高二理科數(shù)學(xué)圓錐曲線單元測(cè)試

1、高二年單元考試試卷（圓錐曲線）一、選擇題（60分）1已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 2平面直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、. 若動(dòng)點(diǎn)滿足，其中、，且，則點(diǎn)的軌跡方程為A. B. C. D. 3拋物線上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 324橢圓的離心率是，則它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是（ ）A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 2或45設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的等軸雙曲線的焦點(diǎn)為，此雙曲線上一點(diǎn)滿足，則的面積為（ ）A. B. C. D. 6拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線

2、的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則直線的斜率為（ ）A. B. C. D. 7已知點(diǎn)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是（ ）A. 2 B. C. 0 D. 18橢圓（）上存在一點(diǎn)滿足， 為橢圓的左焦點(diǎn)， 為橢圓的右頂點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是（ ）A. B. C. D. 9把離心率的曲線稱之為黃金雙曲線若以原點(diǎn)為圓心，以虛半軸長(zhǎng)為半徑畫圓，則圓與黃金雙曲線（ ）A. 無交點(diǎn) B. 有1個(gè)交點(diǎn) C. 有2個(gè)交點(diǎn) D. 有4個(gè)交點(diǎn)1

3、0已知，則方程是與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖形可能是 ( ） A B C D11設(shè)直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，若，則的值為（ ）A. B. C. D. 12已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值是（ ）A. B. C. 2 D. 3二、填空題(20分)13已知是拋物線 的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)若為的中點(diǎn)，則_14拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則_15已知橢圓 離心率為，雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為16，則橢圓的方程為_16設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，過作軸的垂線與相交于兩

4、點(diǎn)，與軸相交于，若，則橢圓的離心率等于 .三、解答題17（10分）設(shè)命題：方程表示雙曲線；命題：斜率為的直線過定點(diǎn)且與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)若是真命題，求的取值范圍18（12分）（1）已知橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為4，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）已知雙曲線過點(diǎn),且漸近線方程為,求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。19（12分）已知雙曲線C： 的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)。(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)。20（12分）過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1時(shí)， .（1）求

5、拋物線的方程；（2）若直線的斜率為2，問拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，并說明理由. 21（12分）已知橢圓過點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程； （2）是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率與的斜率之和為2，證明：直線恒過定點(diǎn).22（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)， ， 分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且（1）求橢圓的方程；（2）已知直線： 被圓： 所截得的弦長(zhǎng)為，若直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，求面積的最大值試卷第3頁(yè)，總4頁(yè)本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考。參考答案1D【解析】由題得c=5,則 ，即a=3,所以雙曲線的漸近線方程為 ，即 ，故選D2C【解析】設(shè) ,則因此,選C.3

6、B【解析】橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10，該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為10，拋物線的準(zhǔn)線方程為 ， 故選B4D【解析】把橢圓方程轉(zhuǎn)化為： 分兩種情況：時(shí)橢圓的離心率則： 解得：m=進(jìn)一步得長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4時(shí)橢圓的離心率 ，則：長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2故選：D點(diǎn)睛：在橢圓和雙曲線中，焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，勿忘分類討論.5D【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為 ,因?yàn)檫^點(diǎn),所以 從而 ,選D.6A【解析】令y=1,代入，得 ，即,由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F(1,0),所以 直線的斜率為，故選A【答案】A【解析】橢圓，即為，則橢圓的，則由為的中線，即有，則，可設(shè)，則，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則的最小值為，故選A.8C【解析】

7、設(shè)，則由得 ，因?yàn)椋?，選C.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.9D【解析】由題意知，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以圓與黃金雙曲線的左右兩支各有2個(gè)交點(diǎn)，即圓與黃金雙曲線由4個(gè)交點(diǎn)，故選D.10A【解析】方程即，表示拋物線，方程表示橢圓或雙曲線，當(dāng)和同號(hào)時(shí)，拋物線開口向左，方程表示橢圓，無符合條件的選項(xiàng)，當(dāng)和異號(hào)時(shí)，拋物線開口向右，方程表示雙曲線，故選A.11B【解析】設(shè) ，因?yàn)?，所以由拋物線定義得 ，選B.12A【解析】如圖，設(shè)橢圓的

8、長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：,，設(shè),則，在中根據(jù)余弦定理可得到化簡(jiǎn)得：該式可變成：,故選點(diǎn)睛：本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，運(yùn)用基本知識(shí)點(diǎn)結(jié)合本題橢圓和雙曲線的定義給出與、的數(shù)量關(guān)系，然后再利用余弦定理求出與的數(shù)量關(guān)系，最后利用基本不等式求得范圍。13【解析】如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，作與點(diǎn)，與點(diǎn)，由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為，則，在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結(jié)合題意，有，故點(diǎn)睛:拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化如果問題中涉及拋物線的焦

