泰勒公式在數(shù)值分析中的應(yīng)用講解

1、2015年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）文山學(xué)院WENSHANUIMIVE口SITY泰勒公式在數(shù)值分析中的應(yīng)用教學(xué)系：數(shù)學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)：11級(jí)數(shù)本（3）班姓名：袁國彥學(xué)號(hào)：20110701013056導(dǎo)師及職稱：程高講師2015年05月畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文（設(shè)計(jì)）不包含其他個(gè)人已經(jīng)撰寫或發(fā)表過的研究成果。對(duì)本論文（設(shè)計(jì)）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。作者簽名：日期：畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）授權(quán)使用說明本論文（設(shè)計(jì)）作者完全了解文山

2、學(xué)院有關(guān)保留、使用學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計(jì)）并向相關(guān)部門送交論文（設(shè)計(jì)）的電子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將論文（設(shè)計(jì)）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計(jì)）進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱。學(xué)校可以公布論文（設(shè)計(jì)）的全部或部分內(nèi)容。保密的論文（設(shè)計(jì)）在解密后適用本規(guī)定。作者簽名：指導(dǎo)教師簽名：日期：日期：袁國_畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯委員會(huì)（答辯小組）成員名單姓名職稱單位備注文山學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）摘要泰勒公式是微積分中一個(gè)重要的公式，它將一些復(fù)雜的函數(shù)近似的表示為多項(xiàng)式函數(shù)，為一些復(fù)雜函數(shù)的求解帶來方便。不僅在數(shù)學(xué)分析中有著重要的地位，在數(shù)值分析中也有著廣泛的應(yīng)用，本文簡(jiǎn)要介紹了泰勒

3、公式在數(shù)值分析中的應(yīng)用，并討論泰勒公式在泰勒插值，歐拉方法和牛頓迭代法中的具體應(yīng)用，在泰勒插值和數(shù)值積分中，用泰勒公式展開的多項(xiàng)式去逼近原函數(shù)，得出近似解，并分析誤差。歐拉方法是通過迭代的方法，求得近似值，通過用不同的步長(zhǎng)進(jìn)行對(duì)比，并得到一種通過控制誤差來得到步長(zhǎng)的方法。牛頓迭代法是求解非線性方程近似解的一種方法，通過程序來得到方程根所在的區(qū)間，求出初值，最后控制其誤差。泰勒公式需要先取點(diǎn)對(duì)原式進(jìn)行泰勒展開，如何選取，使得泰勒公式展開后，計(jì)算的結(jié)果在誤差的允許范圍內(nèi)，并且計(jì)算過程盡量簡(jiǎn)單，減少計(jì)算步驟。關(guān)鍵詞：泰勒展開；泰勒插值；數(shù)值積分；歐拉方法；牛頓迭代法；數(shù)值分析Theapplicati

4、onofTaylorformulainnumericalanalysisABSTRACTTaylorformulaisanlmpoitantformulainCalculus,ItwillbesomefiinctionapproxmiationisexpressedasapolynomialfunctionNotonlyplaysanlmpoitantroleinmathematicalanalysis,anditiswidelyusedinthenumeiicalanalysis,thispaperbneflvintioducestheapplicationofTayloiformulain

5、numeiicalanalysis,anddiscusstheTaylorformulaintheapplicationofTaylorliiteipolation,EulermethodandNewtoniterationmethod,Tayloiinterpolation,polynomialusingtheTavloiexpansiontoapproximatetheonginalfiinction,theappioximatesolutionandeiroranalysis.TheEulermethodisobtainedbyiterativemethod,approximateval

6、ue,comparedtothediffeientstepsize,andamethodtogetlinnstepbycontrollingtheenor.TheNewtoniterativemethodisamethodofappioximatesolutionforsolvingnonlmearequations,tluoughthepiogramtogettherangeofequationroot,andtheenoicontrol.NeedtoselectapouitontheongmalTavloi;howtoselect,theTayloiexpansion,thecalcula

7、tionresultsmtherangeofallowableenoiinthecalculationoftheprocessassimpleaspossible,andtoreducethecomputationalsteps.Keywords:Tavloiexpansion;Tayloimterpolation;Numeiicalintegration;Eulefsmethod;TheNewtoniterationmethod;Numeiicalanalysis目錄一、引言1二、泰勒公式的應(yīng)用32.1泰勒插值-32.2泰勒公式在數(shù)值積分中的應(yīng)用62.3歐拉方法-72.4用泰勒公式求方程根的

