一階電路和二階電路的時(shí)域分析

1、第7章 一階電路和二階電路的時(shí)域分析教研室：基礎(chǔ)教研室教師姓名:課程名稱電路（一）授課專(zhuān)業(yè)及班次電氣工程及其自動(dòng)化授課內(nèi)容換路定律，初始值的求法，由換 路后的電路求時(shí)間常數(shù)。 經(jīng)典法 求零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全 響應(yīng)。一階電路的二要素法， 階 躍函數(shù)和階躍響應(yīng)，沖激函數(shù)和 沖激響應(yīng)。經(jīng)典法求一階電路零 輸入響應(yīng)。授課方式及學(xué)時(shí)講授、討論，12學(xué)時(shí)目的要求熟練掌握一階電路的經(jīng)典法和三要素法。掌握二階電路的經(jīng)典法。了解一階電路的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)。重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：一階電路的經(jīng)典法和二要素法，二階電路的經(jīng)典法。難點(diǎn)：用戴維寧定理求一階電路。求含受控源電路時(shí)間常數(shù)。講授內(nèi)容 及時(shí)間分配（1）換路定律

2、，初始值的求法。（2學(xué)時(shí)）（2）經(jīng)典法求零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)。（2學(xué)時(shí)）（3）全響應(yīng)、一階電路的三要素法。（2學(xué)時(shí)）（4）階躍函數(shù)和階躍響應(yīng)，沖激函數(shù)和沖激響應(yīng)。（2學(xué)時(shí)）（5）經(jīng)典法求一階電路零輸入響應(yīng)。（2學(xué)時(shí)）（6）習(xí)題講解（2學(xué)時(shí)）教具黑板、粉筆參考資料§7-1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件一、動(dòng)態(tài)電路的方程1 .動(dòng)態(tài)電路：含有動(dòng)態(tài)元件（電容或電感）的電路。2 .動(dòng)態(tài)電路的方程：電路中有儲(chǔ)能元件（電容或電感）時(shí)，根據(jù) KCL、KVL和 VCR所建立的電路方程是以電流、電壓為變量的微分方程或微分-積分方程，方程的階 數(shù)取決于電路結(jié)構(gòu)和動(dòng)態(tài)元件個(gè)數(shù)。一階動(dòng)態(tài)電路：僅含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的

3、電路3 .換路和過(guò)渡過(guò)程：當(dāng)電路的結(jié)構(gòu)或元件的參數(shù)發(fā)生改變時(shí)(如電源或無(wú)源元件的斷開(kāi)或接入，信號(hào)的突然注入等)，稱為換路，換路可能使電路改變?cè)瓉?lái)的工作狀態(tài)， 而轉(zhuǎn)變到另一個(gè)工作狀態(tài)，這種轉(zhuǎn)變需要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程，在工程上稱為過(guò)渡過(guò)程。t=0 :換路時(shí)刻，換路經(jīng)歷的時(shí)間為 0到0十；t=0換路前的最終時(shí)刻；t=0+:換路后的最初時(shí)刻；4.經(jīng)典法(時(shí)域分析法)：根據(jù)KCL, KVL和VCR建立描述電路的以時(shí)間為自 變量的線性常微分方程，然后求解常微分方程，從而得到所求變量(電流或電壓)的方 法。用經(jīng)典法求解常微分方程時(shí)，必須根據(jù)電路的初始條件確定解答中的積分常數(shù)。電路獨(dú)立初始條件：Uc(0Q和八(0十

4、)，其余稱為非獨(dú)立初始條件。二、電路的初始條件1.電容的電荷和電壓tt 乜qc(t) = qc(t°)+( ic(W401 t 一總 社 心。)=睨。0)+3(講取 t0 =0= t =0+ WJqc (0+) =qc(0J 十"c (-)d-10+ M MUc(0+)=Uc(0D+- l：cd)dC LC，0 .一若ic有限，則fic(£)d =0,且；qc(0+)=qc(0D、Uc(0+) = Uc(012.電感的磁鏈和電流rt 乜乜九。)=九。)+1 UL("dU；iL(t)九&) J .；Ul( )dL t0取t° = 0- t

