數(shù)學(xué)物理方程2ppt課件

1、二階常系數(shù)線性方程的規(guī)范方式二階常系數(shù)線性方程的規(guī)范方式)(xfqyypy 121212( ),( )( , )( )( )( ),( )( ),( ).y xyxa bky xky xy xyxy xyx ：設(shè)設(shè)為為定定義義在在內(nèi)內(nèi)的的兩兩個個函函數(shù)數(shù)，如如果果存存在在非非零零常常數(shù)數(shù), ,使使得得, ,則則稱稱線線性性相相關(guān)關(guān)，否否稱稱定定則則線線性性無無關(guān)關(guān)義義12)0(,( )yy xpyxqyy 設(shè)設(shè)是是方方程程的的兩兩個個線線性性無無定定理理關(guān)關(guān)的的解解，則則1122( )( )( )y xC y xC yx 12,.C C是是方方程程的的通通解解，其其中中為為任任意意常常數(shù)數(shù)02

2、 qprr,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy(1) (1) 有兩個不相等的實根有兩個不相等的實根1,r2r兩個線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解2(40)pq ,11xrey ,22xrey 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy 齊次方程齊次方程特征方程特征方程(2) 有兩個相等的實根2(40)pq 齊次方程的通解為;)(121xrexCCy ,11xrey 特解為12r xyxe(3) 有一對共軛復(fù)根1,ri2,ri2(40)pq ,cos1xeyx,sin2xeyx齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特解為02 qprr0

3、 qyypy 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達(dá)達(dá)式式實實根根21rr 實實根根21rr 復(fù)復(fù)根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx )(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解構(gòu)造通解構(gòu)造*( )( )( ),y xY xyx二階常系數(shù)非齊次線性方程*( )( )( )yxypyqyf xY x如果是方程的一個特解，如果是方程的一個特解，是方程對應(yīng)的齊次方程的通解，則方程的通解是方程對應(yīng)的齊次方程的通解，則方程的通解為為 研討兩端固定均勻的自在振動.定解問題為： lxxtuxut

4、uulxxuatuttlxx0),(),(0, 0, 00, 000022222 特點: 方程齊次, 邊境齊次. (1) 沒有波形的傳播，即各點振動相位與位置無關(guān)，按同一方式隨時間振動，可一致表示為 ; )(tT (2) 各點振幅 隨點 而異，而與時間無關(guān)，用 X(x) 表示,所以駐波可用 表示。 Xx)()(tTxX駐波的特點：駐波的特點： 端點會引起波的反射，弦有限長，波在兩端點之間往返反射。兩列反向行進(jìn)的同頻率的波構(gòu)成駐波。 設(shè) 且 不恒為零，代入方程和邊境條件中得)()(),(tTxXtxu ),(txu 0 2 TXaXT 由 不恒為零，有： ),(txu)()()()(2 tTat

5、TxXxX XXTaT 2 取參數(shù)這個式子的左端是這個式子的左端是x的函數(shù)的函數(shù),右端是右端是t的函數(shù)，何時恒等？的函數(shù)，何時恒等？ 0)(0,(0) lXX成成立立 0)()( xXxX . 20( )( )Tta T t 0)()(0)()0(tTlXtTX利用邊境條件那么 0)(, 0)0(0 lXXXX 特征值問題 參數(shù)稱為特征值.分三種情形討論特征值問題的求解函數(shù)X(x)稱為特征函數(shù) 002121lleCeCCC 由邊值條件 00212ClCC(i) 方程通解為 xxeCeCxX 21)(0 (ii) 時，通解 21)(CxCxX 0 由邊值條件得0)( xXC1 =C 2=0 從而