8、近似解-92.4.1牛頓迭代法92.4.2掃描法102.4.3誤差估計(jì)公式10參考文獻(xiàn)12致謝13附錄14文山學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）泰勒公式的背景：希臘人在理性數(shù)學(xué)活動(dòng)中，已接觸到了無限性、聯(lián)系性等概念，這方面最具有代表性的人物是伊利亞學(xué)派的芝諾。他在考慮利用無窮級(jí)數(shù)求和來得到有限結(jié)果時(shí)，提出了四個(gè)著名的悖論。后來，隨著無限小算法的推廣，英國的數(shù)學(xué)家們?cè)诖髮W(xué)里教授和研究牛頓的流數(shù)術(shù),他們中優(yōu)秀的代表有泰勒和麥克勞林。泰勒在1715年出版的正的和反的增量方法一書中，陳述了它早在1712年就已獲得的著名定理，這就是為人所熟知的泰勒級(jí)數(shù)。愛丁堡大學(xué)教授麥克勞林發(fā)現(xiàn)了泰勒級(jí)數(shù)的特例，稱為“麥克勞林級(jí)

9、數(shù)”。泰勒公式的推導(dǎo)：由導(dǎo)數(shù)和微分的概念，如果函錯(cuò)誤味找到引用源。在點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源?？蓪?dǎo)，則有fCO二f（%）+尸COO咒o）+。（兀一1即在點(diǎn)錯(cuò)誤味找到引用源。附近，用一次多項(xiàng)式錯(cuò)誤味找到引用源。逼近函數(shù)值錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)，其誤差為錯(cuò)誤!未找到引用源。的高階無窮小量。然而在很多場(chǎng)合,取一次多項(xiàng)式的逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項(xiàng)式去逼近，并要求誤差為錯(cuò)誤!未找到引用源。，其中錯(cuò)誤!未找到引用源。往往為多項(xiàng)式的次數(shù)，為此，我們考察任-錯(cuò)誤!未找到引用源。次多項(xiàng)式錯(cuò)誤!未找到引用源。.錯(cuò)誤!未找到引用源。逐次求它在點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。的各階導(dǎo)數(shù)，得到PnM=%，錯(cuò)誤!未

10、找到引用源。，錯(cuò)誤味找到引用源。，錯(cuò)誤味找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。.由此可見，多項(xiàng)式錯(cuò)誤味找到引用源。的各項(xiàng)系數(shù)由其在點(diǎn)錯(cuò)誤味找到引用源。的各階導(dǎo)數(shù)值所唯一確定。對(duì)于一般函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。，設(shè)它在點(diǎn)錯(cuò)誤味找到引用源。存在直到錯(cuò)誤!未找到引用源。階的導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè)n次多項(xiàng)式錯(cuò)誤!未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。稱為函數(shù)錯(cuò)誤味找到引用源。在點(diǎn)錯(cuò)誤味找到引用源。處的泰勒（錯(cuò)誤味找到引用源。）多項(xiàng)式，錯(cuò)誤!未找到引用源。的各項(xiàng)系數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。稱為泰勒系數(shù)。由上面對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)的討論，易知錯(cuò)誤!未找到引用源。與其泰勒多項(xiàng)式錯(cuò)誤!未找到引用源。在點(diǎn)錯(cuò)誤味找到引用源。有相同

11、的函數(shù)值和直至錯(cuò)誤!未找到引用源。階導(dǎo)數(shù)值，即文山學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))錯(cuò)誤!未找到引用源。（3）下面將要證明錯(cuò)誤味找到引用源。，即以錯(cuò)誤味找到引用源。式所示的泰勒多項(xiàng)式逼近錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)，其誤差為關(guān)于錯(cuò)誤!未找到引用源。的高階無窮小量。定理1.2：若函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。在點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。存在直至錯(cuò)誤!未找到引用源。階導(dǎo)數(shù)，則有錯(cuò)誤味找到引用源。，即fM=f（力）+'J（X一%0）+fJ'（%一咒qF+-（%-1!Z!n證：錯(cuò)誤味找到引用源。，錯(cuò)誤味找到引用源。,現(xiàn)在只要證由關(guān)系式錯(cuò)誤味找到引用源?？芍?心（）=或（心）=6并易知QnCxo）=Qn（X0）=

