八年級一元一次不等式(教師講義帶答案)

1、第四章一元一次不等式（組）考點一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的 值，都叫做這個不等式的解。3、對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱 這個不等式的解集。4、求不等式的解集的過程，叫做解不等式。5、用數(shù)軸表示不等式的方法考點二、不等式基本性質(zhì)（3-5分）1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。

2、4、說明：在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，是隨著加或乘的運算 改變。如果不等式乘以0,那么不等號改為等號所以在題目中，要求出乘以的數(shù)， 那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不 等為0,否則不等式不成立；考點三、一元一次不等式（68分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項 （5）項的系數(shù)化為1考點四、一元一次不等式組（8分）1、一元一次不等式組的概念：幾個一元一次不等

3、式合在一起，就組成了一個一元一次不 等式組。2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。4、當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。5、一元一次不等式組的解法（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。6、不等式與不等式組不等式：用符號，=,號連接的式子叫不等式。不等式的兩邊都加上或減去同一 個整式，不等號的方向不變。不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向 不變。不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向相反

4、。7、不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等式解集的過程叫做解不等式。經(jīng)典例題透析國 類型一：解一元一次不等式組國6x-2>3x-4 ffl 2x+l 1-je31、解不等式組32,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來。閨思路點撥：先求出不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示不等式的解集，求出 它們的公共部分即不等式組的解集。解析：解不等式，得X2一 3；解不等式，得xV1。所以不等式組的解集為一 3 WxV1在數(shù)軸上表示不等式的解集如圖。3總結(jié)升華：用數(shù)軸表示不等式組的解集時，要切記：大于向右畫，小于向左畫。有 等號畫實心

5、圓點，無等號畫空心圓圈。舉一反三:2 十4'>-x【變式1】解不等式組：3解析：解不等式，得：芯<3解不等式，得：2在數(shù)軸上表示這兩個不等式的解集為:(!>.0A-23,原不等式組的解集為：-2<芯<3十4>0©' 2x-l <3®【變式2】解不等式組：I 2去+5之荻+4思路點撥：在理解一元一次不等式組時要注意以下兩點：(1)不等式組里不等式的個數(shù)并未規(guī)定；(2)在同一不等式組里的未知數(shù)必須是同一個.(3)注意在數(shù)軸表示解集時“空心點”與“實心點”的區(qū)別4X > "解法一：解不等式，得： 3解不等式

6、，得：穴<2 解不等式，得：xMl在數(shù)軸上表示這三個不等式的解集為:i-0>.11234 x三,原不等式組的解集為：3解法二：解不等式，得：萬<2解不等式，得：xMl由 x<2 與 xWl 得：x <144再與3求公共解集得：3, 2【變式3】解不等式組：-4>為+31、2解析：,-43乂+3解不等式得：x>-2 解不等式得：xV-7 ,不等式組的解集為無解2z1【變式4】解不等式：一 1V 丁 W5思路點撥：（1）把連寫不等式轉(zhuǎn)化為不等式組求解；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)，直接求 出連寫不等式的解集。，:1<然解法1：原不等式可化為下面的不等式組1

7、3解不等式，得X>-1,解不等式，得xW8所以不等式組的解集為一 1 VxW8。即原不等式的解集為一 1 VxW821解法 2: - 1V丁 W5, 3V2x-1W15, 2V2xW16, 1VxW8。所以原不等式的解集為一 1 VxW8總結(jié)升華：對于連寫形式的不等式可以化成不等式組來求解，而對于只有中間部分 含有未知數(shù)的連寫形式的不等式也可以按照解不等式的步驟求解，如解法2.5x-2>3（a+1）CD 'Ltwt-遨 【變式5】求不等式組22 的整數(shù)解。思路點撥：按照不等式組的解法，先求出每個不等式的解集，在數(shù)軸上表示出各個 不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再

8、在不等式組的解集內(nèi)求出符合要求 的整數(shù)解。5解析：解不等式，得X，；解不等式，得xW4。在數(shù)軸上表示不等式的解集（如圖）45所以不等式組的解集為所以它的整數(shù)解為3,4o類型二、含參數(shù)的一元一次不等式組闔2.若不等式組卜2-5無解，求a的取值范圍.國思路點撥：由兩個不等式組成的不等式組無解只有一種情況，即“大大小小”，也 就是說如果X比一個較大的數(shù)大，而比一個較小的數(shù)小，則這樣的數(shù)X不存在.解析：依題意：2a-5 2 3a-2,解得a W -3總結(jié)升華：特別地，當(dāng)2a-5與3a-2相等時，原不等式組也無解，請注意體會，以 后做此類型的題目不要忽略對它們相等時的考慮.舉一反三：x + 1【變式1】