6、從而 ， 無意義無意義. 0 , 0)(021 xXCC 無意義0 由邊值條件 0sin021lCC 從而 0 l sin即 , 3 , 21,222，nln (iii 時，通解 xCxCxX sincos)(21 0 nl 故, 2 , 1,sin)(2 nxlnCxX而, 02 C得再求解T： 0)()(2222 tTlnatTnn 其解為 ( )cossinn atn atnnnllT tCD所以 ( , )(cossin)sin1,2,3,n atn atn xnnnlllux tCDn兩端兩端固定固定弦的弦的本征本征振動振動疊加 1(, )(cossin) sinnatnatnxnn

7、lllnu x tCD. 11)(sin)(sinnlxnlannnlxnnxBxA 將 展開為Fourier級數(shù)，比較系數(shù)得 )(),(xx 2020( )sin( )sinlnnnlllnlnnnanalCdDd 代入初始條件得： 定解問題的解是Fourier正弦級數(shù)，這是在 x0 和 x=l 處的第一類齊次邊境條件決議的。 1( , )(cossin)sinnatnatnxnnlllnu x tCD關(guān)于二階常微分方程關(guān)于二階常微分方程特征值問題施特姆特征值問題施特姆- -劉維爾問題，存在劉維爾問題，存在如下結(jié)論：如下結(jié)論：( )( )0XxX x1.1.一切特征值均不為負(fù)一切特征值均不為

8、負(fù)2.2.不同特征值所對應(yīng)的特征函數(shù)正交，在區(qū)間上構(gòu)成完備系。不同特征值所對應(yīng)的特征函數(shù)正交，在區(qū)間上構(gòu)成完備系。3.3.恣意一個具有延續(xù)一階導(dǎo)數(shù)及分段延續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)且恣意一個具有延續(xù)一階導(dǎo)數(shù)及分段延續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)且滿足特征值問題的邊境條件，那么可以按照特征函數(shù)系展開滿足特征值問題的邊境條件，那么可以按照特征函數(shù)系展開( )( )0()bmnaXx Xx dxmn ( )( )nnnf xf Xx 2( )( )( )bnanbnaf x Xx dxfXx dx 0020( )sin2( )sinsinllnln xxdxn xlCxdxn xlldxl 00020( )sin22( )

9、sin( )sinsinlllnlnn xlxdxn xn xlDxdxxdxn xn allaln adxl 利用特征函數(shù)的正交性利用特征函數(shù)的正交性1sin( )nnnCxxl 1sin( )nnn anDxxll 0sinlmxl 0sinlmxl dxdx0sinlmxl 0sinlmxl dxdx( )mXx在等式兩邊同乘在等式兩邊同乘并在區(qū)間上取積分，利用特征并在區(qū)間上取積分，利用特征函數(shù)的正交性函數(shù)的正交性, ,可求系數(shù)可求系數(shù)程程方方偏微分偏微分 變量變量分離分離）解解特特征征解解（解解12 變量變量分離分離特征值問題特征值問題12程程方方常微分常微分程程方方常微分常微分 齊次

10、邊齊次邊界條件界條件件件條條2解解1解解特征函數(shù)特征函數(shù) 特特征征值值特特征征解解所所求求解解 分別變量法圖解分別變量法圖解 系數(shù)代入初始條件確定未知得到解0)()0(, 0)()0()()0( lll 那么無窮級數(shù)解lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),(1 為如下混合問題的解 lxxulxxuuulxuautttlxxxxtt0)(0)(00000002 上， ，且 23)(,)(CxCx ,l0定理：假設(shè)在區(qū)間定理：假設(shè)在區(qū)間lxnnnnStN sin)sin( 弦上各點的頻率 和初位相 都一樣，因此沒有波形的傳播景象。 n nS弦上各點振幅 因點而異 |si

