高一數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)整理：二次函數(shù)

1、高一數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)整理：二次函數(shù)高一數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)整理：二次函數(shù)I. 定義與定義表達(dá)式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=axA2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，az0,且a決定函數(shù)的開口方向，a0時(shí)，開口方向向上，a0時(shí)，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。II. 二次函數(shù)的三種表達(dá)式一般式：y=axA2+bx+c（a,b,c為常數(shù),az0）頂點(diǎn)式：y=a（x-h）A2+k拋物線的頂點(diǎn)P（h,k）交點(diǎn)式：y=a（x-x？）（x-x？）僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x？,0）和B（x

2、？,0）的拋物線注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系：h=-b/2ak=（4ac-bA2）/4ax？,x？=（-b±V匕八2-4ac）/2aIII. 二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=xA2的圖像,可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。IV. 拋物線的性質(zhì)1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）2. 拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為P（-b/2a,（4ac-bA2）/4a）當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)=bT-4ac=0時(shí)，P在x軸上。3. 二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物

3、線的開口方向和大小。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)av0時(shí)，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。4. 一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0）,對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即abv0）,對(duì)稱軸在y軸右。5. 常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0,c）6. 拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) =bA2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 =bA2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。 =bA2-4acv0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x=-b±VbA24ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a

4、）V. 二次函數(shù)與一元二次方程特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=axA2+bx+c，當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即axA2+bx+c=0此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。1 二次函數(shù)y=axA2，y=a（x-h）A2，y=a（x-h）A2+k，y=axA2+bx+c（各式中，a0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下表：解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸y=axA2（0，0）x=0y=a(x-h)A2(h，0)x=hy=a(x-h)A2+k(h，k)x=hy=axA2+bx+c(-b/2a，4ac-bA2/4a

5、)x=-b/2a當(dāng)h0時(shí)，y=a(x-h)A2的圖象可由拋物線y=axA2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，當(dāng)h0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線y=axA2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)A2+k的圖象；當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線y=axA2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)A2+k的圖象；當(dāng)h0，k0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)A2+k的圖象；當(dāng)h0，k0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)A2+k的圖象；因此，

6、研究拋物線y=axA2+bx+c(a工0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)A2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了這給畫圖象提供了方便2 .拋物線y=axT+bx+c(a工0)的圖象：當(dāng)a0時(shí)，開口向上，當(dāng)a0時(shí)開口向下，對(duì)稱軸是直線x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a,4ac-bA2/4a).3 .拋物線y=axA2+bx+c(a工0)，若a0,當(dāng)x<-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a0，當(dāng)x<-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小.4 拋物線y=

7、axA2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：(1) 圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；(2) 當(dāng)厶=bA2-4acO,圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?,0)和B(x？，0)，其中的x1，x2是一元二次方程axA2+bx+c=0(a工0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?|當(dāng)厶=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)A0.圖象與x軸沒有交點(diǎn).當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0;當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0.5 .拋物線y=axA2+bx+c的最值：如果a0(a0)，則當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4ac-bA2)/4a.頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值6 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：y=axA2+bx+c(a工0).(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)A2+k(a工0).(3) 當(dāng)題給條件為