5、 =0+，則Vl(0+)=Vl(0.)+ (0 UL()d41 0 +iL(0+)=iL(0J+l UL)dCLL ,.一.0 ,-若 Ul (有限)，則(UL(t)dt =0 ,且"(06=町(0人(0+)=iL(0_)3 .換路定則 Uc(0Q=Uc(0J 和 1(0+)= 1(014 .非獨(dú)立初始條件(電阻電壓或電流、電容電流、電感電壓)需要通過(guò)已知的初 始條件求得。5 .確定初始值的方法(1)由t<0時(shí)的電路，求出uc(0-), iL(0-)；(2)求出獨(dú)立初始條件；(3)把電容用Us=Uc(0+)的電壓源代替，把電感用is=iL(0+)電流源代替；畫(huà)出 0+等效電路；

6、(4)由0+等效電路，求出各電流、電壓的初始值。例7-1見(jiàn)教材p139例7-1§7-2 一階電路的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)：無(wú)外施激勵(lì)，由動(dòng)態(tài)元件的初始值引起的響應(yīng)。一、RC電路的零輸入響應(yīng).鏟一I十1 +"c 二二 C A ： "方 電路的微分方程為RCduC Uc =0 t -0dtUc (0 ) = Uc (0 _) = U 0咽 astf) r«*II -_II + 山)十 口同du C U 0i 二-C C 0e RC t - 0dt R這里，特征方程 RCs + 1 = 0,特征根s=-3 ，時(shí)間常數(shù)e = RC RC ,換路時(shí)，i(0=0，但i

7、(0+) =以，電流發(fā)生躍變；R 時(shí)間常數(shù)T越小，電壓、電流衰減越快，反之，則越慢; t=0 時(shí)，加（0）="60 ="t =七 時(shí)，Uc=Uoe'=0.368U0。過(guò)渡過(guò)程的結(jié)束，理論上；工程上t=（3-5）ice=RC,可用改變電路的參數(shù)的辦法加以調(diào)節(jié)或控制； 能量轉(zhuǎn)換過(guò)程：電容不斷放出能量，電阻不斷消耗能量，最后，原來(lái)儲(chǔ)存在電 容的電場(chǎng)能量全部為電阻吸收并轉(zhuǎn)換為熱能 二、RL電路的零輸入響應(yīng)一階RL電路如圖（a）所示，t=0-時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，電感L相當(dāng)于短路， 流過(guò)L的電流為Io。即iL（0-）=l0,故電感儲(chǔ)存了磁能。在t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S打開(kāi)，所以在

8、t方射， 電感L儲(chǔ)存的磁能將通過(guò)電阻R放電，在電路中產(chǎn)生電流和電壓，如圖（b）所示。由于t>0后，放電回路中的電流及電壓均是由電感 L的初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的，所以為零輸入響應(yīng)UlUr = 0Ul diLL , UR - Ri Ldt根據(jù)換路定律，得初始條件為tRtRiL =h（0 ）e-L = loe" t 0 =L/R,它同樣具有時(shí)間量綱，是R、L串聯(lián)電路的時(shí)間常數(shù)。這樣，上式可表示為ttiL = iL （0 ）e = I 0e t 0由L越小，或R越大，則電流、電壓衰減越快。 R 零輸入響應(yīng)是在輸入為零時(shí)，由非零初始狀態(tài)產(chǎn)生的，它取決于電路的初始狀 態(tài)和電路的特性；零輸入響應(yīng)都是

9、隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減的，因?yàn)闆](méi)有外施電源，原有的貯能總是要逐漸衰減到零的;例題見(jiàn)教材p144 7-2至7-3§7-3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)：零初始狀態(tài)下,由在初始時(shí)刻施加于電路的輸入所產(chǎn)生的響應(yīng)RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)Q)如圖所示一階RC電路，求解其電容兩端的電壓Uc(t)i(t)_Us-Uc(t)一 RUR UC = U si =C C ,uR = Ri = RC dtduCdtduC . ± dt RCUcRCUs其初始條件為Uc(0 ) =0通解為 Uc -UCh(t) UCp(t)tjUch(t) = Ae-RCt >0ucp(t) =Q =Us t _