11、n|lxnnN 在 處，振幅永遠(yuǎn)為0 lxnlnnlnl,.,0)1(2 lxnltnanltnannBAtxu sin)sincos(),( 二、解的物理意義二、解的物理意義 節(jié)點腹點特點特點1222() ,nnAnannnnnBlNABSarctg 其其中中最大振幅最大振幅頻率頻率初位相初位相在 處，振幅最大,為 nlnnlnlx2)12(232,., nNu(x,t )是由無窮多個振幅、頻率、初位相各不一樣的是由無窮多個振幅、頻率、初位相各不一樣的駐波疊加而成。駐波疊加而成。 1nntxutxu),(),(n1的駐波稱為基波的駐波稱為基波, n1的駐波叫做的駐波叫做n次諧波次諧波. 例例

12、1 1 設(shè)有一根長為設(shè)有一根長為1010個單位的弦，兩端固定，初速個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為為零，初位移為 ，求弦做微小橫向振，求弦做微小橫向振動時的位移，其中動時的位移，其中 與弦的資料和張力與弦的資料和張力有關(guān)有關(guān) . . 100010 xxx100002a解解 設(shè)位移函數(shù)為設(shè)位移函數(shù)為 ，那么需求求解以下定解問，那么需求求解以下定解問題題txu,. 0|,100010|; 0|; 0,100,1000001002222totxxtuxxuuutxxutu10330331210sin1-cosn,50001050,4,5nnCxxxdxnnnn當(dāng)為偶數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)。因此，所求的

13、解為： = txu,tnxnnn1210cos1012sin12154033代代入入公公式式計計算算,1000,102 al 10010500010sin)( dDnnn解：令 , 得 )()(),(tTxXtxu 0)()( 0)(0)0 2 tTlXtTXTXaXT化簡: 002 )()( lXXXXTaT例2：研討兩端自在棒的自在縱振動問題. )()(xuxuuuuautttlxxxxxxtt 0002000第二類邊境條件第二類邊境條件引入?yún)?shù) 得 XXTaT 2得C1 =C 2=0 從而 ，無意義 0)( xX分別變量： 0)()0(0 lXXXX 時， 0 xxeCeCxX 21)(

14、 0)(0)(2121lleCeCCC 由邊值條件02 TaT (ii) 時, , 0 xDCxX00 )(0(0)( )0( )=0XX lX xC(iii) 時, 0 xCxCxX sincos)(21 0sin012lCC 那么 而 , 01 C.), 2 , 1(0sin nnll 2122,( )cosnn xX xCll 由邊值條件由邊值條件從而本征值 ,222102 nln 本征函數(shù) ,cos)(101 nlxnCxX T 的方程00 T002222 nTlanTnn 其解為 ,sincos)(21 nlatnBlatnAtTnnn tBAtT000 )(所以 tBAtxu000

15、 ),(,cos)sincos(),(21 nlxnlatnBlatnAtxunnn 100nnnlxnlatnBlatnAtBAtxu cos)sincos(),(故代入初始條件: )(sin)(cos1010 xlxnBlanBxlxnAAnnnn 將 展開為傅立葉余弦級數(shù)，比較系數(shù)得 )(),(xx lldlBdlA000000)(1)(1 lnlnndlnanBdlnlA00cos)(2cos)(2 解為傅立葉余弦級數(shù)，由端點處的二類齊次邊境條件000 lxxxxuu決議. 100nnnlxnlatnBlatnAtBAtxu cos)sincos(),(與與1 11 1類邊境條件的定界

16、問題區(qū)別在于類邊境條件的定界問題區(qū)別在于特征值不同特征值不同2 22 2類邊境條件類邊境條件2000,000,0( ),( ),0ttxxxxxx ltttua uxltuutux uxxl 特征值特征值特征函數(shù)特征函數(shù)2()00,1,2,.nnln ( )cos0,1,2.nnXxxln 0001(, )(cossin)()(cossin)()nnnnnnnnnnnnnnu x tCatDat Xxcd tCatDat Xx 001( , )(cossin)cos(),nnnnnnu x tcd tCatDatxlll 02( )()lnnnCx Xx dxl 02 1( )()lnnnnD

