誤差與不確定度

1、第二章第二章 誤差與不確定度誤差與不確定度本章要點：本章要點： u 誤差的概念與表示方法誤差的概念與表示方法 u 隨機誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差的隨機誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差的特性和處理方法特性和處理方法u誤差的合成與分配誤差的合成與分配 u測量不確定度的概念和評定方法測量不確定度的概念和評定方法 u測量數(shù)據(jù)處理的方法測量數(shù)據(jù)處理的方法 本章是測量技術(shù)中的基本理論，搞測量就本章是測量技術(shù)中的基本理論，搞測量就得與誤差打交道。得與誤差打交道。 2.12.1 誤差的概念與表示方法誤差的概念與表示方法 2.1.1 2.1.1 測量誤差測量誤差 真值真值為為“表征某量在所處的表征某量在所處的條件條件下下

2、完善完善地地確定確定的量值的量值”。誤差誤差= =測量值測量值- -真值真值 2.12.1 誤差的概念與表示方法誤差的概念與表示方法 例例1 1，在電壓測量中，真實電壓，在電壓測量中，真實電壓5V5V，測得的電壓為，測得的電壓為5.3V5.3V，則，則 誤差誤差= 5.3V - 5V = +0.3V = 5.3V - 5V = +0.3V 2.1.1 2.1.1 測量誤差測量誤差 例如：例如：現(xiàn)在是什么時間？現(xiàn)在是什么時間？ 能準確地報出北京時刻嗎？能準確地報出北京時刻嗎？問題：問題：5V5V真值真值怎么知道的？怎么知道的？ 在在通用計量術(shù)語及定義通用計量術(shù)語及定義（JJF1001-1998J

3、JF1001-1998）中，）中，量的真值真值 true valuetrue valueof quantityof quantity是是“與給定的特定量的定義一致的值。與給定的特定量的定義一致的值?！辈⒆⒚鳎翰⒆⒚鳎毫康恼嬷抵挥型ㄟ^完善的測量才有可能獲得；真值按其本性是不確定的；與給定的特定量定義一致的值不一定只有一個。 真值是一個理想的概念，真值雖然是客觀存在，但卻又難真值是一個理想的概念，真值雖然是客觀存在，但卻又難以獲得。因為自然界任何物體都處于永恒的運動中，一個以獲得。因為自然界任何物體都處于永恒的運動中，一個量在不同時間、空間都會發(fā)生變化，從而有不同的真值。量在不同時間、空間都會發(fā)生

4、變化，從而有不同的真值。故故真值應是指在瞬間條件下的值真值應是指在瞬間條件下的值，一般來說是無法通過完，一般來說是無法通過完善的測量來獲得。善的測量來獲得。 例如：某個例如：某個5 5號電池，標稱電壓號電池，標稱電壓1.5v1.5v，真值是，真值是多少？多少？-很難確定！很難確定！實際上對實際上對“真值真值”的應用通常是用以下三種辦法：的應用通常是用以下三種辦法： 真值可由理論（或定義）給出真值可由理論（或定義）給出例例1 1：三角形內(nèi)角和為三角形內(nèi)角和為180180度度 由國際計量統(tǒng)一定義給出（例如秒的定義為銫原子能級躍遷9192631770個周期的持續(xù)時間為1秒）。 1s=91926317

5、701s=9192631770周期周期=31+121+121+29+29+=181用量角器分別量得三內(nèi)角為：用量角器分別量得三內(nèi)角為：+ +誤差誤差=181-180=1=181-180=1例例2 2：秒的定義秒的定義 用用“約定真值約定真值” ” 代替代替“真值真值” 用用“不確定度不確定度” ” 評定測量結(jié)果評定測量結(jié)果 實際測量中常把實際測量中常把高一等級的計量標準高一等級的計量標準測得的實際測得的實際值作為真值使用。值作為真值使用。“實際值實際值”“”“約定真值約定真值”。 在本章第在本章第2 2、3 3。4 4。5 5節(jié)中討論誤差時是基于節(jié)中討論誤差時是基于“約定真值約定真值”己知的條

6、件下進行的。己知的條件下進行的。 在本章第在本章第6 6節(jié)中詳細討論。逆向思維，節(jié)中詳細討論。逆向思維，回避真值，回避真值，研究不能確定的程度研究不能確定的程度。例如用卷皮尺量長度，不。例如用卷皮尺量長度，不能確定的范圍在毫米量級，而用游標卡尺測量，能確定的范圍在毫米量級，而用游標卡尺測量，不能確定的范圍在微米量級。不能確定的范圍在微米量級。實際值： 在實際測量中，常用高一級標準高一級標準儀器的示值示值來代 替真值真值，通常稱為實際值，也叫相對真值，約定真值。標稱值： 測量器具上標定的數(shù)值標定的數(shù)值。但由于制造和測量精度 不夠及環(huán)境因素的影響，標稱值并一定等于它的真值或?qū)崢朔Q值并一定等于它的真

7、值或?qū)嶋H值際值。因此，在標出測量器具的標稱值時，通常還要標出它的誤差范圍或準確度等級。示值： 測量器具指示指示的被測量的量值量值，也稱測量器具的測量值，它包括量值 和單位。2.2.基本術(shù)語基本術(shù)語盡量盡量不要用具體數(shù)量不要用具體數(shù)量來說準確度。例如：準確度來說準確度。例如：準確度10 mV10 mV只能用某一等級或范圍來描述，例如：某電流表為只能用某一等級或范圍來描述，例如：某電流表為1 1級表級表（準確度（準確度1%1%）測量結(jié)果測量結(jié)果-由測量所得到的賦予被測量的值。由測量所得到的賦予被測量的值。 測量結(jié)果的表示：是在測量結(jié)果的表示：是在示值示值的基礎上的基礎上經(jīng)過數(shù)據(jù)處理經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后的