9、若不等式組卜,2陽-1無解，則溜的取值范圍是什么？解析：要使不等式組無解，故必須涉+ 1工2%-1,從而得風(fēng)2 2.【變式2】若關(guān)于文的不等式組工+八的解集為x<2,則Q的取值范圍是什么？x + 4 x解析：由丁.+1可解出而由大十?？山獬鰔 <-a f而不等式組的解集為x<2,故2 0-白，即a W-2.總結(jié)升華：上面兩個例題給出不等式組的解集，反求不等式組中所含字母的取值范 圍，故要求較高.解這類題目的關(guān)鍵是對四種基本不等式組的解集的意義要深刻理解，如 旌2變式2,最后歸結(jié)為對不等式組解集的確定，這就要求熟悉“同小取小”的解集確 定方法，當(dāng)然也可借助數(shù)軸求解?！咀兪?】不

10、等式組1X-尢0 的解集為XV2,試求k的取值范圍.L-D21 4 3解析：卜-0，由得“V2,由得x<k,不等式組的解集為x<2,2W .即22.m>0【變式4】已知關(guān)于x的不等式組卜-2萬、1的整數(shù)解共有5個，求洲的取值范圍。解析：不等式組x-附之。的解為：XN囑不等式組5-21>1的解為：a<2由于原不等式組有解，解集為<<2在此解集內(nèi)包含5個整數(shù)，則這5個整數(shù)依次是1、°、-么-3，力必須滿足-4胴工-3xa>24 _【變式5】若不等式組.一2出口的解集為一 1VxV1,則（a + b）20°8=ob解析：由知x>

11、;a + 2,由知xV"ba + 2 = 1, 2=1,a = - 3, b = 2,.a + b=-1, .(a + b) 2。何=(-1)288=1。類型三、建立不等式或不等式組解決實際問題國03、某校在一次外出郊游中，把學(xué)生編為9個組，若每組比預(yù)定的人數(shù)多1人， 則學(xué)生總數(shù)超過200人；若每組比預(yù)定的人數(shù)少1人，則學(xué)生總數(shù)不到190人，求預(yù)定 每組學(xué)生的人數(shù)。國思路點撥：運用不等式解應(yīng)用題的方法，找出題目中的不等關(guān)系，列不等式組，本 題中的兩個不等關(guān)系是： 9個小組中每組比預(yù)定的人數(shù)多1人，學(xué)生總數(shù)超過200人; 9個小組中每組比預(yù)定的人數(shù)少1人，學(xué)生總數(shù)不到190人。9(x+

12、l)>200解析：設(shè)預(yù)定每組學(xué)生有X人，根據(jù)題意，得解這個不等式組，得.191x>99 ,所以不等式組的解集是9其中符合題意的整數(shù)解只有一個x = 22o答：預(yù)定每組學(xué)生的人數(shù)為22人?？偨Y(jié)升華：列不等式（組）解應(yīng)用題，首先將題目中的不等關(guān)系用不等式表示出來， 當(dāng)求得未知數(shù)的值后，要檢驗，一是檢臉?biāo)笾凳欠袷窃坏仁交虿坏仁浇M的解，二是 檢驗所求得的值是否與實際意義相符。舉一反三：【變式1】某飲料廠為了開發(fā)新產(chǎn)品，用A、B兩種果汁原料各19千克、千克，試制 甲、乙兩種新型飲料共50千克，下表是試驗的相關(guān)數(shù)據(jù)：飲料每千克含量甲乙A （單位：千克）0. 50. 2B （單位：千克）0.