17、x Xx dxla 001( )lcx dxl 001( )ldx dxl 利用特征函利用特征函數(shù)的正交性數(shù)的正交性求系數(shù)求系數(shù)一維振動方程對應(yīng)的特征值問題，特征值，特征函數(shù)系一維振動方程對應(yīng)的特征值問題，特征值，特征函數(shù)系方程邊界條件特征值問題特征值特征函數(shù)系一維振動(0, )0( , )0utu l t (0, )0( , )0 xutul t (0, )0( , )0 xutu l t (0, )0( , )0 xxutul t ( )( )0(0)( )0XxX xXX l ( )( )0(0)( )0XxX xXX l ( )( )0(0)( )0XxX xXX l ( )( )0(

18、0)( )0XxX xXXl 2()01,2,.nnln 221()020,1,2,.nnln 2()00,1,2,.nnln 221()020,1,2,.nnln ( )sin1,2.nnXxxln 21( )sin20,1,2.nnXxxln 21( )cos20,1,2.nnXxxln ( )cos0,1,2.nnXxxln 分別變量法求得的級數(shù)解的物理意義：分別變量法求得的級數(shù)解的物理意義：兩端固定的有界弦自在振動兩端固定的有界弦自在振動 cossinnnnn xAtl sincosnnnn xAtl 振動波，角頻率為振動波，角頻率為 初相位為初相位為n n 振幅，振幅，依賴于空間依賴

19、于空間位置位置x x振動波：弦上各點以同一角頻率作簡諧振振動波：弦上各點以同一角頻率作簡諧振動，位相一樣，振幅依賴于點動，位相一樣，振幅依賴于點x x的位置的位置 sincosnnnn xAtl 2(1)0,llnlxlnnn 振幅為振幅為0 0振幅到達(dá)最大振幅到達(dá)最大3(21),222llnlxnnn 振動波振動波 的節(jié)點，的節(jié)點，波節(jié)波節(jié) 個個 nu1n 振動波振動波 的腹點，的腹點，波腹波腹 個個 nun：弦的振動，就像是由互不銜接的幾段：弦的振動，就像是由互不銜接的幾段組成，每段的端點，恰好就固定在各個組成，每段的端點，恰好就固定在各個節(jié)點上，永遠(yuǎn)堅持不動。含有節(jié)點的振節(jié)點上，永遠(yuǎn)堅持

20、不動。含有節(jié)點的振動波稱為駐波。動波稱為駐波。nu由一系列頻率不同，位相不同，振幅不同由一系列頻率不同，位相不同，振幅不同的駐波疊加而成。頻率的駐波疊加而成。頻率 由特征值確定，由特征值確定，與初始條件無關(guān)，也稱為固有頻率。振幅與初始條件無關(guān)，也稱為固有頻率。振幅的大小和相位的差別由初始條件決議。的大小和相位的差別由初始條件決議。n 分別變量法求得的級數(shù)解分別變量法求得的級數(shù)解22nnnACD nnal arctannnnDC 由固有頻率可得到構(gòu)成駐波的條件由固有頻率可得到構(gòu)成駐波的條件對弦長的要求對弦長的要求2222n ananlnl n 最小的一個最小的一個1al 基頻基頻相應(yīng)的相應(yīng)的11

21、1sincos()xauAtll 基波基波23, 為諧頻，相應(yīng)的波為諧波為諧頻，相應(yīng)的波為諧波例例1 1細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題 長為 l 的細(xì)桿，設(shè)與細(xì)桿線垂直截面上各點的溫度相等，側(cè)面絕熱, x=0 端溫度為0，x=l 端熱量自在分發(fā)到周圍介質(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0 ，初始溫度為 求此桿的溫度分布。 ),(x 解：定解問題為 xuhuuutlxuautlxxxxxt002|0| )(, 0|)0,0(0, 0 XX 02 TaT (0)0,X . 0)()( lhXlX得本征問題 0(0)0,( )( )0XXXX lhX l 由 及齊次邊境條件，有 0 ),(txu設(shè) 且 ),()(