10、0Uc(t)=Uch(t)Ucp(t) = Ae RC Us t _ 0其中uC(0 .)=A Us=0=A =Us上_Luc (t) -USe-RC Us -US(1-e-RC)t _ 0ucp為穩(wěn)定分量，與外施激勵(lì)的變化規(guī)律有關(guān)，又稱強(qiáng)制分量；Uch(t)(對(duì)應(yīng)齊次方程的通解)取決于特征根，與外施激勵(lì)無(wú)關(guān)，也稱為自由分 量，自由分量按指數(shù)規(guī)律衰減，最終趨于零，又稱為瞬態(tài)分量。越小，"c達(dá)穩(wěn)態(tài)值越快從上=4人 充電達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的9E%,可以認(rèn)為已充電完畢；以氣從零值按指數(shù)規(guī)律上升。、RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)£ +類(lèi)似于RC電路，可求出零狀態(tài)響應(yīng)為_(kāi)R tiL(t) =Is(1-

11、e L ) t -0 當(dāng)電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，電容相當(dāng)于開(kāi)路，而電感相當(dāng)于短路，由此可確定電容電壓或電感電流穩(wěn)態(tài)值；穩(wěn)態(tài)值iLy)相當(dāng)于L支路的短路電流uc(°°)相當(dāng)于C支路的開(kāi)路電壓RC、RL電路，輸入直流電，貯能從無(wú)到有，逐步增長(zhǎng)，所以，uc, iL從零向某一穩(wěn)態(tài)值增長(zhǎng)，且為指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng);§7-4 一階電路的全響應(yīng)線性動(dòng)態(tài)電路的全響應(yīng)是由來(lái)自電源的輸入和初始狀態(tài)分別作用時(shí)所產(chǎn)生的響 應(yīng)。全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)也可以分解為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)=暫態(tài)響應(yīng)（固有響應(yīng)）+強(qiáng)制響應(yīng)（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)） 暫態(tài)響應(yīng)：隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減快慢取決于固有頻率； 穩(wěn)態(tài)

12、響應(yīng)：常量（不隨時(shí)間變化），取決于外加輸入；在有損耗的動(dòng)態(tài)電路中，在恒定輸入作用下，一般可分兩種工作狀態(tài)一過(guò)渡狀態(tài) 和直流狀態(tài)，暫態(tài)響應(yīng)未消失期間屬于過(guò)渡期。三要素法（適用于直流輸入） 一階直流電路內(nèi)任意響應(yīng)f是由f（06，f （生）和T三個(gè)參量所確定的，只要 算得這三個(gè)參量，就可根據(jù)上式把解答直接寫(xiě)出，不需要求解微分方程。f（0 J f （笛）和7分別是任意響應(yīng)的初始值、穩(wěn)態(tài)值和時(shí)間常數(shù) 三要素法：求得電壓、電流的初始值、穩(wěn)態(tài)值和時(shí)間常數(shù)后，直接寫(xiě)出其解答 式的方法。a、初始值的求?。邯?dú)立初始值依據(jù)換路準(zhǔn)則；非獨(dú)立初始值的求取用電壓為Uc（0Q的直流電壓源置換電容，用電流為1（0+）的直流電

13、流源置換電感， 畫(huà)出t = 0+ 時(shí)的等效電路（直流電阻電路），可求出任一非獨(dú)立初始值；b、穩(wěn)態(tài)值的求?。河瞄_(kāi)路代替電容或用短路代替電感，畫(huà)出 t = 時(shí)的等效電路（直流電阻電路），可求出任一穩(wěn)態(tài)值；c、時(shí)間常數(shù)丁的求取：求出戴維南或諾頓等效電路中等效電阻Req ,則 qR ReqC 或工=;Reqtd、寫(xiě)出解答式：f（t）= f（g） +f（0+）-f（/）】e飛t >0例 見(jiàn) p154 例 7-4、7-5§7-5二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路：用二階微分方程描述的動(dòng)態(tài)電路。在二階電路中，給定的初始條件應(yīng)有兩個(gè)，它們由儲(chǔ)能元件的初始值決定。RLC串聯(lián)電路和GLC并聯(lián)電路為最簡(jiǎn)單

14、的二階電路。2d UcLCdt當(dāng)R158頁(yè)圖 7-19dt2uc = 0RCduCUc,八始終不改變方向，uc >0, iL >0 ,電容放電;lnR 叫改變一次方向，電感電壓的過(guò)零時(shí)刻t=tmp時(shí)，回路電流達(dá)最大值;P1 - P2t <tm,電感吸收能量，建立磁場(chǎng)；t >tm電感釋放能量，磁場(chǎng)逐漸衰減，趨向消失;R< 2后，衰減振蕩放電過(guò)程（欠阻尼情況）如果R<2/L,則固有頻率為共腕復(fù)數(shù)。 ,C能量轉(zhuǎn)化關(guān)系見(jiàn)教材161頁(yè)圖7-22和表7-2。三、R =2臨界情況（臨界阻尼情況）當(dāng)R=2七時(shí),.為相等負(fù)實(shí)數(shù)，微分方程的解為R uC(t)= A1 e 1A2