8、后的估計值估計值，包括修正值、平均值及不確定度等。，包括修正值、平均值及不確定度等。測量準確度測量準確度-測量結(jié)果與被測量的真值的測量結(jié)果與被測量的真值的一致程度一致程度。 但由于真值難以獲得，故準確度但由于真值難以獲得，故準確度是一個定性概念（誤是一個定性概念（誤差）差）。測量的測量的重復性重復性-在在相同相同的測量條件下，對同一測量進行的測量條件下，對同一測量進行連續(xù)多次測量連續(xù)多次測量結(jié)果之間的結(jié)果之間的一致性一致性，用，用“r r” ” 表示。表示。 “ “r r” ” 不能太小，應較大，才能滿足重復性的要求。不能太小，應較大，才能滿足重復性的要求。 也稱也稱等精度測量等精度測量-同一

9、個人、同一臺儀器、同一同一個人、同一臺儀器、同一地點、同一方法，在短時間內(nèi)進行重復測量。地點、同一方法，在短時間內(nèi)進行重復測量。 例：例：用數(shù)字電壓表測量電壓用數(shù)字電壓表測量電壓1616次。次。測量的測量的復現(xiàn)性復現(xiàn)性-在在改變改變了的測量條件下，同一被測量的了的測量條件下，同一被測量的測量結(jié)果之間的一致性測量結(jié)果之間的一致性。 也稱也稱再現(xiàn)性再現(xiàn)性-換了個人，換了臺儀器，在另外的時換了個人，換了臺儀器，在另外的時間地點進行測量，其結(jié)果不能超出的范圍，間地點進行測量，其結(jié)果不能超出的范圍，“R R”表示。表示。 R R 大則容易滿足復現(xiàn)性。大則容易滿足復現(xiàn)性。 例：例：不同人用不同的電壓表測量

10、市電，都是不同人用不同的電壓表測量市電，都是220v220v左右。左右。.2 誤差的來源誤差的來源 1.1.儀器誤差：儀器誤差：指針式儀表的零點漂移、刻度誤差以及非線性引起誤差；指針式儀表的零點漂移、刻度誤差以及非線性引起誤差； 數(shù)字式儀表的量化誤差（如數(shù)字式儀表的量化誤差（如5 5位半的電壓表比位半的電壓表比3 3位半量化誤差?。晃话肓炕`差?。?； 比較式儀表中比較式儀表中標準量本身標準量本身的誤差（如天平的砝碼）均為儀器誤差。的誤差（如天平的砝碼）均為儀器誤差。 非線性非線性1.999999V1.999999V1.999V1.999VV VmVmV2.2.方法誤差：方法誤

11、差：由于測量方法不合理造成的誤差稱為方法誤差。由于測量方法不合理造成的誤差稱為方法誤差。 例如：例如：用普通模擬式萬用表測量高阻上的電壓。用普通模擬式萬用表測量高阻上的電壓。 100k100k1mA1mAv v100k100k100?50VV電壓表電壓表內(nèi)阻內(nèi)阻習題習題2.92.9被測電阻被測電阻R Rx x，電壓表的內(nèi)阻為，電壓表的內(nèi)阻為R RV V，電流表的內(nèi)阻為，電流表的內(nèi)阻為R RI II IV VR Rx x(a)(a)I IV VR Rx x(b)(b)對于圖對于圖(a)(a)： /VxxVxxV2xxxxV(RR )IR RUR =IIR +R-RR= R - R =R +R對于

12、圖（對于圖（a a）當電壓表內(nèi)阻）當電壓表內(nèi)阻R RV V很大時可選很大時可選a a方案。方案。對于圖（對于圖（b b）當電流表內(nèi)阻）當電流表內(nèi)阻R RI I很小時可用很小時可用b b方案。方案。3 3 理論誤差理論誤差 測量方法建立在近似公式或不完整的理論基礎上以及用近似值計測量方法建立在近似公式或不完整的理論基礎上以及用近似值計算測量結(jié)果時所引起的誤差稱為理論誤差。例如，用諧振法測量算測量結(jié)果時所引起的誤差稱為理論誤差。例如，用諧振法測量頻率時，常用的公式為頻率時，常用的公式為 01f =2 LC但實際上，回路電感但實際上，回路電感L L中總存在損耗電阻中總存在損耗電阻r r，其準確的公為

13、，其準確的公為 201r Cf =1-L2 LC4 4 影響誤差影響誤差 由于各種環(huán)境因素與要求不一致所造成的誤差稱為影響誤差。由于各種環(huán)境因素與要求不一致所造成的誤差稱為影響誤差。例如，環(huán)境溫度、預熱時間、電源電壓、內(nèi)部噪聲、電磁干擾例如，環(huán)境溫度、預熱時間、電源電壓、內(nèi)部噪聲、電磁干擾等條件與要求不一致，使儀表產(chǎn)生的誤差。等條件與要求不一致，使儀表產(chǎn)生的誤差。 5 5 人身誤差人身誤差 由于測量者的分辨能力、疲勞程度、責任心等主觀因素，使測由于測量者的分辨能力、疲勞程度、責任心等主觀因素，使測量數(shù)據(jù)不準確所引起的誤差。量數(shù)據(jù)不準確所引起的誤差。 研究誤差理論的目的研究誤差理論的目的是分析產(chǎn)

14、生誤差的原因和規(guī)律，識別誤差是分析產(chǎn)生誤差的原因和規(guī)律，識別誤差的性質(zhì)，正確處理測量數(shù)據(jù)，合理計算所得結(jié)果，在一定測量的性質(zhì)，正確處理測量數(shù)據(jù)，合理計算所得結(jié)果，在一定測量條件下，盡力設法減少誤差，條件下，盡力設法減少誤差，保證測量誤差在容許的范圍內(nèi)。保證測量誤差在容許的范圍內(nèi)。 2.1.3 2.1.3 誤差的表示方法誤差的表示方法 相對誤差相對誤差 絕對誤差絕對誤差 1.1.絕對誤差：絕對誤差： 定義：被測量的定義：被測量的測量值測量值x x與其與其真值真值A A0 0之差，稱為絕對誤差。之差，稱為絕對誤差。 在實際測量中：在實際測量中： “約定真值約定真值”“”“實際值實際值”= = A

