因此用最簡單的線性關系假設，進

28、行假設，因此用最簡單的線性關系假設，離散平面問題的單元，三角形單元。離散平面問題的單元，三角形單元。 平面應力問題：平面應力問題：只在平面內(nèi)有應力，與該面只在平面內(nèi)有應力，與該面垂直方向的應力可忽略，例如薄板拉壓問垂直方向的應力可忽略，例如薄板拉壓問題。題。平面應變問題：平面應變問題：只在平面內(nèi)有應變，與該面只在平面內(nèi)有應變，與該面垂直方向的應變可以忽略。垂直方向的應變可以忽略。 2100010112ED對于平面應力問題，彈性矩陣D為 對于平面應變問題，只要將 式中的E換成換成E/1- 2 ， 換成換成 /1- ，即得到其彈性矩陣 DE111211100122 1對稱簡述平面應力問題和平面應變

29、問題的區(qū)別？簡述平面應力問題和平面應變問題的區(qū)別？(1)應力狀態(tài)不同：平面應力問題中平板的厚度與長應力狀態(tài)不同：平面應力問題中平板的厚度與長度、高度相比尺寸小很多，所受的載荷都在平度、高度相比尺寸小很多，所受的載荷都在平面內(nèi)并沿厚度方向均勻分布，可以認為厚度方面內(nèi)并沿厚度方向均勻分布，可以認為厚度方向的應力為零。向的應力為零。 平面應變問題中由于平面應變問題中由于z向尺寸大，該方向上的變向尺寸大，該方向上的變形是被約束住的，沿形是被約束住的，沿z向的應變?yōu)榱?。向的應變?yōu)榱?。?）彈性矩陣不同：將平面應力問題中的）彈性矩陣不同：將平面應力問題中的E ,就成為平面應變問題的彈性矩陣就成為平面應變問

30、題的彈性矩陣。在有限元分析中，為什么要采用半帶存儲？在有限元分析中，為什么要采用半帶存儲？(1)單元尺寸越小，單元數(shù)越多，分析計算精度越高單元數(shù)越多，總剛度矩陣階數(shù)越高，所需計算機的內(nèi)存量和計算量越大。(2)總體剛度矩陣具有對稱性、稀疏性以及非零元素帶形分布規(guī)律。(3)只存儲主對角線元素以及上（或下）三角矩陣中寬為NB的斜帶區(qū)內(nèi)的元素，可以大大減小所需內(nèi)存量。 彈性體和有限元計算模型 X132u1v1u2v2v(x,y).u(x,y)u3v3(x,y)YO TTevuvuvu332211321yxyxvyxyxu654321, eB eBD 彈性體和有限元計算模型 (1)(2)(3)(4)12

31、3456123456789101112131415圖 3-6 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415123456789101112131415圖 3-6 b 半帶寬B=（相鄰節(jié)點號的最大差值D+1）*2200320042005200620072008200920105.2.2 單元特性的推導方法單元特性的推導方法 的推導是的推導是的的基本步驟之一基本步驟之一。目前，建立目前，建立單元剛度矩陣單元剛度矩陣的方法主要有以下的方法主要有以下四種四種： 直接剛度法直接剛度法 虛功原理法虛功原理法 能量變分法能量變分法 加權殘數(shù)法加權殘數(shù)法 梁在梁在（可以是集中力或分布

32、力或力矩等）作用下產(chǎn)（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下產(chǎn)生生彎曲變形彎曲變形，在，在作用下產(chǎn)生作用下產(chǎn)生線位移線位移。 對于對于該平面簡支梁該平面簡支梁問題：問題：梁上任一點梁上任一點受有受有三個力三個力的作用：的作用： 水平力水平力Fx， 剪切力剪切力Fy ， 和彎矩和彎矩Mz。相應的位移相應的位移為：為： 水平線位移水平線位移u， 撓度撓度v ， 和轉角和轉角 z 。 由由上圖上圖可見：可見： 水平線位移水平線位移和和水平力水平力向右為正，向右為正， 撓度撓度和和剪剪切力切力向上為正，向上為正， 轉角轉角和和彎矩彎矩逆時針方向為正。逆時針方向為正。 通常規(guī)定：通常規(guī)定：為使為使問題簡化

33、問題簡化，可把，可把圖示的梁圖示的梁看作是一個看作是一個梁單元梁單元。如如圖圖5-4所示，當令所示，當令左支承點左支承點為為節(jié)點節(jié)點 i ，右支承點右支承點為為節(jié)點節(jié)點 j 時，時，則則該單元該單元的的節(jié)點位移節(jié)點位移和和節(jié)點力節(jié)點力可以分別表示為：可以分別表示為：, ,iizijjzjxiyizixjyjzjuvuvFFMFFM ( ), , ,Teiizijjzjqu vu v稱為稱為單元的節(jié)點位移列陣單元的節(jié)點位移列陣。 ( ),TexiyizixjyjzjFFFMFFM稱為稱為；若若 F 為為，則稱為，則稱為載荷列陣載荷列陣。 （5-1）（5-2）寫成寫成矩陣形式矩陣形式為為顯然，顯然