9、點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡(jiǎn)單化14【解析】由拋物線可知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，由于為等邊三角形，設(shè)AB與y軸交于M,FM=P,即，填?！军c(diǎn)睛】對(duì)于圓錐曲線要先定位，再定量，本題的拋物線焦點(diǎn)是在y軸正半徑。所以求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，再把準(zhǔn)線方程與雙曲線組方程組算出B點(diǎn)坐，再由等邊三角形，可解的P,15【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為 以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，故邊長(zhǎng)為4， 在橢圓上， ， 橢圓方程為：故答案為：16【解析】試題分析：連接，為的中

10、點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又，.設(shè)，則，.考點(diǎn)：橢圓離心率.【方法點(diǎn)晴】本題考查的是橢圓的幾何性質(zhì)（離心率問題），屬于中檔題.本題的切入點(diǎn)就在原點(diǎn)上，利用平行關(guān)系，推出點(diǎn)也是中點(diǎn)，從而思路豁然開朗.解析幾何的中心思想就是數(shù)形結(jié)合，善于抓圖像的性質(zhì)，是解好解析幾何題的關(guān)鍵所在，特別是小題.離心率問題是重點(diǎn)題型，主要思路就是想方設(shè)法去建立的等或者不等的關(guān)系即可.17【解析】試題分析：（1）命題p中式子要表示雙曲線，只需，對(duì)于命題q：直線與拋線有兩上不同的公共點(diǎn)，即設(shè)直線與拋物線方程組方程組，只需，解出兩個(gè)不等式（組）中k的范圍，再求出交集。試題解析：命題真，則，解得或，命題為真，由題意，設(shè)直線的方程為，即，

11、聯(lián)立方程組，整理得， 要使得直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)，需滿足， 解得且 若是真命題，則所以的取值范圍為18（1） （2）【解析】試題分析：（1）由已知，先確定 的值，進(jìn)而求出 ，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）由已知可得雙曲線焦點(diǎn)在軸上且，將點(diǎn)代入雙曲線方程，可求出，即得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程試題解析：（1）由橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為4，得，即 （2）試題分析：由雙曲線漸近線方程可知雙曲線方程可設(shè)為，代入點(diǎn)得，所以雙曲線方程為考點(diǎn)：雙曲線方程及性質(zhì)19（1）（2）【解析】試題分析：（1）由橢圓過點(diǎn)(，0)得a，再由離心率求c，最后根據(jù)勾股數(shù)求b;（2）先根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線l方程，再與雙曲

12、線聯(lián)立方程組，消y得關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求AB的長(zhǎng)試題解析：（1）因?yàn)殡p曲線C： 的離心率為，點(diǎn)(，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，所以，即（2）經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線l： 與雙曲線聯(lián)立方程組消y得 ，由弦長(zhǎng)公式解得 點(diǎn)睛：有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)問題的求解方法涉及弦長(zhǎng)的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.涉及中點(diǎn)弦問題往往利用點(diǎn)差法20（1）；（2）存在點(diǎn).【解析】【試題分析】（1）運(yùn)用拋物線的定義建立方程求出；（2）借助題設(shè)

13、條件建立方程，再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系得到方程，通過對(duì)判別式的研究發(fā)現(xiàn)有解，即所設(shè)的點(diǎn)存在：解：（1）由拋物線的定義可得，故拋物線方程為；（2）假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)，則設(shè)直線代入可得設(shè)，則。因?yàn)椋瑒t由： ，即，也即，所以，由于判別式，此時(shí)，則存在點(diǎn)，即存在點(diǎn)滿足題設(shè)。21(1) ；(2)證明見解析.【解析】試題分析：(1)由題意得到a,b的值即可確定橢圓方程；(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理分類討論即可證得題中的結(jié)論.試題解析：（1）由題意可得： ，則橢圓的方程為（2）設(shè)，直線方程為，得： 由韋達(dá)定理： ， ，由題意可知，即即或當(dāng)時(shí)，直線方程恒過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，直線方程恒過定點(diǎn)

14、與點(diǎn)重合，不合題意舍去，綜上所述，直線恒過定點(diǎn).點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形22（1）（2）當(dāng)，即時(shí)， 面積取到最大值1【解析】試題分析：利用離心率可以得出的關(guān)系，化為的關(guān)系，再利用的面積列出的方程，借助解出，寫出橢圓方程，聯(lián)立方程組，化為關(guān)于的一元二次方程，利用設(shè)而不求思想，借助根與系數(shù)關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式表示出弦長(zhǎng)，寫出面積，利用換元法和配方法求出最值.試題解析：（1）由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以，即，可得， ，所以橢圓的方程為（2）由題意知，