15、A 表示表示 修正值：與絕對誤差大小相等，符號相反的量值稱為修正值，修正值：與絕對誤差大小相等，符號相反的量值稱為修正值，一般用一般用C C表示表示 C C= = x x= =A Ax x 大小大小 正負正負 單位單位 x x = =x xA A0 0 x x= =x xA A 在測量時，利用示值和已知的修正值相加，即可以計算出被測量的實際值。 A= X + C例子： 某電流表測的電流示值時0.83mA，查得該電流表在0.8mA及其附近的修正值都是-0.02mA，那么被測的電流的實際值是多少? A=0.81mA 2.相對誤差一個量的準確程度，不僅與它的絕對誤差的大小，而且與這個量本身的大小有關(guān)

16、。例：測量足球場的長度和沈陽市到錦州市的距離，若絕對誤差都為1米，測量的準確程度是否相同？例：例： 用二只電壓表用二只電壓表V V1 1和和V V2 2分別測量兩個電壓值。分別測量兩個電壓值。V V1 1 表測量表測量150150伏，絕對誤差伏，絕對誤差 x x1 1=1.5=1.5伏，伏， V V2 2 表測量表測量1010伏，伏， 絕對誤差絕對誤差 x x2 2=0.5=0.5伏伏 從絕對誤差來比較從絕對誤差來比較 x x1 1 x x2 2 誰準確？誰準確？ x1 11 11 11 1. .5 5= =1 10 00 0% % = =1 10 0% % = =1 1% %U U1 15

17、50 0 x2 22 22 20 0. .5 5= =1 10 00 0% % = =1 10 00 0% % = =5 5% %U U1 10 0用用相對誤差相對誤差便于比較便于比較 - -表示相對誤差表示相對誤差2 2 相對誤差：相對誤差： 相對真誤差、實際相對誤差、示值相對誤差相對真誤差、實際相對誤差、示值相對誤差相對誤差：絕對誤差與被測量的真值之比相對誤差：絕對誤差與被測量的真值之比 （不太實用）（不太實用）相對誤差是兩個有相同量綱的量的比值，只有大小和符號，相對誤差是兩個有相同量綱的量的比值，只有大小和符號，沒有單位。沒有單位。實際相對誤差：實際相對誤差： 用約定真值用約定真值A A

18、代替真值代替真值A0 A0 （不太方便）（不太方便）示值相對誤差：示值相對誤差： 用測量值用測量值X X 代替實際值代替實際值A A（比較方便）（比較方便）通常絕對誤差較小，而通常絕對誤差較小，而真值、測量值和實際值相差不大，真值、測量值和實際值相差不大，在要求不太嚴格的場合，為了方便常用示值相對誤差。在要求不太嚴格的場合，為了方便常用示值相對誤差。下面看常用相對誤差：0100%xA 100%AxA 100%xxx 相對誤差可以有多種形式相對誤差可以有多種形式, ,用測量儀器在一個量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的用測量儀器在一個量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對誤差最大絕對誤差與該與該量程值量程值（上限（上限值下限值）

19、之比來表示的相對誤差，稱為滿度相對誤差（或稱引用值下限值）之比來表示的相對誤差，稱為滿度相對誤差（或稱引用相對誤差相對誤差xxx x= =1 10 00 0% %xxm mm m=100%100% = S%= S%測量值（示值）相對誤差測量值（示值）相對誤差：儀器量程內(nèi)儀器量程內(nèi)最大絕對誤差最大絕對誤差與測與測量儀器量儀器滿度值滿度值之比來表示的相之比來表示的相對誤差對誤差 用分貝（用分貝（dBdB）表示相對誤差）表示相對誤差 相對誤差也可用相對誤差也可用對數(shù)形式對數(shù)形式（分貝數(shù)）表示，主要用于功率、（分貝數(shù)）表示，主要用于功率、電壓的增益（衰減）的測量中。電壓的增益（衰減）的測量中。 功率功

20、率等電參數(shù)用等電參數(shù)用dBdB表示的相對誤差為表示的相對誤差為 dBx= 10lg(1 +)dBx（2.92.9） 電壓、電流電壓、電流等參數(shù)用等參數(shù)用dBdB表示的相對誤差為表示的相對誤差為 dBx= 20lg(1+)xx= 20lg(1+ )dBdBm dBm ：比值，描述功率單位。：比值，描述功率單位。mwp1lg10例：檢定量程為例：檢定量程為100A100A的滿刻度相對誤差小于的滿刻度相對誤差小于2%2%電流表，電流表，在在50A50A刻度上標準表讀數(shù)為刻度上標準表讀數(shù)為49A49A，問此電流表是否合格？，問此電流表是否合格？ 解：解： x x0 0=49A =49A x x=50A

21、 =50A x xmm=100A=100Ax xx0 0m mm m- -5 50 0- -4 49 9= = 1 10 00 0% %= = 1 10 00 0% %= =1 1% % 2 2% %1 10 00 0（二級表）（二級表） xxm mm m=100%100% = S%= S% 例 某待測電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級量程為0400mA和1.5級量程為0100mA的兩個電流表，問用哪一個電流表測量較好？2100%1.5% 1.5%100mxxSx1400%0.5%2%100mxxsx xxm mm m=100%100% = S%= S%2.1.4 2.1.4 誤差按性質(zhì)分類誤差

22、按性質(zhì)分類隨機誤差隨機誤差 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 粗大誤差粗大誤差 隨機誤差隨機誤差-每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預知的方式變每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預知的方式變化的誤差?；恼`差。（同隨機變量）（同隨機變量）系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差-在同一測量條件下，多次重復測量同一量時，測量在同一測量條件下，多次重復測量同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變誤差的絕對值和符號都保持不變粗大誤差粗大誤差-是一種顯然與實際值不符的誤差是一種顯然與實際值不符的誤差在國家計量技術(shù)規(guī)范在國家計量技術(shù)規(guī)范通用計量術(shù)語及定義通用計量術(shù)語及定義（JF1001-1998）中，系統(tǒng)誤差定義為：）中，系統(tǒng)誤差定義為：“