12、0$一=0，=汕因?yàn)殄e(cuò)誤味找到引用源。存在，所以點(diǎn)錯(cuò)誤味找到引用源。的某鄰域錯(cuò)誤!未找到引用源。內(nèi)錯(cuò)誤沬找到引用源。存在錯(cuò)誤!未找到引用源。階導(dǎo)函數(shù)錯(cuò)誤味找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤!未找到引用源。且錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)，允許接連使用洛必達(dá)法則錯(cuò)誤!未找到引用源。次，得乂QnM戈七。Qn（%）力S'limM七o/"a（Q嚴(yán)"。如疋%）&心）n（n1）2（%xQ）1lim7lz心廣7（兀）廣一鞏衍）仗一心）=0其中泰勒公式（4）在錯(cuò)誤沬找到引用源。時(shí)的特殊形式:凡龍)=代0)+八0)"爭(zhēng)疋戶)(0)711X11+o(xn).(6)它也稱為(帶有佩亞諾余項(xiàng)的)

13、麥克勞林公錯(cuò)誤!未找到引用源。泰勒公式是用一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式，如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)的領(lǐng)域中的值，泰勒公式還給出了這個(gè)多項(xiàng)式和實(shí)際函數(shù)值之間的偏差。數(shù)值計(jì)算中泰勒公式有廣泛的應(yīng)用，泰勒公式的證明與應(yīng)用方面對(duì)于研究者來說一直具有吸引力，其理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計(jì)誤差方面不可或缺的數(shù)學(xué)工具，在近似計(jì)算上有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，利用它可以滿足很高的精度要求。泰勒公式可以應(yīng)用于求極限，判斷函數(shù)極值，求函數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值，近似計(jì)算等方面。二、泰勒公式的應(yīng)用2.1泰勒插值實(shí)際問題中

14、碰到的函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。是各種各樣的，有的表達(dá)式很復(fù)雜，直接研究函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。可能很困難，面對(duì)這種情況，一個(gè)很自然的想法是將函數(shù)錯(cuò)誤味找到引用源。簡(jiǎn)單化，構(gòu)造某個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。作為錯(cuò)誤!未找到引用源。的近似函數(shù)，通過處理錯(cuò)誤!未找到引用源。獲得關(guān)于錯(cuò)誤!未找到引用源。的結(jié)果，如果要求近似函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。取給定的離散數(shù)據(jù)，則稱之為錯(cuò)誤!未找到引用源。的插值函數(shù)。其中泰勒公式展開公式開方法就是一種插值方法，由于代數(shù)多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，數(shù)值分析方面就相對(duì)簡(jiǎn)單。己知泰勒多項(xiàng)式%CO=代咒(?)+'V(%-x0)+亍(%-x&)2+(%-%0)K.J

15、L!Zj!成立。求作錯(cuò)誤!未找到引用源。次多項(xiàng)式錯(cuò)誤!未找到引用源。，使其滿足條件錯(cuò)誤!未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。這里錯(cuò)誤!未找到引用源。為一組已給出的數(shù)據(jù)。容易看出，對(duì)于給定的函數(shù)錯(cuò)誤味找到引用源。，若導(dǎo)數(shù)值錯(cuò)誤!未找到引用源。已給,則上述泰勒插值的問題的解就是泰勒多項(xiàng)式。運(yùn)用泰勒公式做近似計(jì)算時(shí)，一般要用到帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒展開。例2.1.1：求作錯(cuò)誤!未找到引用源。在節(jié)點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。的一階和二階泰勒多項(xiàng)式，計(jì)算錯(cuò)誤!未找到引用源。的近似值，估計(jì)誤差并與精確值0.723805對(duì)比。解：用MATLAB程序求岀錯(cuò)誤!未找到引用源。在節(jié)點(diǎn)的一階和二階泰勒多項(xiàng)式，相關(guān)程序見附

16、錄1。所以錯(cuò)誤!未找到引用源。在錯(cuò)誤!未找到引用源。的一次泰勒多項(xiàng)式是：P1W=fM+1!0(兀一兀0)=5+0.05X二次泰勒多項(xiàng)式是：錯(cuò)誤!未找到引用源。二錯(cuò)誤!未找到引用源。用錯(cuò)誤!未找到引用源。作錯(cuò)誤味找到引用源。的近似表達(dá)式，將錯(cuò)誤味找到引用源。代入一次泰勒多項(xiàng)式得：<715=/(x)站血仗)=10.75根據(jù)定理1可估計(jì)出誤差：fM一PiM=匚字(力嚴(yán)>匚辭(x一x0)2=血(x一100)2=-0.028125錯(cuò)誤!未找到引用源。與精確值比較，誤差為錯(cuò)誤!未找到引用源。，具有3位有效數(shù)字。二次泰勒多項(xiàng)式的值：卩23)=fOo)+了'J咒一xo)+了(%-x0)2=