22、),(tTxXtxu ,),(0 txu并引入?yún)?shù)分別變量代入方程當(dāng) 或 時, 0 0 0)( xX當(dāng) 時, 0 xBxAxX sincos 由 得 0)()( lhXlXcossin0lhl由 得 故 (0)0X 0,A ( )sinX xBx 即 tg,hl 令,rl 1hl tgrr 有函數(shù)方程由圖1看出，函數(shù)方程有成 對 的 無 窮 多 個 實 根,321rrr 2212122,nnrrllrl 故本征值為： ryry2rytg 12r 1r 1r2r圖圖 1 1對應(yīng)的本征函數(shù) , 2 , 1,sinnxBxXnnn的方程： tT02 TaT tannneCtT2解為故 1sin),(

23、2nntanxeatxun由初始條件得 1( ,0)sin(*)nnnu xxax 可以證明函數(shù)系 在 上正交，), 2 , 1(sinnxn, 0lsinnx在*式兩端乘以 并在 0, l 上積分, 得na 且模值 022sinlnnnadhlh 201sind2lnnnhLx xlh二利用邊境條件,得到特征值問題并求解 三將特征值代入另一常微分方程， 得到 ( ),nnT tx tu、四將 疊加，利用初始條件確定系數(shù),nx tu一將偏微分方程化為常微分方程方程齊次分別變量法解題步驟分別變量法解題步驟邊境條件齊次分別變量法適用范圍：偏微分方程是線性齊次的，并且邊境條件也是齊次的。其求解的關(guān)鍵

24、步驟：確定特征函數(shù)和運(yùn)用疊加原理。注注222lnsinnnBxl, 2, 1n222412ln xlnBn212sin, 2, 1, 0n222lncosnnBxl, 2, 1, 0n左端點左端點右端點右端點特征值特征值特征函數(shù)特征函數(shù) 取值范圍取值范圍 一一 一一一一 二二 二二 二二二二一一課堂練習(xí)課堂練習(xí)總結(jié)：端點邊境條件與特征值，特征函數(shù)總結(jié)：端點邊境條件與特征值，特征函數(shù)的關(guān)系的關(guān)系練習(xí)：練習(xí)： 求以下定解問題的解求以下定解問題的解 20,00,0,0,0txxxua uxltutul tuxx 2(21)21(21):,cos2natlnnnu x ta exl 解解為為 02(2

25、1)cos0,1,2,.2lnnaxxdxnll ，其中其中1. 矩形域上拉普拉斯方程的邊值問題矩形域上拉普拉斯方程的邊值問題例例1 1矩形薄板穩(wěn)恒形狀下溫度分布矩形薄板穩(wěn)恒形狀下溫度分布. .設(shè)薄板上下底設(shè)薄板上下底面絕熱，一組對邊絕熱，另一組對邊的溫度分別為面絕熱，一組對邊絕熱，另一組對邊的溫度分別為零攝氏度和零攝氏度和 ，求穩(wěn)恒形狀下薄板的溫度分布。，求穩(wěn)恒形狀下薄板的溫度分布。 )(xf定解問題為： 000)0 ,0(000axxxxbyyyyxxuuuxfubyaxuu解0,0XXYY再利用 x = 0 和 x = a 處的齊次邊境條件得 設(shè) 且 ),()(),(yYxXyxu 代入

26、方程, 0),(yxu 0, 000 aXXXX 故 0, 00 aXX本征問題本征問題當(dāng) 時， ， 0 0)( xX當(dāng) 時， 0 222/ )(ann , 2 , 1 , 0,cos nxanCxXnn 將 代入 有解： n 0 YY DyCyY0 )0(, neBeAyYyanyann 1cos,nyannyannxaneBeADCyyxu 思索邊境條件y方向上，有 1cos)(0 ,nnnxanBADxfxu 1,0cosnnbbaannnnu x bCbDA eB exa ,2100 afdfaD 0 DCb 0cos20yannyannannneBeAfdanfaBA ,2shn b