23、在重復性條在重復性條件下，對同一被測量件下，對同一被測量所得的結(jié)所得的結(jié)果的果的平均值平均值與被測量的與被測量的真值真值之差之差?！庇糜帽硎鞠当硎鞠到y(tǒng)誤差，即統(tǒng)誤差，即 1. 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差即即 為無限多次測量結(jié)果的平均值為無限多次測量結(jié)果的平均值（概率論中的數(shù)學期望），這里簡稱為（概率論中的數(shù)學期望），這里簡稱為總體均值總體均值。 0Ax （2.112.11）1211()nniix xxxxnnn （2.122.12）在國家計量技術(shù)規(guī)范在國家計量技術(shù)規(guī)范通用計量術(shù)語及定義通用計量術(shù)語及定義（JG10011998）中，隨機誤差定義為：）中，隨機誤差定義為：“測量結(jié)果與在重復性條件下，對同一被

24、測量進行無限多次測無限多次測量量所得結(jié)果的平均值之差?！庇糜帽硎倦S機誤差，即表示隨機誤差，即 2. 隨機誤差隨機誤差xxii（2.13）3. 粗大誤差粗大誤差在一定條件下，在一定條件下，測量值顯著偏離其真值顯著偏離其真值（或約定真值）所對應的誤差，稱為粗大誤差。 粗大誤差產(chǎn)生原因：主要是粗大誤差產(chǎn)生原因：主要是 讀數(shù)錯誤讀數(shù)錯誤 測量方法不對測量方法不對 瞬間干擾瞬間干擾 儀器工作不正常等。儀器工作不正常等。對粗大誤差的處理通常是按一定的對粗大誤差的處理通常是按一定的法則法則進行進行剔除剔除 4. 4. 三種誤差的關(guān)系或?qū)y量結(jié)果產(chǎn)生的影響三種誤差的關(guān)系或?qū)y量結(jié)果產(chǎn)生的影響系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差

25、小，小，準確度準確度高高 A A或或A AX Xi iX Xi i隨機誤差隨機誤差 小小 ，精密度精密度高高 A AA A或或X Xi i系統(tǒng)誤差和隨機誤差都較小，稱系統(tǒng)誤差和隨機誤差都較小，稱精確度精確度高高 A A或或X Xi iX Xi i x= x= + + + ( + (粗大誤差粗大誤差) )定性的概念：定性的概念：測量結(jié)果與真值之間的一致程度測量結(jié)果與真值之間的一致程度由（由（2.1）式誤差的定義：）式誤差的定義： 000iiiixxAxxxAxxxA 式（式（2.14）表示誤差等于隨機誤差和系統(tǒng)誤差相加的關(guān)）表示誤差等于隨機誤差和系統(tǒng)誤差相加的關(guān)系。圖系。圖2.2給出了這些誤差之

26、間關(guān)系的示意圖。給出了這些誤差之間關(guān)系的示意圖。（2.14）定量的概念：定量的概念：系統(tǒng)誤差真值測量值的概率分布曲線概率密度誤差某次測量值隨機誤差測量值置信區(qū)間xix0Aksx ksx ixP總體均值x不確定度UU定量的概念：定量的概念：2.2 2.2 隨機誤差隨機誤差 2.2.1 2.2.1 定義與性質(zhì)定義與性質(zhì) 測量術(shù)語測量術(shù)語：“等精度測量等精度測量”在相同條件（同一人、同一儀器同一環(huán)境、同在相同條件（同一人、同一儀器同一環(huán)境、同一方法）下，對同一量進行重復測量，稱為等精度測量。一方法）下，對同一量進行重復測量，稱為等精度測量。 隨機誤差隨機誤差定義定義：在國家計量技術(shù)規(guī)范在國家計量技術(shù)

27、規(guī)范通用計量術(shù)語及定義通用計量術(shù)語及定義（JG1001JG100119981998）中，隨機誤差定義為：）中，隨機誤差定義為：“測量結(jié)果與在重復性條件下，對同一被測量測量結(jié)果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差。”用用表示隨機誤差或偶然誤差，表示隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。簡稱隨差。隨機誤差概念隨機誤差概念-不可預定方式變化的誤差（同隨機變量）不可預定方式變化的誤差（同隨機變量）xxii舉例：舉例：對一電阻進行對一電阻進行n n=100=100次重復性測量次重復性測量表表 2.22.2 按大小排列的按大小排列的重復性重復性測量

28、結(jié)果測量結(jié)果 測量值測量值x xi i（ ）相同測值出現(xiàn)次數(shù)相同測值出現(xiàn)次數(shù)mmi i相同測值相同測值出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率P Pi i=m=mi i/n/n9.959.952 20.020.029.969.964 40.040.049.979.976 60.060.069.989.981499.9918180.180.1810.0010.0022220.220.2210.0110.0116160.160.1610.0210.0210100.100.1010.0310.035 50.050.0510.0410.042 20.020.0210.0510.051 10.01

29、0.01xP P( (x x) ) x x0 0 隨機誤差性質(zhì)：服從隨機誤差性質(zhì)：服從正態(tài)分布正態(tài)分布，具有以下，具有以下4 4個特性個特性： 對稱性對稱性絕對值相等的正誤差與負絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等；誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等； 單峰性單峰性絕對值小的誤差比絕對值絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多；大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多； 有界性有界性絕對值很大的誤差出現(xiàn)的絕對值很大的誤差出現(xiàn)的機會極少，不會超出一定的界限；機會極少，不會超出一定的界限； 抵償性抵償性當測量次數(shù)趨于無窮大，當測量次數(shù)趨于無窮大，隨機誤差的平均值將趨于零。隨機誤差的平均值將趨于零。 x2.2.2 2.2.2 隨機誤