17、5+0.05兀-(x-100)2=10.721875這個(gè)結(jié)果有4位有效數(shù)字。我們對(duì)兀取的不同取值，通過作圖對(duì)它們的逼近效果進(jìn)行對(duì)比，程序見附錄2。-5-10.910.810.710101010101021105110115圖2-1-1圖中代表二次泰勒多項(xiàng)式的值，代表一次泰勒多項(xiàng)式的值，“+”代表精確值，可以看出二次的泰勒公式展開逼近的效果更好，且衍越逼近,誤差越小。定理錯(cuò)誤!未找到引用源。：若函數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。在錯(cuò)誤!未找到引用源。上存在直至“階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在錯(cuò)誤!未找到引用源。內(nèi)存在錯(cuò)誤!未找到引用源。階導(dǎo)數(shù)函數(shù)，則對(duì)任意給定的錯(cuò)誤!未找到引用源。，至少存在一點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。，使

18、得:“、“.廠(龍、2.嚴(yán)司仗°),w/(x)=+_(x-x0)+(x-x0)+(-知)證：作輔助函數(shù)：錯(cuò)誤!未找到引用源。，G=所要證明的定理為：錯(cuò)誤!未找到引用源。或錯(cuò)誤!未找到引用源。不妨設(shè)錯(cuò)誤!未找到引用源。，則錯(cuò)誤味找到引用源。與錯(cuò)誤!未找到引用源。在錯(cuò)誤!未找到引用源。上連續(xù)，在錯(cuò)誤!未找到引用源。內(nèi)可導(dǎo)，且鞏衍)G(t)'=-(n+1)(%一丁羊0乂因?yàn)殄e(cuò)誤!未找到引用源。，所以由柯西中值定理得：S心）-f（q_y嚴(yán)）G®q）GOq）G&）一G（t）r（-H+1）!其中錯(cuò)誤!未找到引用源。，他的余項(xiàng)為：（戈）=f（戈）一為仗）=（料+）!（咒一

19、xo）k+1=%Q+e（x-x0）（Q<e<i）如果錯(cuò)誤味找到引用源。，錯(cuò)誤味找到引用源。為定數(shù)，則取余項(xiàng)不會(huì)超過錯(cuò)誤!未找到引用源。，從而可以近似地計(jì)算某些數(shù)值且估計(jì)誤差。例2丄2：計(jì)算錯(cuò)誤!未找到引用源。麥克勞林公式展開，并計(jì)算錯(cuò)誤味找到引用源。的近似值，使其誤差不超過錯(cuò)誤!未找到引用源。和錯(cuò)誤!未找到引用源。解：錯(cuò)誤!未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤味找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤味找到引用源。取錯(cuò)誤!未找到引用源。，便有33爲(wèi)<一=<10"6910!3628800略取錯(cuò)誤!未找到引用源。求得的錯(cuò)誤!未找到引用源。的近似值為：111e1+11處2.7182852!3!9!取錯(cuò)

20、誤味找到引用源。時(shí)，3<«4.81XIO"10<10"9略取錯(cuò)誤味找到引用源。求得的錯(cuò)誤味找到引用源。的近似值為:111e.1+1+-+_+.+_站2.718281828由上面可以看出如果采用更高次的多項(xiàng)式來逼近錯(cuò)誤!未找到引用源。，能在更大范圍內(nèi)滿足同一誤差，但同時(shí)也增大了計(jì)算量，所以在計(jì)算時(shí)應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)碾A數(shù)。2.2泰勒公式在數(shù)值積分中的應(yīng)用設(shè)F（Q為的一個(gè)原函數(shù)，由牛頓一萊布尼茨公式知，定義在區(qū)間心b上的定積分為：文山學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）f(x)dx=F(x)f-丿ca但有些原函數(shù)不能用初等函數(shù)表達(dá)或者有的原函數(shù)十分復(fù)雜難以求出或計(jì)算，不能用上