15、 t e 2P1 = p2 二一二一、2L,則響應(yīng)將為電路的響應(yīng)仍然是非振蕩性的，如果電阻稍微減小，以致R<2J-振蕩性的。,L 當(dāng)符合R = 2j 時(shí)，響應(yīng)處于臨界振蕩狀態(tài)，稱為臨界阻尼情況。.C例 見(jiàn)教材 p159 7-6、p161 7-7、7-8§7-7 一階電路和二階電路的階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)輸入的零狀態(tài)響應(yīng)1.單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)£（t）=301t ：二0t 00延時(shí)單包階躍函數(shù)“Uit ： t0tt02.階躍函數(shù)表示電源作用+AV O4()V£ 二。3.階躍函數(shù)可用來(lái) 起始”任意一個(gè)函數(shù)t t0t4 .階躍函數(shù)和延時(shí)階躍函數(shù)可表

16、示分段常量信號(hào)，如方波等波形f（t）=4）一（t -t。）5 .階躍函數(shù)的求解步驟 階躍響應(yīng)s(t)：?jiǎn)挝浑A躍輸入的零狀態(tài)響應(yīng)(即換路后電源為單位電源) 把實(shí)際電源部分用階躍響應(yīng)的線形組合表示出來(lái) 用單位階躍響應(yīng)s(t)和其延時(shí)函數(shù)替換電源中的階躍函數(shù)和延時(shí)階躍函數(shù)。例參見(jiàn)教材169頁(yè)7-11、7-12§7-8 一階電路和二階電路的沖激響應(yīng)一、沖激函數(shù)1 .單位沖激函數(shù)6 (t)是一種奇異函數(shù)2(t) =0當(dāng)(t =0)°°一廣出=150£2 .單位脈沖函數(shù)p；：(t)1單包脈/中函數(shù)p4(t)所圍的面積為1,其局度為；6 (t)函數(shù)可看成單位脈沖函數(shù)

17、pA(t)的一種極限，當(dāng)一個(gè)單位脈沖函數(shù)的寬度 變得越來(lái)越窄時(shí)，它的幅度越來(lái)越大，當(dāng) -> 0時(shí)，幅度就變?yōu)闊o(wú)限大，但其面積仍 為1；°e °i 043.單位延時(shí)沖激函數(shù)伊(t to) =0 當(dāng)(t ¥to)笛一、(t -to)dt =1二、沖激函數(shù)的性質(zhì)1 .沖激函數(shù)是階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1郎)d - 00:5(之川之= &(t)t 0t ：二0d ；(t)dt= 1<t)2 .篩分性f(t) (t) = f(0) (t)二 f (t)、(t)dt = f (0) (t)dt =f(0)二、(t)dt =f(0)二f(t)、(t-t°)d

18、t =f(t0)三、電容電壓和電感電流的躍變1 .電容電壓的躍變零狀態(tài)條件下5U- 汨1 一 C0.101- C-)(0CU若在t=0時(shí)，流過(guò)電容的電流為單位沖激電流可，則小、1Uc(0 )= C2.電感電流的突變 零狀態(tài)條件下1 tiL(t) 一 ud L to,1 0 .iL(0 ) = L .0 udt若在t =0時(shí)，施加于電感的端電壓為單位沖激電壓6u(t),則1iL(0 ) =iL(0-) L四、沖激響應(yīng)1 .沖激響應(yīng)h(t):零狀態(tài)電路對(duì)單位沖激信號(hào)的響應(yīng)；2 .計(jì)算沖激響應(yīng)的兩種方法：先計(jì)算由6(t)產(chǎn)生的在t=0+時(shí)的初始狀 態(tài)，然后求解由這一初始狀態(tài)產(chǎn)生的零輸入響應(yīng)(前述方法) ，即為t>0時(shí)沖激響應(yīng) h(t);由階躍響應(yīng)求沖激響應(yīng)：線性非時(shí)變電路的沖激響應(yīng)是它們的階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)， h(t) = s(t),求沖激響應(yīng)的另一種方法，先求階