30、差特點隨機誤差特點在測量中，隨機誤差是在測量中，隨機誤差是不可避免不可避免的。誤差的符號和絕對的。誤差的符號和絕對值都不是定值。值都不是定值。隨機誤差是由大量隨機誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。對各種被測參數(shù)進行對各種被測參數(shù)進行等精度測量等精度測量，都會得到一個鐘形曲，都會得到一個鐘形曲線，這是被大量實踐證明了的，具有線，這是被大量實踐證明了的，具有普遍意義的統(tǒng)計規(guī)律普遍意義的統(tǒng)

31、計規(guī)律，這種鐘形曲線稱為這種鐘形曲線稱為正態(tài)分布正態(tài)分布。對于單次測量，隨機誤差的大小和符號都是對于單次測量，隨機誤差的大小和符號都是不確定不確定的，的，但是對但是對多次測量多次測量而言，其而言，其服從統(tǒng)計規(guī)律服從統(tǒng)計規(guī)律。測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設被研究的中心極限定理：假設被研究的隨機變量隨機變量可以表示為可以表示為大量獨立的隨機變量大量獨立的隨機變量的的和和，其中每一個隨機變量對于總和只起，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用微小作用，則可認為這個隨機變量，則可認為

32、這個隨機變量服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。 數(shù)學期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機變量：(x是測量值，p是相應的概率)X為連續(xù)型隨機變量（p（x）是概率密度函數(shù)） 這就是為何測量數(shù)據(jù)和隨機誤差大多接近正態(tài)分布的原因這就是為何測量數(shù)據(jù)和隨機誤差大多接近正態(tài)分布的原因1iipixE(X) dxxxpXE)()( 數(shù)學期望只能求得平均特性，但在實際測量中往往還需要知道數(shù)據(jù)的離散程度。 方差是用來描述隨機變量與其數(shù)學期望的離散程度的參數(shù)。 設隨機變量X的數(shù)學期望為E(X)，則X的方差定義為：D(X)= E(XE(X)2 標準偏差定義為： 標準偏差同樣描述隨機變量與其數(shù)學期望的離散程度離散程

33、度，并且與隨機變量具有相同量綱。)()(2離散1iipXEixD(X)( XD 平均值的標準差平均值的標準差 意義在有限次等精度測量中，如果在相同條件下對同一量值分在有限次等精度測量中，如果在相同條件下對同一量值分mm組組進行測量，每組重復進行測量，每組重復n n次測量，則每組數(shù)列都會有一個平均值，次測量，則每組數(shù)列都會有一個平均值，由于隨機誤差的存在，這些平均值并不相同，圍繞真值有一定由于隨機誤差的存在，這些平均值并不相同，圍繞真值有一定分散性。這說明有限次測量的分散性。這說明有限次測量的算術(shù)平均值還存在著誤差算術(shù)平均值還存在著誤差。當需。當需要更精密時，應該用要更精密時，應該用算術(shù)平均值的

34、標準差算術(shù)平均值的標準差 x來評價。來評價。 已知算術(shù)平均值已知算術(shù)平均值 x為為 nii=11=nxx n m 1 2 m n m 1 2 m 1 1 x x11 11 x x21 21 x xm1m1 2 2 x x1212 x x22 22 x xm2m2 . . . . n n x x1n1n x x2n2n x xmnmn 1( )s x1x2( )s x( )ms x2xnxs( )s( )=nxx當當n n為有限次時，用標準差的估值即可，則為有限次時，用標準差的估值即可，則 nxsxs)()(（2.212.21） 結(jié)論結(jié)論：（：（2.212.21）式說明，算術(shù)平均值的標準差是任意

35、一組）式說明，算術(shù)平均值的標準差是任意一組n n次次測量樣本標準差的測量樣本標準差的 n分之一。即算術(shù)平均值的標準差估值分之一。即算術(shù)平均值的標準差估值 )(xs比樣本標準差的估值比樣本標準差的估值 )(xs比樣本標準差的估值比樣本標準差的估值 )(xs小小 n倍，倍， 表明了各組平均值再平均以后數(shù)值更集中了。這是由于隨機誤表明了各組平均值再平均以后數(shù)值更集中了。這是由于隨機誤差的抵償性，測量次數(shù)越多，抵消程度越大，平均值離散程度差的抵償性，測量次數(shù)越多，抵消程度越大，平均值離散程度越小，這是采用統(tǒng)計平均的方法減弱隨機誤差的理論依據(jù)。所越小，這是采用統(tǒng)計平均的方法減弱隨機誤差的理論依據(jù)。所以，

36、用算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，減少了隨機誤差。以，用算術(shù)平均值作為測量結(jié)果，減少了隨機誤差。意義意義：（：（2.212.21）式給實際測量帶來了方便，人們只要測量一組）式給實際測量帶來了方便，人們只要測量一組數(shù)據(jù)，求得標準差，將其除以數(shù)據(jù)，求得標準差，將其除以 ，則相當于得到了多組數(shù)據(jù)，則相當于得到了多組數(shù)據(jù)n的算術(shù)平均值的標準差。的算術(shù)平均值的標準差。歸納歸納：有限次測值的算術(shù)平均值和標準差有限次測值的算術(shù)平均值和標準差計算步驟：計算步驟：(1)(1)列出測量值的數(shù)據(jù)表列出測量值的數(shù)據(jù)表 (2)(2)計算算術(shù)平均值計算算術(shù)平均值 1211nniix xxxxnn ()iivxx221111( )

37、()11nniiiis xxxnn(3)(3)殘差殘差 (4)(4)標準差的估計值標準差的估計值（實驗標準差）（實驗標準差） ( )( )s xs xn(5)(5)算術(shù)平均值標準差的估計值算術(shù)平均值標準差的估計值 例例2.6 2.6 對某信號源的輸出頻率進行了對某信號源的輸出頻率進行了8 8次測量，得測量值次測量，得測量值 ix的序列的序列( (見表見表2.3) 2.3) 。求測量值的平均值及標準偏差。求測量值的平均值及標準偏差。 表表2.3 2.3 例例2.62.6所用數(shù)據(jù)所用數(shù)據(jù)iv序號序號1 12 23 34 45 56 67 78 8x xi i (kHz) (kHz)1000.821