21、述公式。理論上定積分是一客觀存在的確定的數(shù)值，要解決的問題是能否找到其他途徑來解決定積分的近似計(jì)算。泰勒公式是一件很好的工具，它可實(shí)現(xiàn)定積分的近似計(jì)算。例221：解定積分的近似值，當(dāng)取6階導(dǎo)數(shù)值時(shí)誤差范圍是多少？解：定積分的被積函數(shù)不可積，可用泰勒公式將其展為幕級(jí)數(shù)，然后逐項(xiàng)積分，再利用積分后的級(jí)數(shù)計(jì)算。因?yàn)椋篊OSA：=1-+-Q-0.23958,2x2：4x4!因?yàn)閨cos(0x+|n-)|<l,所以此時(shí)誤差:1R<0.0002316X6!2.3歐拉方法歐拉方法是求解常微分方程初值問題錯(cuò)誤!未找到引用源。的重要方法，下面由泰勒公式導(dǎo)出歐拉公式錯(cuò)誤味找到引用源。，用泰勒公式將錯(cuò)誤

22、味找到引用源。在錯(cuò)誤味找到引用源。處展開有兀2y(xn+i)=y(s)+矽牝)+y"(0取右端前兩項(xiàng)得錯(cuò)誤!未找到引用源。，設(shè)用錯(cuò)誤!未找到引用源。的近似值錯(cuò)誤!未找到引用源。代入上式的右端，記所得結(jié)果為錯(cuò)誤!未找到引用源。，這樣導(dǎo)出的計(jì)算公式3.1這就是眾所周知的歐拉格式，若初值錯(cuò)誤!未找到引用源。是己知的，則可以根據(jù)公式逐步算出數(shù)值解錯(cuò)誤!未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。為簡(jiǎn)化分析，人們常在錯(cuò)誤!未找到引用源。的前提下估計(jì)誤差錯(cuò)誤!未找到引用源。，這種誤差稱為局部截?cái)嗾`差。稱一種數(shù)值方法的精度是錯(cuò)誤!未找到引用源。階的，則其局部截?cái)嗾`差為錯(cuò)誤!未找到引用

23、源。：y(xn+i)-yg)=9"(0這說明歐拉格式僅為一階方法。例2.3.1：取步長(zhǎng)錯(cuò)誤味找到引用源。和錯(cuò)誤味找到引用源。，用歐拉方法求解初值問題(,2%/、y=y(0<%<1)y(o)=1的解錯(cuò)誤!未找到引用源。在點(diǎn)錯(cuò)誤味找到引用源。的近似值，即錯(cuò)誤味找到引用源。的近似值，并與精確解錯(cuò)誤!未找到引用源。進(jìn)行比較，分析這兩種步長(zhǎng)的穩(wěn)定性。解:將程序結(jié)果整理成表格，程序見附錄3。表2-3-1錯(cuò)誤!未找到引用源。的近似值，絕對(duì)誤差反-fCOI011.10000.0046021.20000.0168021.19180.0086031.27740.0125041.37330.0

24、317041.35820.0166051.43510.02090.61.53150.0483061.50900.0257071.58030.0311081.64980.0373081.68110.0686091.71780.0445101.82690.0949101.78480.0527由表格可以看出當(dāng)步長(zhǎng)錯(cuò)誤味找到引用源。時(shí)，歐拉方法計(jì)算錯(cuò)誤味找到引用源。的近似值為1.7848,與精確解的誤差絕對(duì)值為0.0527o當(dāng)錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)，歐拉方法計(jì)算錯(cuò)誤!未找到引用源。的近似值為1.8269,與精確解的誤差絕對(duì)值為0.0949。所以步長(zhǎng)錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)計(jì)算更穩(wěn)定。但從每一步來看，步長(zhǎng)

25、越小，截?cái)嗾`差就越小；但隨著步長(zhǎng)的縮小，在一定求解范圍內(nèi)所要完成的步數(shù)就增加了。步數(shù)的增加不但引起計(jì)算量的增大，而且可能導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累。所以微分方程的數(shù)值解法也需要選擇步長(zhǎng)。先以錯(cuò)誤!未找到引用源。為步長(zhǎng)，求出一個(gè)近似解，記錯(cuò)誤!未找到引用源。，然后將步長(zhǎng)取半，即取錯(cuò)誤味找到引用源。為步長(zhǎng)從錯(cuò)誤味找到引用源?？鐑刹降藉e(cuò)誤！未找到引用源。在求得一個(gè)近似解錯(cuò)誤!未找到引用源。這樣可以通過檢查步長(zhǎng)折半前后兩次計(jì)算結(jié)果的偏差來判斷所選取的步長(zhǎng)是否合適，若要求求初步誤差為0.01,則程序見附錄4,取其中的兒項(xiàng)進(jìn)行對(duì)比：表2-3-2錯(cuò)誤!未找到引用源。的近似值，絕對(duì)誤差ly«.-yOJ0