27、anneAfn banabnnfabneB sh2 ,20fD ,20bfC 解得比較系數(shù)所以解為 10cosshsh2,nnxanfabnaybnfbybyxu 作為例子取 ， ，可求得 ba xxxf0,0 f,2 , 1,1)1(22 nnfnn 于是 12cosshsh11221,nnnxnynnyyxu 調(diào)查一個半徑為r0的圓形薄板穩(wěn)恒形狀下的溫度分布問題, 設(shè)板的上下兩面絕熱, 圓周邊境上的溫度知為 , 02,02fff 求穩(wěn)恒形狀下的溫度分布規(guī)律。2. 圓域上的拉普拉斯方程的邊值問題222022200 ()|( )xxyyxyruuxyruf采用平面極坐標(biāo)。cossinxryr令

28、 furrurrurrurr0|0011022222 分別變量 代入方程得齊次偏微分方程化為兩個常微分方程:一將偏微分方程化為常微分方程( , )( ) ( )urRr 0 11 2RrRrR 2RrRRr0 2RrRRr0 (2 )( ) ( ,2 )( , )urur 由 可知，又圓內(nèi)各點的溫度有界，因此 (0, )u 所以( )R r(0)R 應(yīng)滿足條件 二利用條件,確定特征值問題并求解 0(2 )( ) 20,(0).r RrRRR 得到兩個常微分方程的定解問題 (1)(2)先求哪一個？先求(1)啊!可以確定特征值啊!為什么？01) 時，無非零解；特征值特征函數(shù)2) 時，0 有非零解

29、00a cossin,ab 3) 時 ，0通解 nbnannnsincos2nn以 為周期, 必需是整數(shù) , 2 1, 2,n 三將特征值代入另一常微分方程，得 ( ),nnR rur、得到方程通解 滿足有界性條件的通解 n將代入方程 .0, 0 2RRrRRrnrdcRln000nnnnnrdrcR1, 2 ,n nnnrcR ,2, 1, 0n,sincos,2,00nbnarruarunnnn,2, 1nn 滿足周期性條件 2和有界性條件 0R的特解為 四將 疊加, 利用邊境條件確定系數(shù),nur滿足周期性和有界性條件的通解為: 利用邊境條件，得由此可以確定系數(shù) 10sincos2,nnn

30、nnbnararu 100sincos2nnnnnbnaraf 2001dfa 200cos1dnfrann 200sin1dnfrbnn注: 經(jīng)過化簡, 方程的解可以表示為 dttrrrrrrtfru200220220cos221,稱為圓域內(nèi)的泊松公式. 100sincos2nnnnnbnaraf 2001dfa 200cos1dnfrann 200sin1dnfrbnn2000( , ) 0,000( )( )ttxxxx ltttua uf x txl tuuux ux(I) (I) 非齊次振動方程定解問題非齊次振動方程定解問題特征函數(shù)法22222000( , ), 0,0;|0;|0,

31、|0.xxlttVVaf x txlttxVVVVt 令( , )( , )( , )U x tV x tWx t 其中22222000, 0,0;|0;|(),|().xxlttWWaxlttxWWWWxxt (1) (2) ,sinnnnV x tvtxl 令 為待定函數(shù).( )nv t并將 按特征函數(shù)系展為級數(shù) txf,其中 , 2 , 1,sin,20 ndlntfltfln 1( , )sinnnn xf x tftl (3) (4)22222000( , ), 0,0;|0;|0,|0.xxlttVVaf x txlttxVVVVt (1)222211( )( ) sin( )si