34、，和和是有聯(lián)系的。在是有聯(lián)系的。在內(nèi)，內(nèi)，這種關系這種關系是是，可用，可用下式下式表示表示 1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455566162636 xiyizixjyjzjFkkkkkkFkkkkkkMkkkkkkFkkkkkkFkkkkkkkkkkM46566 iizijjzjuvuvkk ( )( )( )eeeFKq或或（5-3b）（5-3a）上上式式(5-3b)稱為稱為，或稱為，或稱為單元剛度方程單元剛度方程，它代表，它代表了了與與之間（或之間（或）的聯(lián)系；）的聯(lián)系；式中，式中，K(e)稱為稱為單元剛度矩陣

35、單元剛度矩陣，它是，它是。 對于對于圖圖5-4所示的所示的平面梁單元問題平面梁單元問題，利用材料力學中的桿件受力與，利用材料力學中的桿件受力與變形間的關系及疊加原理，可以直接計算出變形間的關系及疊加原理，可以直接計算出單元剛度矩陣單元剛度矩陣K(e)中的中的各各系數(shù)系數(shù) kst( s, t = i, j ) 的數(shù)值，的數(shù)值，具體方法具體方法如下：如下： (1) 假設假設 ui=，其余位移分量其余位移分量均為零，即均為零，即 vi= iz=uj=vj= zj=0，此時此時梁單元如梁單元如圖圖5-5(a)所示，由所示，由梁的變形公式梁的變形公式得得 圖圖5-5(a)1 xiiF luEA320 3

36、2yiziiF lM lvEIEI202yiziziF lM lEIEI 由由上述三式上述三式可以解得可以解得 , 0, 0 xiyiziEAFFMl根據(jù)根據(jù)靜力平衡條件靜力平衡條件 , 0, 0 xjxiyjyizjEAFFFFMl 由由式式(5-3a)解得解得 112131415161, 0, 0, 0, 0 xiyizixjyjzjEAkFkFkMlEAkFkFkMl (2) 同理，同理，設設vi=，其余位移分量其余位移分量均為零，即均為零，即ui= iz=uj=vj= zj= 0, 此時梁單元如此時梁單元如圖圖5-5(b)所示，由所示，由梁的變形公式梁的變形公式得得0 xiiFluEA

37、321 32yiziiF lM lvEIEI202yiziziF lM lEIEI 圖圖5-5(b)321260, , xiyiziEIEIFFMll由由上述三式上述三式可以解得可以解得利用利用321260, , xjxiyjyizjyiziEIEIFFFFMF lMll 由由式式(5-3a) 解得解得 12223232425262321260, , 1260, , xiyizixjyjzjEIEIkFkFkMllEIEIkFkFkMll (3)同理，同理，設設 ，其余位移分量其余位移分量均為零，即均為零，即此時梁單元如此時梁單元如圖圖5-5(c)所示，由所示，由梁的變形公式梁的變形公式得得

38、1zi0iijjzju v uv 0 xiiF luEA320 32yiziiF lM lvEIEI212yiziziF lM lEIEI 由由上述三式上述三式可以可以解得解得2640, , xiyiziEIEIFFMll圖圖5-5(c)利用利用靜力平衡條件靜力平衡條件，可得，可得 2620, , xjxiyjyizjyiziEIEIFFFFMF lMll 13233324353632640, , 620, , xiyizixjyjzjEIEIkFkFkMllEIEIkFkFkMll 由由式式(5-3a)解得解得 ，仿此可推出。最后可以得到，仿此可推出。最后可以得到平面彎曲梁元平面彎曲梁元的的

39、單元單元剛度矩陣剛度矩陣為為 這樣，便求得這樣，便求得式（式（5-3a）單元剛度矩陣單元剛度矩陣中前三列中前三列剛度系數(shù)剛度系數(shù)。 323222( ) 0 0 0 0126126 0 0 6462 0 0 0 eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllKEAl323222 0 0 0126126 0 0 6264 0 0 EAlEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll可以看出，可以看出， K(e)為為。（5-4）(1)設定位移函數(shù)設定位移函數(shù) 按照按照有限元法的基本思想有限元法的基本思想：首先需設定：首先需設定一種函數(shù)一種函數(shù)來近似表達單元來近似表達單元內(nèi)部的內(nèi)部的