38、000.821000.791000.791000.851000.851000.1000.34341000.1000.78781000.1000.91911000.1000.76761000.1000.82820.060.060.030.030.090.09-0.42-0.420.020.000.000.060.06解解: (1): (1)平均值（注意平均值（注意, ,這里采用的運算技巧）這里采用的運算技巧） nii=110.01x=x =1000+(82+79+85+34+78+91+76+82)=1000.76kHzn82110.2155( )0.1817inis x

39、vn(2)(2)用公式用公式 xxvii計算各測量值殘差列于表計算各測量值殘差列于表2-32-3中中(3)(3)標準差估值標準差估值 ( )0.18( )0.068s xs xn(4)(4) x的標準偏差的標準偏差 因整數(shù)位不變因整數(shù)位不變2.15 對某直流穩(wěn)壓電源的輸出電壓對某直流穩(wěn)壓電源的輸出電壓U Ux x進行了進行了1010次測量，測量結(jié)果如下：次測量，測量結(jié)果如下：求輸出電壓求輸出電壓U Ux x的算術(shù)平均值及其標準偏差估值的算術(shù)平均值及其標準偏差估值005. 50054. 5)7110941526113(101001. 0000. 5101iU解：解：U Ux x的算術(shù)平均值的算術(shù)

40、平均值 1012)(91)(iUUiUs101232222222222)10(6 . 1)4 . 6(6 . 46 . 3)4 . 9(6 . 9)4 . 7(6 . 06 . 5)4 . 2(91i10123)10(56. 296.4016.2196.1236.8816.9276.5736. 036.3176. 591iV006. 00062. 0104 .353916標準偏差估值標準偏差估值 殘差殘差 次數(shù)12345678910電壓/V5.0035.0115.0064.9985.0154.9965.0095.0104.9995.007殘差(103V)--7.49.6-9.

41、43.64.6-6.41.6置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，區(qū)間越寬，置信概率越大置信概率越大t分布的置信限t分布：實際測量中，總是進行有限次測量，只能根據(jù)貝塞爾公式求出標準差的估計值，但測量次數(shù)較少時（如n20時，t分布接近正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。 給定置信概率和測量次數(shù)n，查表得置信因子kt。 p p( (t t) )0 0n nn n 大大n n 小小圖圖2.9 2.9 t t 分布分布t t分布一般用來解決有限次等精度測量的置信度問題。分布

42、一般用來解決有限次等精度測量的置信度問題。 )(),(LtsLLtsL例例2.8 2.8 對某電感進行對某電感進行1212次等精度測量，測得的數(shù)值（單位次等精度測量，測得的數(shù)值（單位mHmH）為為20.4620.46、20.5220.52、20.5020.50、20.5220.52、20.4820.48、20.4720.47、20.5020.50、20.4920.49、20.4720.47、20.4920.49、20.5120.51、20.5120.51，若要求，若要求在在P P=95%=95%的的置信概率下，該電感測值應在多大置信區(qū)間內(nèi)？置信概率下，該電感測值應在多大置信區(qū)間內(nèi)？ 解：第一步

43、：求出解：第一步：求出 L及及 )(Ls電感的算術(shù)平均值電感的算術(shù)平均值 121120.49312iiLLmH12211( )()0.02012 1iis LL LmH0.020( )0.00612s LmH電感的標準差估值電感的標準差估值 算術(shù)平均值標準差估值算術(shù)平均值標準差估值 第二步：第二步： 查附錄查附錄B B：t t分布表，由分布表，由n n1=111=11及及P P=0.95=0.95，查得，查得t t=2.20=2.20 k k(n-1)(n-1)P P0.90.950.95.098.0980.990.990.9990.999

44、 1 1 10101111？ 2.2282.228 第三步：第三步： 估計電感估計電感L L的置信區(qū)間的置信區(qū)間 )(),(LtsLLtsL，其中，其中( )2.20 0.0060.013ts LmH則在則在95%95%的置信概率下，電感的置信概率下，電感L L的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為20.48mH20.48mH，20.51mH20.51mH。4. 4. 非正態(tài)分布非正態(tài)分布以上分析中都認為測量值和誤差是服從正態(tài)分布（包括以上分析中都認為測量值和誤差是服從正態(tài)分布（包括t t分布分布). ).在測量實踐中會遇到有些情況下，誤差是非正態(tài)分布的。下面在測量實踐中會遇到有些情況下，誤差是非正態(tài)分布的

45、。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布曲線及置信度問題。介紹幾種常見的非正態(tài)分布曲線及置信度問題。 1)1)均勻分布均勻分布 均勻分布又稱為等概率分布、矩形分布，是僅次于正態(tài)分布的均勻分布又稱為等概率分布、矩形分布，是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布，如圖一種重要分布，如圖2.102.10所示。其特點是在誤差范圍內(nèi)，所示。其特點是在誤差范圍內(nèi)，誤差誤差出現(xiàn)的概率各處相同出現(xiàn)的概率各處相同。如儀器中的度盤。如儀器中的度盤回差回差所導致的誤差；數(shù)所導致的誤差；數(shù)字儀器中的字儀器中的量化誤差量化誤差（在（在1 1單位以內(nèi)不能分辨的誤差）；數(shù)單位以內(nèi)不能分辨的誤差）；數(shù)據(jù)計算中的據(jù)計算中的舍入誤差舍入誤差（舍掉的

46、或進位的低位數(shù)字的概率是相同（舍掉的或進位的低位數(shù)字的概率是相同的）等，均為均勻分布誤差。的）等，均為均勻分布誤差。 pp( (x x) )0 0 x x圖圖2.10 2.10 均勻分布均勻分布a ab b均勻分布的概率密度為均勻分布的概率密度為 1p(x) =b -a0 a a x x b b xaxb及可以證明，圖可以證明，圖2.102.10所示的均勻分布的數(shù)學期望為所示的均勻分布的數(shù)學期望為 a+bE(x) =2b-a =12標準差為標準差為 （2.242.24） （2.252.25） pp( (x x) )0 0 x x圖圖2.10 2.10 均勻分布均勻分布a ab b 1 1 b-