26、.06251.06250.00180.51.42670.013411.76650.0344得到步長(zhǎng)錯(cuò)誤!未找到引用源。，并且初次迭代的誤差控制到0.0018c2.4用泰勒公式求方程根的近似解2.4.1牛頓迭代法牛頓公式的導(dǎo)出:設(shè)方程錯(cuò)誤味找到引用源。的近似根為錯(cuò)誤味找到引用源。，則錯(cuò)誤味找到引用源。在點(diǎn)錯(cuò)誤!未找到引用源。附近可用一階泰勒多項(xiàng)式p（%）=f（%+f0（咒一代替，故方程錯(cuò)誤!未找到引用源。可以近似的表示為錯(cuò)誤!未找到引用源。，后者是個(gè)線性方程，它的求根是容易的，我們?nèi)″e(cuò)誤!未找到引用源。的根作為錯(cuò)誤!未找到引用源。的新近似根，記錯(cuò)誤!未找到引用源。，則有：這就是著名的牛頓公式，相

27、應(yīng)的迭代方程為錯(cuò)誤味找到引用源。，其中仏）牛頓法是一種逐步線性化方法，這種方法的基本思想是將非線性方程錯(cuò)誤!未找到引用源。的求根問題歸結(jié)為計(jì)算一系列線性方程錯(cuò)誤!未找到引用源。十錯(cuò)誤!未找到引用源。=0的根。牛頓法有明顯的兒何解釋，方程錯(cuò)誤!未找到引用源。的根錯(cuò)誤!未找到引用源。在兒何上解釋為曲線錯(cuò)誤味找到引用源。與錯(cuò)誤味找到引用源。軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。設(shè)錯(cuò)誤味找到引用源。是根錯(cuò)誤!未找到引用源。的某個(gè)近似值，對(duì)曲線錯(cuò)誤味找到引用源。上橫坐標(biāo)為錯(cuò)誤味找到引用源。的點(diǎn)錯(cuò)誤味找到引用源。引切線，設(shè)該切線與錯(cuò)誤!未找到引用源。軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為錯(cuò)誤!未找到引用源。（見圖），則這樣獲得的錯(cuò)誤!未找到引

28、用源。即為按牛頓法求得的近似根，由于這種兒何背景，牛頓法亦稱切線法。-11-圖2-4-12.4.2掃描法掃描法是一種在計(jì)算機(jī)上較實(shí)用的方法，簡(jiǎn)單的來說就是將有根區(qū)間分為若干個(gè)子區(qū)間，然后從有根區(qū)間的左端點(diǎn)開始，一個(gè)一個(gè)小區(qū)間檢查是否是隔根區(qū)間。對(duì)于代數(shù)方程fM=aoxn+的咒九7+ax+a”=0（a0工0）記錯(cuò)誤味找到引用源。，則其根的上、下界分別為錯(cuò)誤味找到引用源。和錯(cuò)誤味找到引用源。，由此即可確定其有根區(qū)間錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中二），b=1+2.43誤差估計(jì)公式估計(jì)以錯(cuò)誤味找到引用源。作為錯(cuò)誤味找到引用源。的近似值的誤差，由中值定錯(cuò)誤!未找到引用源。錯(cuò)誤!未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引

29、用源。，因而記錯(cuò)誤味找到引用源。，則例2.4.1：:方程錯(cuò)誤!未找到引用源。有兒個(gè)根，并求出最小正根的近似解，是誤差不超過錯(cuò)誤!未找到引用源。泰勒公式在數(shù)值分析中的應(yīng)用解：（1）首先用掃描法求出根錯(cuò)誤!未找到引用源。屬于有根區(qū)間錯(cuò)誤!未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。和錯(cuò)誤味找到引用源。，所以方程錯(cuò)誤!未找到引用源。有3個(gè)根，且在錯(cuò)誤!未找到引用源。上有最小正根，見附錄5-1。（2）在錯(cuò)誤味找到引用源。上求出根的初值，即0和1誰是根的初值，程序見附錄5-2,則求的初值為錯(cuò)誤!未找到引用源。（3）錯(cuò)誤!未找到引用源。在錯(cuò)誤!未找到引用源。上的最小值為錯(cuò)誤!未找到引用源。，則可以跟據(jù)誤差公式和牛