13、 30. 4（1）假設(shè)甲種飲料需配制x千克，請你寫出滿足題意的不等式組，并求出其解集。（2）設(shè)甲種飲料每千克成本為4元，乙種飲料每千克成本為3元，這兩種飲料的成 本總額為y元，請用含有x的式子來表示y。并根據(jù)（1）的運算結(jié)果，確定當(dāng)甲種飲料配制多少千克 時，甲、乙兩種飲料的成本總額最??？解析：(1) +(50-x)W19 + (50-x)W 由得xW30,由得x，28，28Wx<30(2) y=4x+3 (50-x),即 y=x+150因為x越小，則y越小，所以當(dāng)x=28時，甲、乙兩種飲料的成本總額最少。【變式2】某園林的門票每張10元，一次使用。考慮到人們的不同需求，也為了吸 引更多的

14、游客，該園林除保留原來的售票方法外，還推出了一種“購買個人年票”的售 票方法(個人年票從購買日起，可供持票人使用一年)。年票分A、B、C三類：A類年票 每張120元，持票者進入園林時，無需再購買門票；B類年票每張60元，持票者進入該 園林時，需再購買門票，每次2元；C類年票每張40元，持票者進入該園林時，需要再 購買門票，每次3元。(1)如果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計劃在一年中用80元花在該園林 的門票上，試通過計算，找出可使進入該園林的次數(shù)最多的購票方式。(2)求一年中進入該園林至少多少次時，購買A類年票才比較合算。思路點撥：“合算”是指進園次數(shù)多而花錢少，或是花相同的錢進園的次數(shù)

15、最多，顯然是通過計算進行代數(shù)式比較和建立不等式(組)關(guān)系。解：(1)不可能選A類年票,若選B類年票，則為10次；若選C類年票，則為13次；若不購買年票，則為8次所以計劃用80元花在該園林的門票上時，選擇購買C類年票的方法進入 園林的次數(shù)最多，為13次。(2)設(shè)至少超過x次時，購買A類年票才比較合算，則 60+2x>120 解得 x>3040+3x>120 解得 x>2610x>120 解得 x>12Ax >30所以，一年中進入該園林至少超過30次時，購買A類年票才比較合算?！咀兪?】若干名學(xué)生，若干間宿舍，若每間住4人將有20人無法安排住處；若每 間住

16、8人，則有一間宿舍的人不空也不滿，問學(xué)生有多少人宿舍有幾間？解析：設(shè)宿舍共有x間。&4x + 20以+ 20解得：5<x<7Vx為整數(shù)/. x = 6學(xué)生人數(shù)4X6+20=44（人）答：學(xué)生44人，宿舍6間。【變式4】某學(xué)校計劃組織385名師生租車旅游，現(xiàn)知道出租車公司有42座和60座 客車，42座客車的租金為每輛320元，60座客車的租金為每輛460元，（1）若學(xué)校單獨租用這兩種客車各需多少錢？（2）若學(xué)校同時租用這兩種客車8輛（可以坐不滿），而且比單獨租用一種車輛節(jié) 省租金，請選擇最節(jié)省的租車方案。解析：（1） 38542仁 單獨租用42座客車需10輛，租金為320X

17、10 = 3200（元）38560七 單獨租用60座客車需7輛，租金為460X7 = 3220（元）（2）設(shè)租用42座客車x輛,則60座客車需座一x）輛解得:71842x+60(8-x)> 385320z+460(8-x)<3200因x取整數(shù)x=4, 5當(dāng) x=4 時，租金為 320X4+460X (84) =3120(元)當(dāng) x=5 時，租金為 320X5+460X (85) =2980(元)所以租5輛42座，3輛60座最省錢?！咀兪?】解方程。由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和一2的距離之和為5的點對應(yīng)的x的值。在數(shù)軸上，1和一2的 距離為3,滿足方程的x對應(yīng)點在

18、1的右邊或一2的左邊，若x對應(yīng)點在1的右邊，由 圖(17)可以看出x = 2；同理，若x對應(yīng)點在一2的左邊，可得x=-3,故原方程的 解是x=2或x=3參考閱讀材料，解答下列問題:(1)方程的解為(2)解不等式29;(3)若Wa對任意的x都成立，求a的取值范圍解：（1） 1或(2)的距離為7,因此，滿足不等式的解對應(yīng)的點3與的兩側(cè).在3的右邊時，如圖(2),易知的左邊時，如圖(2),易知等 式 的 解 為大于或等于3 ）原問題轉(zhuǎn)化為：時,的增大而減小,時,的最大值為7. 12分一次不等式（組）中參數(shù)取值范圍求解技巧2（提高部分）已知一次不等式（組）的解集（特解），求其中參數(shù)的取值范圍，以及解含