47、ab-aA Ax x+ +e e0 0-e-epp( (x x) )圖圖2.12 2.12 反正弦分布反正弦分布632反正弦反正弦均勻均勻三角三角2323正態(tài)正態(tài)包含因子包含因子k k分布分布p p( (x x) )0 0 x x圖圖2.11 2.11 三角分布三角分布-e-ee e1/e1/e2.2.5 2.2.5 非等精度測量非等精度測量前面討論的測量結(jié)果是基于等精度測量條件下進行的，這是前面討論的測量結(jié)果是基于等精度測量條件下進行的，這是通通常的測量情況常的測量情況。但有時候，如在科研或高精度測量中，往往在。但有時候，如在科研或高精度測量中，往往在不同的測量條件下，用不同的儀器，不同的測

48、量方法，不同的不同的測量條件下，用不同的儀器，不同的測量方法，不同的測量次數(shù)以及不同的測量者進行測量與對比，這種測量稱為測量次數(shù)以及不同的測量者進行測量與對比，這種測量稱為非非（或不）等精度測量（或不）等精度測量。 對于非等精度測量，計算最后測量結(jié)果及其精度（如標準差），對于非等精度測量，計算最后測量結(jié)果及其精度（如標準差），不能套用前面等精度測量的計算公式，需要采用新的計算公式。不能套用前面等精度測量的計算公式，需要采用新的計算公式。1.“1.“權(quán)權(quán)”的概念和確定方法的概念和確定方法日常統(tǒng)計中也用日常統(tǒng)計中也用“權(quán)權(quán)”的概念，如按學分加權(quán)課程統(tǒng)計學生的的概念，如按學分加權(quán)課程統(tǒng)計學生的各科總

49、平均成績，以顯示學分多的課程各科總平均成績，以顯示學分多的課程重要性重要性。例如，三門學。例如，三門學分為分為3 3、1 1、2 2課程的加權(quán)平均成績?yōu)檎n程的加權(quán)平均成績?yōu)? 82 1 86 2 75 48280.33 1 26 分2. 2. 加權(quán)算術(shù)平均值加權(quán)算術(shù)平均值 若對同一被測量進行若對同一被測量進行mm組非等精度測量，得到組非等精度測量，得到mm組測量結(jié)果組測量結(jié)果 mxxx,21mwww,21mmmwwwxwxwxwx 212211，設相應的，設相應的權(quán)值權(quán)值為為 ，則，則加權(quán)算術(shù)平均值為加權(quán)算術(shù)平均值為例例2.10 2.10 工作基準米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準器比較，得到工作基準

50、米尺的工作基準米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準器比較，得到工作基準米尺的平均長度分別為平均長度分別為999.9425mm999.9425mm（3 3次測量的），次測量的），999.9416mm999.9416mm（2 2次測量的），次測量的），999.9419mm999.9419mm（5 5次測量的），求最后測量結(jié)果。次測量的），求最后測量結(jié)果。解：解： 按測量次數(shù)按測量次數(shù)來確定權(quán)：來確定權(quán)：w w1 1=3=3，w w2 2=2=2，w w3 3=5 =5 ，取，取x x0 0=999.94mm=999.94mm，則有，則有5230019. 050016. 020025. 03x999.9499

51、9.94= 999.9420 mm= 999.9420 mm3. 3. 加權(quán)算術(shù)平均值的標準差加權(quán)算術(shù)平均值的標準差 對同一被測量進行對同一被測量進行mm組非等精度測量，得到組非等精度測量，得到mm個測量結(jié)果，個測量結(jié)果，各組測量結(jié)果的殘余誤差為各組測量結(jié)果的殘余誤差為ixivxx經(jīng)推導可得經(jīng)推導可得加權(quán)算術(shù)平均值加權(quán)算術(shù)平均值的標準差：的標準差： （2.352.35）miimiixixwmw112) 1(2.3 2.3 粗大誤差粗大誤差在一定條件下，測量值顯著偏離其實際值所對應的誤差。在一定條件下，測量值顯著偏離其實際值所對應的誤差。 產(chǎn)生原因：主要是表現(xiàn)為讀數(shù)錯誤、測量方法錯誤、儀器有缺產(chǎn)

52、生原因：主要是表現(xiàn)為讀數(shù)錯誤、測量方法錯誤、儀器有缺陷、電磁干擾及電壓跳動等。陷、電磁干擾及電壓跳動等。 粗大誤差無規(guī)律可循，故必須當作壞值予以剔除。粗大誤差無規(guī)律可循，故必須當作壞值予以剔除。 剔除是要有一定依據(jù)的剔除是要有一定依據(jù)的。在不明原因的情況下，。在不明原因的情況下，首先要判斷可疑數(shù)據(jù)是否是粗大誤差。其方法的基本思想是給首先要判斷可疑數(shù)據(jù)是否是粗大誤差。其方法的基本思想是給定一置信概率，確定相應的置信區(qū)間，凡超出置信區(qū)間的誤差定一置信概率，確定相應的置信區(qū)間，凡超出置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差。就認為是粗大誤差。具體檢驗方法常見的有三種具體檢驗方法常見的有三種： 2.3.1 2.