40、，稱為，稱為位移函數(shù)位移函數(shù)，或，或位移模式位移模式。 有有6個自由度個自由度，可以確定，可以確定 6個待定系數(shù)個待定系數(shù)，故，故三三角形單元角形單元的的位移函數(shù)位移函數(shù)為為 （5-5）123456( , )( , )uu x yxyvv x yxy式式(5-5)為為，稱為，稱為，稱為稱為。 1234561 0 0 00 0 0 1 ux ydsvx y 上上式式(5-5)也可用也可用表示，即表示，即 式中，式中，d 為為的的。 （5-6）由于由于 在在單元單元上，上，自然也就滿足自然也就滿足位移函位移函數(shù)數(shù)式式(5-5)。設設分別為分別為( ui, vi)、( uj, vj )、( um,

41、vm )，將，將節(jié)節(jié)點位移點位移和和節(jié)點坐標節(jié)點坐標代入代入式式(5-5)，得，得 123123123iiijjjmmmuxyuxyuxy456456456iiijjjmmmvxyvxyvxy( )12345600000000010002000000eijmiijmiijnjijmjijmmijmmaaaubbbvcccuaaavbbbucccv（5-7）111112221iijjijjmmijimjimmmxyxyx yx yx yx yx yx yxy 式中式中（5-8）由上可知，由上可知，共有共有6個方程個方程，可以求出，可以求出6個待定系數(shù)個待定系數(shù)。解方程，求得。解方程，求得各待定系

42、數(shù)各待定系數(shù)和和節(jié)點位移節(jié)點位移之間的之間的表達式表達式為為 為為。其中：。其中： , , , , , , ijmmjjmiimmijjiijmjmimijimjjimmjiax yx yax yx yax yx ybyybyybyycxxcxxcxx（5-9）將將式式(5-7)及及式式(5-8)、式式(5-9)代入代入式式(5-6)中，得到中，得到 ( )( )00000000010 0 010000 0 0 12000000000 000 =ijmiijmiijnjijmjibmmijmmeijmijmeaaaubbbvcccuuxydaaavvxybbbucccvNNNqNNNN q （

43、5-10）（5-11）式中，式中，矩陣矩陣 N 稱為單元的稱為單元的形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣； 為單元為單元節(jié)點位移列陣節(jié)點位移列陣。其中，其中， 為為單元單元的的形函數(shù)形函數(shù)，它們反映單元內(nèi)位移的，它們反映單元內(nèi)位移的 分布形態(tài)，是分布形態(tài)，是x, , y 坐標的坐標的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)，且有，且有( ) eq, , ijmNNN222iiiijjjjmmmmNab xc yNab xc yNab xc y（5-12）式式(5-10)又可以寫成又可以寫成, , ,iijjmmiii i j miijjmmiii i j muN uN uN uN uvN vN vN vN v（5-13）上式上式清楚

44、地表示了清楚地表示了單元內(nèi)任意點位移單元內(nèi)任意點位移可由可由節(jié)點位移節(jié)點位移插值求出。插值求出。 (2) 利用幾何方程由位移函數(shù)求應變利用幾何方程由位移函數(shù)求應變根據(jù)根據(jù)彈性力學彈性力學的的幾何方程幾何方程 ，線應變線應變 剪切應變剪切應變 則則應變列陣應變列陣可以寫成可以寫成 /, / ,xyuxuy / ,xyuyux ( )( ) 0001 0002iixijmeejyijmjxyiijjmmmmuuvxbbbuucccB qvycbcbcbuuuyxv式中，式中，B 稱為稱為單元應變矩陣單元應變矩陣，它是它是僅與僅與有關的有關的常量常量矩陣矩陣，即，即 （5-14） 00010002i

45、jmijmiijjmmbbbBccccbcbcb（5-15） 上述上述方程方程(5-14)稱為稱為，它的意義它的意義在于：在于： 亦可用亦可用即即節(jié)點位移分量節(jié)點位移分量來表來表示。示。 2101011002ED ( )( )( )( )exeeeyxyDDBq則有如下則有如下由由式式(5-19)可求可求，它它也可用也可用基本未知量基本未知量即即節(jié)點位移分量節(jié)點位移分量來表示。來表示。（5-18）（5-19）(4)由虛功原理求單元剛度矩陣由虛功原理求單元剛度矩陣 根據(jù)根據(jù)虛功原理虛功原理，當，當受到受到外載荷作用外載荷作用處于處于時，時，在任意給出的微小的在任意給出的微小的虛位移虛位移上，上，在在虛位移虛位移上所做的上所做的虛功虛功AF等等于結構內(nèi)于結構內(nèi)在在虛應變虛應變上所存儲的上所存儲的虛變形勢能虛變形勢能A ，即，即FAA設處于設處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)的彈性結構內(nèi)的彈性結構內(nèi)任一單元任一單元發(fā)生一個發(fā)生一個微小的虛位移微小的虛位移，則則單元各節(jié)點的虛位移單元各節(jié)點的虛位移 為為 ( )eq ( ), , , , ,