19、方程與 不等式的混合組中參變量（參數(shù)）取值范圍，近年在各地中考卷中都有出現(xiàn)。求解這類 問題綜合性強，靈活性大，蘊含著不少的技能技巧。下面舉例介紹常用的五種技巧方法。一、化簡不等式（組），比較列式求解例1.若不等式;（2%-©2%-2上的解集為人-求k值。解：化簡不等式，得xW5k,比較已知解集，得$J;。例2.（2014年山東威海市中考題）若不等式組，、.的解集是x>3,則m的I e / m取值范圍是（）。A m23 B、m=3 C、m<3 D、mW3解：化簡不等式組，得Fl?,比較已知解集x>3,得32m,選D。幺m例3.（2014年重慶市中考題）若不等式組的解集

20、是7<x<1,那么（a+1） （b-1）IE - zb z 3的值等于 o軟+1*亍，> 2b+3,它的解集是T<x<1,+pb + 3=-l, =1.2b+3八 <二1也為其解集，比較得 L-P1=>< =2I= 11b = /. (a+1) (b-1) =-6.評述：當(dāng)一次不等式（組）化簡后未知數(shù)系數(shù)不含參數(shù)（字母數(shù)）時，比較已知解 集列不等式（組）或列方程組來確定參數(shù)范圍是一種常用的基本技巧。二、結(jié)合性質(zhì)、對照求解例4.（2014年江蘇鹽城市中考題）已知關(guān)于x的不等式（1-a）x>2的解集為汽二，1- a則a的取值范圍是（）。A、 a

21、>0 B、 a>1 C、 a<0 D、 a<1解：對照已知解集，結(jié)合不等式性質(zhì)3得：即a>1,選B。例5.（2014年湖北荊州市中考題）若不等式組f I?的解集是乂為，則a的取值范 w ） a圍是（）。A、a<3 B、a=3 C、a>3 D a，3解：根確定不等式組解集法則：“大大取較大”，對照已知解集x>a,得a，3,選Do變式（2014年重慶市初數(shù)賽題）關(guān)于x的不等式（2a-b）x>a-2b的解集是則關(guān) 乙于X的不等式ax+b<0的解集為 o三、利用性質(zhì)，分類求解例6.已知不等式白鞏-2|-9-汛-2|+2）的解集是xj,求a的取

22、值范圍。乙乙乙解：由解集得X-2O,脫去絕對值號，得乙-(-x + 2) -5-l >la(-x + 2)+2(a-l)x >2a+7 o22當(dāng)aT>0時，得解集汛)出:與已知解集x(矛盾； a -12當(dāng)a-1=0時，化為0x>0無解；當(dāng)aTCO時，得解集汛生?與解集x2等價。 a -12# 2a+7 14 = - => a = -5.a - 12(2x+5a <3(x + 2)一.， 有解，且每一個解x均不在-1WxW4范圍內(nèi)，求aT 3的取值范圍。解：化簡不等式組，得x > 5a - 6, x < 3a.它有解，5a-6<3ana<

23、;3;利用解集性質(zhì),題意轉(zhuǎn)化為：其每一解在x<T或x>4 內(nèi)。于是分類求解，當(dāng)x<-1時，得%4-1=>心-；，當(dāng) x>4 時，得 4<5a-6na>2。故a M或 2<a<3 為所求。評述：(1)未知數(shù)系數(shù)含參數(shù)的一次不等式，當(dāng)不明確未知數(shù)系數(shù)正負(fù)情況下，須得 分正、零、負(fù)討論求解；對解集不在aWx<b范圍內(nèi)的不等式(組)，也可分x<a或x 2b 求解。(2)要細(xì)心體臉?biāo)胁坏仁街惺欠衲苋〉忍?，必要時畫數(shù)軸表示解集分析等號。四、借助數(shù)軸，分析求解fx " a 2 0例8.(2014年山東聊城中考題)已知關(guān)于x的不等式

24、組% ,、1的整數(shù)解共5個,則a的取值范圍是 o解：化簡不等式組，得f有解，將其表在數(shù)軸上，如圖1,其整數(shù)解5個必為產(chǎn)1,0,-1,-2,-3。由圖1得：-4<a-3o。w- < 2 皇 上44 X-4-3-2-1 0 1 2圖1變式：(1)若上不等式組有非負(fù)整數(shù)解，求a的范圍。(2)若上不等式組無整數(shù)解，求a的范圍。(答：(1)-1<aW0; (2)a>1)py + 5«3(y + t)例9.關(guān)于y的不等式組y-tz y_7 的整數(shù)解是-3, -2, -1, 0, 1。求參數(shù)t的T 3 6范圍。解：化簡不等式組，得y >5-3ty <3t-7J其解集為5-