32、nnnnnnnan xn xvtvtftlll 2222( )( )( )nnnnavtvtftl 將(3),(4) 代入 (1) 得兩端比較將(3)代入初始條件(0)0, (0)0nnvv 2222( )( )( )(0)0, (0)0nnnnnnavtvtftlvv 0sin,1,2,lnnn a tlvtfdnn al 常數(shù)變易法所以 0,sinsinlnn a tlnVx tfdxn all 例在環(huán)形區(qū)域 內(nèi)求解以下定解問題22axyb 2222222212,|0,|0 xxyyxyaxybuuxyaxybuun 解思索極坐標(biāo)變換:cossinxy 定解問題可以轉(zhuǎn)化為: 0|, 0|2

33、cos1211222222bauuuuu相應(yīng)的齊次問題的特征函數(shù)系為:,2sin,2cos,sin,cos, 1于是可以設(shè)原問題的解為: 10sincos,nnnnBnAAu代入方程，整理得 20021222111cos1sin12cos2nnnnnnnnnAAAAAnnBBBn 比較兩端 和 的系數(shù)可得 ncosnsin 222221412AAA 22102nnnnAAAn 0010AA 2210nnnnBBB 0sincos10nnnnaBnaAaA由邊境條件，得 所以 0sincos10nnnnbBnbAbA 0bAaAnn 0bBaBnn( )nnnnnAcd nnnnnBcd ( )

34、0nA 2n 0nB 由邊境條件，可知 nnBnA),2( , 滿足的方程是齊次歐拉方程，其通解的方式為000( )lnAcd下面求 . 2A , 222221241 AAA 422212ccA方程的通解為 446612babac由端點的條件， 得 44224422bababac 原問題的解為 2cos,2Au 220A aAb2.5 2.5 非齊次邊境條件的處置非齊次邊境條件的處置 處置非齊次邊境條件問題的根本原那么是: 選取一個輔助函數(shù) , 經(jīng)過函數(shù)之間的代換: 使得對新的未知函數(shù) 邊境條件為齊次的. ,w x t,u x tv x tw x t,v x t例1振動問題 )()()()(0

35、002102xuxututuuautttlxxxxtt I 解： )()(,tBxtAtxv 取 txltttxv112)()(, 故要求滿足(I)的邊境條件，即)()()()()(0)(21ttBltAttBtA 解得 ttBltttA112)()()()( 思緒: 作代換 ,( , )( , )u x tv x tw x t 選取w(x,t)使v(x,t)的邊境條件化為齊次代入(I),得 的定解問題(II) ,v x t2121001210121( )( )( )|0,|0|( )( )( )( )( )|( )( )( )( )( )ttxxxx lttxva vtttlvvxvxttt

36、xlxvxtttxl 令 ,( , )( , )v x tu x tw x t假設(shè)仍取 的線性函數(shù)作為 ，那么有 xw 120,xxxxlwA ttwA tt 此時除非 ，否那么這兩式相互矛盾。 tt21 2,w x tA t xB t x)(10tuxx )(2tulxx 當(dāng)x0和x=l 滿足第二類邊境條件留意：應(yīng)取例 定解問題22222000, 0,0;|0,|;|0,|0 xx lttuuaAxlttxuuBuut 其中A, B為常數(shù). ,u x tv x tw x 解:令2( )ttxxva vwxA 代入方程，得 選 滿足 xw 200|0,|xx la wxAwwB 它的解為 22

37、222AAlBw xxxaal 于是 滿足的方程為： txv, 22222000, 0,0;|0,|0;|,|0 xx lttvvaxlttxvvvvw xt 利用分別變量法，求解得 1,(cossin)sinnnnnananv x tCtDtxlllnBnaAlnnaAlCncos2222223322其中從而，原定解問題的解為 2221,cossin22nnAAlBnanu x txxCtxaalll 0.nD 一. 選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. 原那么:邊境條件的表達(dá)式最簡單.二. 假設(shè)邊境條件是非齊次的, 引進(jìn)輔助函數(shù)把邊境條件化為齊次的。三. 對于齊次邊境條件、非齊次方程的定解問題，可將問題分解為兩個, 其 一是方程齊次, 并具有原定解條件的定解問題