30、頓迭代法求出滿足誤差條件的近似根，程序見附錄5-3。結(jié)果為：xO=031250000000000xO=0.25210736468500xO=0.25121933490266該程序能求出根所在的區(qū)間及初值，并對(duì)誤差進(jìn)行控制，從而得到誤差允許范圍內(nèi)的近似根，且第三個(gè)根的符合誤差的精度要求時(shí)程序停止運(yùn)算。-#-文山學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）參考文獻(xiàn)1 華東師范人學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析M.北京：高等教育出版社，2001,134-1582 張春紅.泰勒公式在近似計(jì)算及數(shù)值積分中的應(yīng)用J.黑龍江科學(xué)，2014,第5卷第七期，1373 孔珊珊.泰勒公式在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用J.濟(jì)寧學(xué)院學(xué)報(bào)，2011,第32卷第三期，7

31、0-724 王能超.數(shù)值分析簡(jiǎn)明教程M.北京:高等教育出版社，2003,135-1365 孫鳳芝.數(shù)值計(jì)算方法與實(shí)驗(yàn)M.哈爾濱：黑龍江出版社，2013,25-26-19-致謝本論文是在我的導(dǎo)師程老師的親切關(guān)懷下完成的，老師淵博的專業(yè)知識(shí)，精益求精的工作態(tài)度對(duì)我影響深遠(yuǎn)。從課題的選擇到論文的最終完成，每一步都是在程老師的悉心指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血，在此我向他表示衷心的謝意。這四年來感謝文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院的老師對(duì)我的培養(yǎng)，他們?cè)趯W(xué)業(yè)上的細(xì)心指導(dǎo)為我打下了良好的基礎(chǔ)，在這里我要向諸位老師深深鞠上一躬。時(shí)光匆匆流去，轉(zhuǎn)眼畢業(yè)在即，從開始進(jìn)入課題到論文的完成都離不開老師、同學(xué)給我的熱情幫助，很

32、慶幸我遇到了如此多的良師益友，無論在學(xué)習(xí)上、生都給予了我無私的幫助，謹(jǐn)以最樸實(shí)的話語致以敬意。附錄1:輸入程序：clear;symsx;f=xA(1/2);tl=taylor(f,2,100,x)t2=taylor(fz3,100zx)結(jié)果：tl=5+l/20*xt2=5+l/20*x-l/8000*(x-100)A2附錄2：輸入程序：clear;x=100:1:115;f=sqrt(x);t2=5+0.05*x;t3=5+005*x-(1/8000)*(x-100)A2;plot(x,f,'+o')結(jié)果：附錄3：輸入程序：先建立euler.m文件functionxOzyO=e

33、uler(fun,xO,xlzyOzn);h=(xl-xO)/n;fori=l:n;yl=yO+h大(fun(xOzyO)y=(l+2*(xO+h)A(l/2)jd=abs(yl-y)yO=yl;xO=xO+h;end然后取步長(zhǎng)錯(cuò)誤味找到引用源。和錯(cuò)誤!未找到引用源。，即錯(cuò)誤!未找到引用源。和錯(cuò)誤!未找到引用源。(1)錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)輸入程序：fun=inline(1yO-2大xO/yO1);xOzyO=euler(funz0,lzlz10)結(jié)果：yl=1.1000y=1.0954jd=0.0046yl=1.1918y=11832jd=0.0086yl=1.2774y=12649jd=0

34、.0125yl=1.3582y=1.3416jd=0.0166yl=1.4351y=1.4142jd=00209yl=1.5090y=14832jd=0.0257yl=1.5803y=1.5492jd=0.0311yl=1.6498y=1.6125jd=0.0373yl=1.7178y=1.6733jd=0.0445yl=1.7848y=17321jd=0.0527x0=1.0000yO=1.7848（2）錯(cuò)誤!未找到引用源。時(shí)fun=inline(1yO-2大xO/yO1);xO,yO=euler(fun,0z1,1,5)結(jié)果：yl=1.2000yl=1.3733yl=1.5315yl=1.6811yl=1.8269xO=1y=1.1832y=1.3416y=1.4832y=