53、3.1 定義定義2.3.2 2.3.2 處理處理2.3.3 2.3.3 剔除法則剔除法則檢驗方法常見的有三種：檢驗方法常見的有三種： 1 1 萊特檢驗法萊特檢驗法（n200n200） i3 3 （x x） 2 2 肖維納檢驗法肖維納檢驗法（判則不嚴）（判則不嚴） a3 3 格拉布斯檢驗法格拉布斯檢驗法（理論與實驗證明較好）（理論與實驗證明較好）maxG G 在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應極少。否則，說明系統(tǒng)工作不在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應極少。否則，說明系統(tǒng)工作不正常。正常。 P P( (x x) )E E( (x x) )x x0 0kk( (x x) )kk( (x x) )-3 -3 -

54、a-a- -G G 3 3 a aG G 殘差絕對值大于三倍殘差絕對值大于三倍標準偏差標準偏差式中，式中，G G值按重復測量次數(shù)值按重復測量次數(shù)n n及置信概率及置信概率PcPc確定確定 G是格拉布斯常量取值是格拉布斯常量取值G G查查p34p34表表2.62.64 4 中位數(shù)檢驗法中位數(shù)檢驗法中位數(shù)中位數(shù)平均值平均值 大量統(tǒng)計表明，當數(shù)據(jù)列中沒有粗大誤差時中位數(shù)與平均值最為接近，若差距較大說明有異常數(shù)據(jù)舍棄兩端極值。 991、996、999、1001、1004、1008、1011、1014、1019 8 .10049101910141011100810041001999996991中位數(shù)中位

55、數(shù)例例把測量結(jié)果按自小到大順序排列，所得數(shù)據(jù)列中居于中間位置的一個值把測量結(jié)果按自小到大順序排列，所得數(shù)據(jù)列中居于中間位置的一個值應為最佳估計值，稱之為應為最佳估計值，稱之為中位數(shù)中位數(shù)。若兩個值居于中間位置，取其平均值。若兩個值居于中間位置，取其平均值作為中位數(shù)。作為中位數(shù)。測量數(shù)測量數(shù)據(jù)的分據(jù)的分布決定布決定x(1)所有的檢驗法都是人為主觀擬定的，至今尚未有統(tǒng)至今尚未有統(tǒng)一的規(guī)定一的規(guī)定。這些檢驗法又都是以正態(tài)分布為前提的，當偏離正態(tài)分布時，檢驗可靠性將受影響，特別是測量次檢驗可靠性將受影響，特別是測量次數(shù)較少時更不可靠。數(shù)較少時更不可靠。(2)若有多個可疑數(shù)據(jù)同時超過檢驗所定置信區(qū)間，應

56、逐個剔除，然后重新計算(3)在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應極少可疑數(shù)據(jù)應極少。否則，說明系統(tǒng)工作不正常。要對異常數(shù)據(jù)的出現(xiàn)進行分析，找出原因，不要輕易舍去異常數(shù)據(jù)而放過發(fā)現(xiàn)問題的機會。(4)上述三種檢驗法中，萊特檢驗法是以正態(tài)分布為依據(jù)的，測值數(shù)據(jù)最好n200，若n.ABX B.A 被測電池電壓被測電池電壓 x x= =B B+ +A A=9+0.1=9.1V=9+0.1=9.1V測量誤差由式（測量誤差由式（2.442.44）可求得：）可求得： BAAABBxx=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2%=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2%可見，采用微差法

57、測量，可見，采用微差法測量，測量誤差主要決定于標準量的誤差測量誤差主要決定于標準量的誤差，而測試儀表誤，而測試儀表誤差的影響被大大削弱。本例說明，用誤差為差的影響被大大削弱。本例說明，用誤差為5 5的電壓表進行測量，可得的電壓表進行測量，可得0.2%0.2%的測量精確度。的測量精確度。應當指出，在現(xiàn)代智能儀器中，可以利用微處理器的計算控制功能，消弱或應當指出，在現(xiàn)代智能儀器中，可以利用微處理器的計算控制功能，消弱或消除儀器的系統(tǒng)誤差。利用消除儀器的系統(tǒng)誤差。利用微處理器消弱系差的方法很多微處理器消弱系差的方法很多，如直流零位校準、，如直流零位校準、自動校準、相對測量等，可參閱有關(guān)的課程。自動校

58、準、相對測量等，可參閱有關(guān)的課程。 待測待測標準標準（固定）（固定）A AB Bx x9V9V0.1V0.1VV V圖圖2.17 2.17 微差法測量微差法測量削弱測試儀表誤差的影響削弱測試儀表誤差的影響2.4.4 2.4.4 重復性測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理（重復性測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理（重點內(nèi)容：是不確定度計算基礎重點內(nèi)容：是不確定度計算基礎） 當對某被測量進行重復性測量時，測量值中可能含有系統(tǒng)誤差、隨機誤差和當對某被測量進行重復性測量時，測量值中可能含有系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差。粗大誤差。l對同一量值作一系列對同一量值作一系列等精度獨立測量等精度獨立測量，其測量列中的全部測量，其測量列中的全部測

59、量值的值的算術(shù)平均值與被測量的真值最為接近算術(shù)平均值與被測量的真值最為接近。算術(shù)平均值就是真值。算術(shù)平均值就是真值 的無偏估計值。實際測量中，通常以算術(shù)平均值代替真值。的無偏估計值。實際測量中，通常以算術(shù)平均值代替真值。 設被測量的真值為設被測量的真值為 ，其等精度測量值為，其等精度測量值為x x1 1，x x2 2，x xn n，則，則其算術(shù)平均值為其算術(shù)平均值為 n12nii=111x= (x +x +.+x )=xnn（2.192.19） 當當n為有限次時為有限次時xx xn2ii=11s( )=( - )n-1（2.202.20） 這就是貝塞爾公式。由于推導中不夠嚴密，故這就是貝塞爾公

60、式。由于推導中不夠嚴密，故 被稱為被稱為標標準差的估值，也稱實驗標準差。準差的估值，也稱實驗標準差。)(xsl在有限次等精度測量中，如果在相同條件下對同一量值分在有限次等精度測量中，如果在相同條件下對同一量值分mm組進行測量，每組重復組進行測量，每組重復n n次測量，則每組數(shù)列都會有一個平均次測量，則每組數(shù)列都會有一個平均值，由于隨機誤差的存在，這些值，由于隨機誤差的存在，這些平均值并不相同平均值并不相同，圍繞真值有，圍繞真值有一定分散性。這說明有限次測量的一定分散性。這說明有限次測量的算術(shù)平均值還存在著誤差算術(shù)平均值還存在著誤差。當需要更精密時，應該用當需要更精密時，應該用算術(shù)平均值的標準差